Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète Mathématiques

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs 0, 2 et 5. Sachant que 𝑋 possède la fonction de densité de probabilité 𝑓 (𝑥) = 𝑎/(6𝑥 + 6), déterminez la variance de 𝑋.

05:15

Transcription de vidéo

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs 0, 2 et 5. Sachant que 𝑋 possède la fonction de densité de probabilité 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 sur six 𝑥 plus six, déterminez la variance de 𝑋.

La variance d’une variable aléatoire discrète est une mesure déterminant à quel point les valeurs de cette variable aléatoire discrète diffèrent de leur espérance. Elle est calculée à l’aide de la formule suivante : la variance de 𝑋 est égale à l’espérance de 𝑋 carré moins l’espérance de 𝑋 au carré. Et nous devons clairement percevoir la différence de notation ici. Dans le deuxième terme, nous trouvons l’espérance de 𝑋 et nous la mettons ensuite au carré, tandis que dans le premier terme, nous mettons d’abord les valeurs 𝑋 au carré, puis nous déterminons leur espérance. Nous pouvons également penser à cela comme l’espérance des carrés moins le carré de l’espérance.

L’espérance de 𝑋 et l’espérance de 𝑋 au carré sont calculées à l’aide de la formule suivante. Pour l’espérance de 𝑋, nous multiplions chaque valeur de 𝑥 par sa valeur 𝑓 de 𝑥, où 𝑓 est la fonction densité de probabilité de 𝑥, puis nous déterminons leur somme. Pour l’espérance de 𝑋 au carré, nous multiplions chaque valeur de 𝑥 au carré par 𝑓 de 𝑥, puis trouvons leur somme. On nous a donné la fonction de la loi de probabilité 𝑓 de 𝑥, mais c’est en fonction d’une valeur inconnue 𝑎. Nous savons que 𝑥 ne peut prendre que les valeurs zéro, deux et cinq. Donc, c’est l’ensemble des valeurs prises par la variable. La somme de toutes les probabilités dans une fonction densité de probabilité doit être égale à un.

Ainsi, en trouvant des expressions pour les probabilités lorsque 𝑥 est égal à zéro, deux et cinq, nous pouvons alors former une équation pour déterminer la valeur de 𝑎. On a 𝑓 de zéro égale 𝑎 sur six multiplié par zéro plus six, ce qui donne 𝑎 sur six. Puis 𝑓 de deux égale 𝑎 sur six multiplié par deux plus six, ce qui donne 𝑎 sur 18. Et 𝑓 de cinq égale 𝑎 sur six multiplié par cinq plus six, ce qui donne 𝑎 sur 36. La somme de ces trois valeurs doit être égale à un, nous avons donc l’équation 𝑎 sur six plus 𝑎 sur 18 plus 𝑎 sur 36 égale un.

Écrire chaque terme du membre de gauche avec un dénominateur commun de 36 donne six 𝑎 sur 36 plus deux 𝑎 sur 36 plus 𝑎 sur 36 est égal à un. Nous additionnons les trois fractions ensemble pour donner neuf 𝑎 sur 36 est égal à un. Puis nous pouvons annuler un facteur de neuf au numérateur et au dénominateur pour donner 𝑎 sur quatre égale un. Pour déterminer 𝑎, nous multiplions les deux membres de l’équation par quatre pour obtenir 𝑎 égale quatre. Nous avons donc trouvé la valeur de 𝑎, ce qui nous permet de déterminer les trois probabilités exactement. Alors 𝑎 sur six est quatre sur six, ou deux tiers. Puis 𝑎 sur 18 est quatre sur 18, ou deux neuvièmes. Et 𝑎 sur 36 est quatre sur 36, ou un neuvième.

Ensuite, nous écrirons la loi de probabilité de 𝑥 dans un tableau. Nous avons donc mis les valeurs que 𝑥 peut prendre, qui sont zéro, deux et cinq, dans la rangée du haut, puis leurs probabilités, que nous venons de calculer comme étant deux tiers, deux neuvièmes et un neuvième, dans la deuxième rangée. Pour trouver l’espérance de 𝑋, nous devons multiplier chaque valeur de 𝑥 par sa valeur 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons ajouter une rangée supplémentaire dans notre tableau pour cela. Et nous avons zéro multiplié par deux tiers, ce qui est zéro, deux multiplié par deux neuvièmes, qui est quatre neuvièmes, et cinq multiplié par un neuvième, qui est cinq neuvièmes.

L’espérance de 𝑋 est alors la somme de ces trois valeurs. Zéro plus quatre neuvièmes plus cinq neuvièmes équivaut à neuf neuvièmes, ou tout simplement un. Pour calculer l’espérance de 𝑋 au carré, nous devons multiplier chaque valeur de 𝑥 au carré par 𝑓 de 𝑥. Nous ajoutons donc une rangée à notre tableau pour les valeurs de 𝑥 au carré, qui sont zéro, quatre et 25. Nous ajoutons ensuite une dernière rangée à notre tableau dans laquelle nous multiplions ces valeurs par les valeurs 𝑓 de 𝑥. Zéro multiplié par deux tiers est zéro. Quatre multiplié par deux neuvièmes équivaut à huit neuvièmes. Et 25 multiplié par un neuvième est vingt-cinq neuvièmes. L’espérance de 𝑋 au carré est la somme de ces trois valeurs, soit 33 sur neuf. Et cela se simplifie en 11 sur trois.

Pour trouver la variance de 𝑋, nous prenons cette espérance de 𝑋 carré, et nous en soustrayons le carré de l’espérance de 𝑋. Nous avons donc 11 sur trois moins un carré. C’est-à-dire 11 sur trois moins un, soit 11 sur trois moins trois sur trois, donc huit sur trois. Ainsi, en déterminant d’abord la valeur de cette constante inconnue 𝑎, ce que nous avons fait en rappelant que la somme de toutes les probabilités dans une fonction densité de probabilité est égale à un, nous avons constaté que la variance de cette variable aléatoire discrète 𝑋 est de huit sur trois.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.