Transcription de la vidéo
Un objet se déplace le long d’une ligne droite. Lorsque l’objet se déplace, il est soumis à une force constante. La figure montre le déplacement de l’objet 𝐝 et la force agissant sur celui-ci, 𝐅. Chacun des carrés du quadrillage de la figure a un côté de longueur un. Quel est le travail effectué par la force ?
Dans cette question, on nous présente un diagramme montrant deux vecteurs, 𝐝 et 𝐅. On nous dit dans la question que 𝐝 est le déplacement d’un objet et 𝐅 est la force agissant sur cet objet. On nous dit aussi que cette force 𝐅 est constante, ce qui signifie qu’elle a toujours la même valeur, et nous n’avons pas à nous inquiéter qu’elle varie dans le temps.
On nous demande de trouver quel est le travail fourni par la force sur l’objet. Commençons donc par rappeler la définition du travail effectué par une force. Le travail effectué sur un objet par une force, écrite ici comme 𝑊, est égal au produit scalaire de la force 𝐅 et du déplacement 𝐝 de l’objet. Le travail effectué est une sorte d’énergie, donc il a des unités d’énergie. Plus précisément, si la force est mesurée en newtons et le déplacement est mesuré en mètres, alors le travail effectué, le produit scalaire de la force et du déplacement, aura des unités de newton mètres, qui sont égales à des joules.
La question nous demande de trouver le travail effectué par la force. Et nous venons de dire que cela est égal au produit scalaire de la force et du déplacement. Rappelons donc une définition du produit scalaire de deux vecteurs. Nous allons considérer deux vecteurs généraux que nous appellerons 𝐀 et 𝐁. Si nous supposons que les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦, alors nous pouvons les écrire sous forme de composante comme une composante 𝑥 notée avec un indice 𝑥 multipliée par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦 notée avec un indice 𝑦 multipliée par 𝐣 chapeau.
Rappelez-vous que 𝐢 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁 est alors donné par la composante 𝑥 de 𝐀 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐁 plus la composante 𝑦 de 𝐀 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐁. En d’autres termes, le produit scalaire de deux vecteurs est donné par le produit des composantes 𝑥 des vecteurs plus le produit de leurs composantes 𝑦.
Cette expression générale pour le produit scalaire de deux vecteurs nous dit que si nous voulons trouver le produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝, alors nous devons déterminer les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos vecteurs 𝐅 et 𝐝. Ces vecteurs nous sont donnés sous la forme de flèches tracées sur un diagramme. Et on nous dit dans la question que les carrés du quadrillage sur ce diagramme ont chacun un côté de longueur égale à un. Cela signifie qu’une longueur d’un carré sur le diagramme représente une unité de déplacement ou de force.
En supposant que notre force et notre déplacement sont mesurés en unités SI, cela signifie que, pour notre vecteur 𝐝, un carré sur le diagramme représente un mètre. Et pour 𝐅, un carré représente un newton. Nous définirons la direction horizontale dans notre diagramme comme étant la direction 𝑥 et la direction verticale comme étant la direction 𝑦. Nous voyons que notre vecteur 𝐝 pointe le long de notre ligne horizontale, tandis que notre vecteur 𝐅 pointe le long de notre ligne verticale. Cela signifie que, pour notre vecteur 𝐝, la composante 𝑦 est nulle, alors que pour notre vecteur 𝐅, la composante 𝑥 est nulle.
En écrivant deux vecteurs sous forme de composante, nous avons alors que 𝐝 est égal à une composante 𝑥 multipliée par 𝐢 chapeau plus zéro mètre multiplié par 𝐣 chapeau et que 𝐅 est égal à zéro newtons multiplié par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦 multipliée par 𝐣 chapeau. Pour trouver ces composantes manquantes, nous devons commencer par la queue de chaque vecteur et compter le nombre de carrés jusqu’à la pointe.
Commençons par le vecteur 𝐝. Nous commençons à la queue du vecteur et nous comptons un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit carrés dans le sens négatif suivant 𝑥 jusqu’à ce que nous atteignions la pointe. Puisque pour notre vecteur 𝐝 un carré est égal à un mètre, cela nous dit que la composante 𝑥 de 𝐝 est égale à moins huit mètres.
Faisons maintenant la même chose avec le vecteur 𝐅. Encore une fois, nous commençons à la queue du vecteur, et nous comptons un, deux, trois carrés dans le sens négatif suivant 𝑦 jusqu’à ce que nous atteignions la pointe. Puisque pour 𝐅 un carré est égal à un newton, cela nous dit que la composante 𝑦 de 𝐅 est égale à moins trois newtons.
Nous avons donc maintenant des expressions pour nos deux vecteurs 𝐝 et 𝐅, écrites sous forme de composantes. Nous avons que 𝐝 est égal à moins huit mètres 𝐢 chapeau plus zéro mètre 𝐣 chapeau et que 𝐅 est égal à zéro newtons 𝐢 chapeau plus moins trois newtons 𝐣 chapeau. Maintenant que nous avons nos vecteurs de force et de déplacement sous forme de composantes, nous sommes prêts à calculer le produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝.
De notre expression générale pour le produit scalaire de deux vecteurs, nous voyons que le premier terme est donné par le produit des composantes 𝑥 des vecteurs. Donc, dans le cas du produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝, c’est la composante 𝑥 de 𝐅, qui est zéro newton, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐝, qui est moins huit mètres. Nous ajoutons ensuite un deuxième terme égal au produit des composantes 𝑦 des vecteurs. Dans notre cas, il s’agit de la composante 𝑦 de 𝐅, qui est moins trois newtons, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐝, qui est égale à zéro mètre.
Maintenant, nous devons juste calculer cette expression ici. Le premier terme est zéro newton multiplié par moins huit mètres, ce qui nous donne zéro newton mètre. Ensuite, le deuxième terme est moins trois newtons multipliés par zéro mètre, ce qui nous donne également zéro newton mètre. Ensuite, nous avons zéro newton mètre plus zéro newton mètre. Et lorsque nous ajoutons zéro à zéro, nous obtenons un résultat de zéro de sorte que notre produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝 soit égal à zéro newton mètre.
Maintenant, nous avons déjà dit que les unités newton mètres sont égales aux unités de joules et que le produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝 nous donne le travail effectué par la force. Donc, si nous remplaçons nos newton mètres par des joules et remplaçons notre produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝 par le travail effectué, alors nous avons que le travail effectué par la force est égal à zéro joules. Donc, notre réponse à la question est zéro joule.
Mais il s’avère qu’il y avait une autre façon pour nous de parvenir à cette réponse qui pourrait nous fournir un point de vue un peu plus lié à la physique. Le produit scalaire de deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 peut également être écrit comme la norme de 𝐀 multipliée par la norme de 𝐁 multipliée par le cosinus de l’angle entre 𝐀 et 𝐁, que nous avons annoté ici 𝜃. Si nous regardons la fonction cos 𝜃, alors nous voyons que pour une valeur de 𝜃 égale 90 degrés, cos 𝜃 est égal à zéro. De notre expression pour le produit scalaire de deux vecteurs, nous voyons que ce terme cos 𝜃 signifie que chaque fois que 𝜃 est égal à 90 degrés, ou en d’autres termes chaque fois que nous avons des vecteurs perpendiculaires, le produit scalaire de ces deux vecteurs sera nul.
Dans notre calcul du produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝, dès que nous avions nos deux vecteurs sous forme de composante, nous pouvions voir que la composante 𝑦 de notre vecteur de déplacement 𝐝 était nulle, alors que la composante 𝑥 de notre de vecteur force 𝐅 était nul. Cela signifiait que nous savions que notre vecteur 𝐝 se trouvait uniquement dans la direction 𝑥, tandis que notre vecteur 𝐅 se trouvait uniquement dans la direction 𝑦. Nous avons donc pu voir que nos vecteurs 𝐝 et 𝐅 étaient perpendiculaires.
Nous aurions également pu le voir en mesurant l’angle entre les deux vecteurs sur la figure. Et une fois que nous aurions déterminé que l’angle entre nos deux vecteurs 𝐅 et 𝐝 était égal à 90 degrés, alors en utilisant cette expression ici, nous aurions pu dire tout de suite que leur produit scalaire serait nul.
Puisque le travail effectué sur un objet par une force est égal au produit scalaire de la force et du déplacement, nous aurions alors pu conclure immédiatement que le travail effectué par la force serait de zéro joule. Alors pourquoi cette méthode a-t-elle le potentiel de fournir plus d’informations ? Eh bien, nous avons dit que chaque fois que nous avons deux vecteurs perpendiculaires, nous savons que leur produit scalaire est nul. Et nous savons que le produit scalaire de la force et du déplacement nous donne le travail effectué sur l’objet par la force. Cela signifie donc que nous pouvons interpréter notre résultat d’une manière plus générale pour dire que toute force perpendiculaire au déplacement d’un objet n’effectue aucun travail sur l’objet.
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