Vidéo question :: Résoudre un système de deux équations à l’aide de déterminants Mathématiques

Transcription de la vidéo

Utilisez les déterminants pour résoudre le système moins neuf 𝑥 égale moins huit plus huit 𝑦, six 𝑦 égale sept plus trois 𝑥.

Il existe de nombreuses méthodes pour résoudre un système d’équations linéaires. Seulement, quand on nous demande d’utiliser les déterminants, nous devons utiliser la règle de Cramer. La règle de Cramer consiste à convertir notre système d’équations linéaires en une équation matricielle. Rappelons que la règle de Cramer est la suivante. Nous pouvons trouver 𝑥 en calculant Δ indice 𝑥 sur Δ et 𝑦 en calculant Δ indice 𝑦 sur Δ. Ici, Δ est le déterminant de la matrice de coefficients et Δ𝑥 et Δ𝑦 sont les déterminants des matrices trouvées en substituant des éléments de la matrice de constantes dans les éléments des colonnes des coefficients 𝑥 et 𝑦.

Commençons donc cette question en convertissant ce système en une équation matricielle. Rappelons que lorsque nous mettons un système comme celui-ci dans une équation matricielle, il y a trois parties. Nous avons la matrice de coefficients, la matrice des variables et la matrice constante. Afin de mettre cela sous forme matricielle, la première chose à faire est de réorganiser nos équations sous une forme qui peut facilement être convertie en une équation matricielle. Nous devrions essayer d’aligner les 𝑥 et les 𝑦 et les constantes.

Pour la première équation, nous pourrions ajouter neuf 𝑥 aux deux côtés, puis ajouter huit aux deux côtés. Cela nous donne neuf 𝑥 plus huit 𝑦 égale huit. Essayons donc d’obtenir la deuxième équation dans ce format similaire. Nous pourrions le faire en soustrayant six 𝑦 des deux côtés et sept des deux côtés. Cela nous donne trois 𝑥 moins six 𝑦 est égal à moins sept. En réorganisant ainsi, il est beaucoup plus facile de créer une équation matricielle. Nous voyons les coefficients qui entrent dans la matrice des coefficients. Soit neuf, huit, trois et moins six.

Ensuite, nous avons la matrice de variables. Cette matrice se compose des variables de notre système, soit 𝑥 et 𝑦. Enfin, nous avons la matrice constante. Cela se compose simplement des constantes de notre système, soit huit et moins sept.

Alors, maintenant que nous avons mis en place notre équation matricielle, nous pouvons regarder en utilisant la règle de Cramer. Commençons par trouver Δ indice 𝑥 et Δ indice 𝑦. Rappelez-vous que Δ indice 𝑥 et Δ indice 𝑦 sont les déterminants des matrices trouvées en résultat de la substitution des éléments de la matrice des constantes dans les éléments des colonnes des coefficients 𝑥 et 𝑦. Ainsi, pour trouver Δ indice 𝑥, nous considérons la matrice de coefficients. Puis, nous échangeons les coefficients 𝑥 dans la matrice de coefficients, soit neuf et trois, avec les éléments de la matrice constante, soit huit et moins sept. Ainsi, Δ indice 𝑥 est le déterminant de la matrice huit, huit, moins sept, moins six.

Nous devons maintenant calculer ce déterminant. Commençons donc par rappeler comment trouver le déterminant d’une matrice deux deux. Pour trouver le déterminant d’une matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, nous soustrayons le produit des diagonales, cela donne 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Ainsi, le déterminant de la matrice huit, huit, moins sept, moins six est huit multiplié par moins six moins huit multiplié par moins sept, soit moins 48 moins moins 56. Cela donne juste moins 48 plus 56. Nous obtenons huit.

Alors, maintenant, nous devons faire la même chose pour Δ indice 𝑦. Cela va être le déterminant de la matrice de coefficients, mais avec les coefficients 𝑦 remplacés par la matrice constante, soit neuf, huit, trois, moins sept. Nous devons donc maintenant trouver le déterminant de cette matrice. En utilisant la même méthode que nous utilisions pour la matrice Δ indice 𝑥, nous obtenons neuf multiplié par moins sept moins huit multiplié par trois. Cela nous donne moins 63 moins 24, soit moins 87. Maintenant, nous avons trouvé Δ indice 𝑥 et Δ indice 𝑦.

Nous devons encore trouver la valeur de Δ. Δ est le déterminant de la matrice de coefficients. Il s’agit du déterminant de la matrice neuf, huit, trois, moins six, soit neuf multiplié par moins six moins huit multiplié par trois, ce qui est moins 54 moins 24. Cela vaut moins 78. Maintenant que nous avons Δ indice 𝑥, Δ indice 𝑦 et Δ, nous pouvons maintenant appliquer la règle de Cramer. Elle indique que nous pouvons trouver la valeur de 𝑥 en calculant Δ indice 𝑥 sur Δ. Nous avons déjà trouvé que Δ indice 𝑥 était huit. Nous avons trouvé que Δ était moins 78. Par conséquent, 𝑥 vaut huit sur moins 78.

Nous pouvons en fait simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par deux, ce qui nous donne 𝑥 est égal à moins quatre sur 39. La règle de Cramer nous dit aussi que 𝑦 est égal à Δ𝑦 sur Δ. Nous avons trouvé Δ indice 𝑦 comme étant moins 87 et Δ comme étant moins 78. Ainsi, 𝑦 est égal à moins 87 sur moins 78. Puisque 78 et 87 sont tous deux divisibles par 3, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par trois. En fait, nous pouvons diviser notre numérateur et notre dénominateur par moins trois, ce qui nous donne 29 sur 26. Cela nous amène donc à notre réponse finale : 𝑥 est égal à moins quatre sur 39 et 𝑦 est égal à 29 sur 26.