Vidéo question :: Déterminer l’ensemble de définition du quotient de deux fonctions rationnelles Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez l’ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑛 de 𝑥 égal trois 𝑥 moins 15 sur 𝑥 moins six divisé par six 𝑥 moins 30 sur quatre 𝑥 moins 24.

Examinons d'abord notre fonction d’expression 𝑛 de 𝑥. On remarque que c'est une fonction dont l’expression est le quotient de deux expressions rationnelles. Nous allons définir ces fonctions rationnelles comme étant respectivement d’expressions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, où l’on rappelle qu'une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Alors on dit que l'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des antécédents possibles de cette fonction.

Ainsi, comment identifier l'ensemble de définition du quotient de deux fonctions ? L'ensemble de définition du quotient de deux fonctions, ici 𝑓 divisé par 𝑔, est l'ensemble des valeurs communes à l'ensemble de définition de 𝑓 et à celui de 𝑔, mais il faut exclure celles qui rendent le dénominateur nul. Donc, quelles sont les valeurs qui se trouvent respectivement dans l'ensemble de définition de 𝑓 et de 𝑔 ?

Examinons d'abord notre première fonction d’expression 𝑓 de 𝑥. On a dit que c'est une fonction rationnelle, il s'agit du quotient de deux polynômes. L'ensemble de définition d'une fonction rationnelle est l'ensemble des nombres réels, sauf les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le dénominateur est nul. Donc pour trouver l'ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 on doit trouver les valeurs de 𝑥 qui rendent le dénominateur nul pour les exclure. On le pose donc comme étant égal à zéro, 𝑥 moins six égal zéro et ensuite on détermine 𝑥. Pour déterminer 𝑥, on ajoute 6 aux deux membres. Et ainsi, l'ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 est l'ensemble des nombres réels moins le singleton six.

Cherchons ensuite l'ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑔 de 𝑥. Il s'agit à nouveau de l'ensemble des nombres réels, mais on doit exclure toutes les valeurs de 𝑥 qui rendent le dénominateur nul. Soit, quatre 𝑥 moins 24 égal zéro. Et à nouveau, si on détermine 𝑥, on ajoute 24 aux deux membres, on divise par quatre et on trouve que 𝑥 vaut six. Alors, l'ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑔 de 𝑥 est l'ensemble des nombres réels moins le singleton six.

Cependant, on n'a pas tout à fait fini. En effet, toutes les valeurs de l'ensemble de définition de 𝑓 et de celui de 𝑔 correspondent à l'ensemble des nombres réels moins le singleton six. Il nous faut cependant exclure toutes les valeurs pour lesquelles 𝑔 de 𝑥 vaut zéro. Puisque 𝑔 de 𝑥 est l’expression d’une fonction rationnelle, c'est le quotient de deux polynômes, la seule façon pour qu'elle soit nulle sur l'ensemble de définition de notre fonction est que le numérateur soit nul. Donc, six 𝑥 moins 30 égal zéro. Cette fois, si on veut déterminer 𝑥, on ajoute 30 aux deux membres, puis on divise par six. Ce qui nous donne 𝑥 égal cinq.

On a donc toutes les valeurs dans l'ensemble de définition de 𝑓 et de 𝑔. Il s'agit de l'ensemble des nombres réels moins le singleton six. Et il existe alors une seule valeur de 𝑥 qui rend 𝑔 de 𝑥 nulle. C'est cinq. Et donc, on combine toutes ces informations en utilisant la notation des ensembles. L'ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑛 de 𝑥 est l'ensemble des nombres réels moins l'ensemble formé des éléments cinq et six.