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Vidéo de la leçon: Addition de nombres rationnels Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment additionner des nombres rationnels, y compris des fractions, des nombres décimaux et des pourcentages.

14:21

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment additionner des nombres rationnels, y compris des fractions, des nombres décimaux et des pourcentages. Nous commencerons par rappeler la définition d’un nombre rationnel.

Nous savons qu’un nombre rationnel est un quotient d’entiers et peut donc être écrit sous la forme 𝑎 sur 𝑏, tel que 𝑎 et 𝑏 sont des entiers et 𝑏 est non nul. Il existe plusieurs façons de visualiser les nombres rationnels. Par exemple, puisque nous divisons 𝑎 par un entier 𝑏, nous divisons la valeur de 𝑎 en 𝑏 parties égales. Une façon de représenter cela est de considérer la position de 𝑎 sur une droite numérique. Pour représenter 𝑎 sur 𝑏 sur cette droite numérique, nous voulons diviser le segment entre zéro et 𝑎 en 𝑏 sections égales. Par exemple, si 𝑏 vaut six, nous le divisons en six sections de longueurs égales, comme illustré. Et la première graduation aura une valeur de 𝑎 sur six.

Nous pouvons utiliser une droite numérique comme celle-ci pour additionner des nombres rationnels. Et pour ce faire, nous rappelons d’abord que pour additionner deux nombres sur une droite numérique, nous additionnons leurs déplacements à partir de zéro. Prenons un exemple d’addition de trois septièmes et de deux septièmes en utilisant une droite numérique. Nous divisons le segment entre zéro et un en sept sections égales, où chaque graduation représentera un septième. Nous pouvons donc représenter deux septièmes et trois septièmes comme indiqué.

Pour additionner ces nombres, nous devons additionner leurs déplacements à partir de zéro. Puisque deux plus trois est égal à cinq, nous sommes maintenant à cinq graduations d’un septième à partir de zéro dans le sens positif. Cela signifie que trois septièmes plus deux septièmes égale cinq septièmes. Nous notons que nous additionnons simplement les numérateurs des deux nombres rationnels. Cela est vrai lors de l’addition de deux fractions quelconques où les dénominateurs sont égaux et cela nous conduit à la règle générale que si 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des entiers avec 𝑏 non nul, alors 𝑎 sur 𝑏 plus 𝑐 sur 𝑏 est égal à 𝑎 plus 𝑐 sur 𝑏.

Nous allons maintenant considérer quelques exemples, où nous pouvons utiliser cette règle.

Déterminez la valeur de trois dixièmes plus un dixième. Donnez votre réponse sous sa forme irréductible.

Nous commençons par noter que nous avons deux nombres rationnels avec le même dénominateur. Puisque le dénominateur est non nul, nous pouvons utiliser la règle 𝑎 sur 𝑏 plus 𝑐 sur 𝑏 égale 𝑎 plus 𝑐 sur 𝑏. Lors de l’addition de deux fractions avec le même dénominateur, nous additionnons simplement leurs numérateurs. Cela signifie que trois sur 10 plus un sur 10 est égal à trois plus un sur 10. Et cela se simplifie à quatre sur 10 ou quatre dixièmes.

On nous demande de donner notre réponse sous sa forme irréductible, nous devons donc vérifier si le numérateur et le dénominateur ont des diviseurs communs à part un. Comme les nombres quatre et 10 sont pairs, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par deux. La fraction quatre dixièmes se simplifie en deux cinquièmes. Nous pouvons donc conclure que la valeur de trois dixièmes plus un dixième sous sa forme irréductible est de deux cinquièmes.

Dans notre prochain exemple, nous allons additionner deux nombres fractionnaires avec le même dénominateur.

Calculez huit et deux cinquièmes plus moins quatre et trois cinquièmes. Donnez votre réponse sous forme de nombre fractionnaire.

Dans cette question, nous commencerons par réécrire les deux nombres fractionnaires comme des fractions impropres. Nous rappelons que le nombre fractionnaire 𝑎 et 𝑏 sur 𝑐 est égal à 𝑎 𝑐 plus 𝑏 sur 𝑐. Cela signifie que huit et deux cinquièmes est égal à huit multiplié par cinq plus deux sur cinq. Le numérateur de notre fraction impropre est égal au nombre entier multiplié par le dénominateur plus le numérateur du nombre fractionnaire. Huit et deux cinquièmes est donc égal à 42 sur cinq ou quarante-deux cinquièmes.

Nous pouvons répéter ce processus pour le nombre fractionnaire moins quatre et trois cinquièmes. Nous commençons par convertir le nombre fractionnaire quatre et trois cinquièmes en une fraction impropre. Cela équivaut à vingt-trois cinquièmes. De ce fait, moins quatre et trois cinquièmes est égal à moins vingt-trois cinquièmes.

Nous sommes maintenant dans une position où nous pouvons additionner les deux fractions impropres. Puisque les dénominateurs sont les mêmes, nous additionnons simplement les numérateurs, ce qui nous donne 42 plus moins 23 sur cinq. Ceci est égal à 19 sur cinq ou dix-neuf cinquièmes. Et notre dernière étape consiste à reconvertir cela en un nombre fractionnaire. Diviser 19 par cinq nous donne trois et le reste est quatre. De ce fait, dix-neuf cinquièmes équivaut à trois et quatre cinquièmes. Nous pouvons donc conclure que c’est la valeur de huit et deux cinquièmes plus moins quatre et trois cinquièmes.

À ce stade, il convient de noter qu’il n’y a aucune raison de supposer que les dénominateurs des fractions que nous souhaitons additionner seront égaux. Nous pouvons toujours déterminer ces expressions en utilisant une droite numérique ou en trouvant un dénominateur commun.

Considérons maintenant un exemple de ce type.

Calculez un demi plus deux tiers.

Pour répondre à cette question, nous utiliserons une droite numérique avec nos connaissances sur les fractions équivalentes. En traçant une droite numérique de zéro à deux, nous marquons d’abord les fractions un demi et deux tiers. Pour ce faire, nous divisons chaque entier en deux et trois sections égales, respectivement. Ensuite, nous rappelons que pour additionner les fractions, nous additionnons leurs déplacements à partir de zéro. Cela peut être représenté sur une droite numérique comme illustré.

Cependant, il y a un petit problème ; si nous essayons de déterminer cela en utilisant notre droite numérique, nous voyons que ce point n’est pas marqué. Ainsi, nous pouvons déterminer la valeur de ce point en utilisant notre connaissance sur l’addition de fractions avec des dénominateurs égaux et notre connaissance sur les fractions équivalentes. La fraction un demi équivaut à trois sixièmes, car nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par trois. De la même manière, les deux tiers équivalent à quatre sixièmes. Cette fois, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par deux.

Nous pouvons donc réécrire un demi plus deux tiers comme trois sixièmes plus quatre sixièmes. Et rappelant que lors de l’addition de fractions avec le même dénominateur, nous additionnons simplement les numérateurs, cela devient trois plus quatre sur six, ce qui est égal à sept sur six ou sept sixièmes. Sur notre droite numérique, au lieu de diviser chaque segment entier en deux et trois sections, nous pourrions le diviser en six sections. Cela montre à nouveau que nous additionnons trois sixièmes et quatre sixièmes, ce qui nous donne une réponse de sept sixièmes. Nous pouvons donc conclure qu’un demi plus deux tiers est égal à sept sixièmes, qui peut également être écrit comme le nombre fractionnaire un et un sixième.

Nous allons maintenant passer à deux autres exemples où nos nombres rationnels sont donnés sous forme de nombres décimaux et de pourcentages, ainsi que de fractions.

Considérons que 𝑥 est égal à un cinquième et 𝑦 est égal à 16 pour cent. En convertissant 𝑥 et 𝑦 sous forme décimale, déterminez la valeur de 𝑥 plus 𝑦 arrondie au centième près.

Dans cette question, nous allons commencer par convertir les valeurs de 𝑥 et 𝑦 sous forme décimale. Considérons la fraction un cinquième. En multipliant le numérateur et le dénominateur par deux, nous voyons qu’un cinquième équivaut à deux dixièmes. En utilisant nos connaissances sur la valeur de position, cela peut être écrit comme 0,2. Et notre valeur de 𝑥 est donc égale à 0,2.

Ensuite, nous rappelons que nous pouvons convertir un pourcentage en un nombre décimal en le divisant par 100. 16 pour cent est égal à 16 divisé par 100 ou seize centièmes, ce qui, écrit sous forme décimale, équivaut à 0,16. Nous avons maintenant des valeurs de 𝑥 et 𝑦 sous forme décimale. De ce fait, nous pouvons déterminer la valeur de 𝑥 plus 𝑦 en additionnant 0,2 et 0,16. Cela équivaut à 0,36, qui est déjà écrit au centième près. Additionner la fraction un cinquième et 16 pour cent nous donne 0,36. Bien que cela ne soit pas requis dans cette question, nous pouvons également donner notre réponse comme étant 36 pour cent ou 36 sur 100. Cette fraction pourrait également être donnée sous sa forme irréductible de neuf sur 25 ou neuf vingt-cinquièmes.

Nous allons maintenant considérer un dernier exemple de ce type.

Calculez trois cinquièmes plus 0,7, en donnant la réponse sous sa forme irréductible.

Dans cette question, nous devons calculer la somme de deux nombres rationnels : l’un écrit sous la forme d’une fraction et l’autre sous forme décimale. En utilisant notre connaissance sur la valeur de position, nous savons que 0,7 est égal à sept dixièmes. Il faut donc additionner les fractions trois cinquièmes et sept dixièmes. Nous savons que pour additionner des fractions, nous avons besoin d’un dénominateur commun. Nous devons donc déterminer une fraction équivalente à trois cinquièmes.

Puisque cinq multiplié par deux est 10, nous devons multiplier le numérateur par deux. Trois cinquièmes équivaut à six dixièmes. Cela signifie que pour calculer trois cinquièmes plus 0,7, nous pouvons simplement additionner six dixièmes et sept dixièmes. Comme les dénominateurs sont maintenant les mêmes, nous additionnons simplement les numérateurs, ce qui nous donne une réponse finale de treize dixièmes. Il convient de noter que cela pourrait également être écrit comme le nombre fractionnaire un et trois dixièmes, car 13 divisé par 10 égale un et le reste est trois. Cela peut également être écrit sous la forme décimale 1,3.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. Nous avons vu dans cette vidéo que nous pouvons additionner des nombres rationnels avec le même dénominateur en additionnant leurs numérateurs. Nous pouvons additionner des nombres rationnels avec différents dénominateurs en convertissant d’abord les deux fractions pour avoir le même dénominateur. Nous le faisons en déterminant le plus petit commun multiple des deux dénominateurs, puis en multipliant le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le même nombre, de sorte que les dénominateurs soient égaux au plus petit commun multiple. Nous avons également vu que nous pouvons additionner des nombres rationnels donnés sous différentes formes telles que des nombres fractionnaires, des nombres décimaux et des pourcentages en convertissant d’abord tous les nombres en la même forme. Enfin, nous avons également vu que nous pouvons additionner des nombres rationnels en utilisant les graduations entre eux sur une droite numérique.

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