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Vidéo : Additionner et soustraire des racines carrées ou cubiques

Anne-Claire Dupuis

Les racines carrées et cubiques ne peuvent pas être additionnées et soustraites comme des nombres “normaux”. Nous regardons ici comment additionner et soustraire des racines carrées ou cubiques en simplifiant les racines si possible (en “sortant” les carrés parfaits) et en groupant les termes identiques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment simplifier des expressions dans lesquelles des racines carrées ou cubiques sont additionnées ou soustraites. Nous allons voir comment traiter ces racines carrées ou cubiques comme des termes identiques, que l’on peut donc collectionner et additionner.

Avant de commencer, rappelons-nous ce qu’est une racine carrée.

Si je considère un carré d’aire quatre. La longueur de son côté est alors donnée par racine carrée de quatre ; ici, égale deux. Si maintenant, je considère un carré de côté sept. La longueur de son côté est donnée par racine carrée de sept. Ce nombre n’a pas de résultat entier. On appelle ce nombre un nombre irrationnel. On peut trouver une approximation de ce nombre en utilisant par exemple une calculatrice. Mais si on veut parler de ce nombre avec exactitude, donc, comme étant la longueur du côté du carré dont l’aire est sept, nous allons utiliser dans les expressions : racine carrée de sept, écrit de cet façon.

Ces racines carrées qui ne peuvent pas être simplifiées, donc que l’on écrit comme ici, racine de sept, nous allons voir qu’elles peuvent-être combinées comme des termes identiques, de la même façon que nous faisons avec des variables. Par exemple, trois 𝑥 et cinq 𝑥 ou quatre 𝑦 et moins sept 𝑦. La différence ici avec une variable 𝑥 ou 𝑦, c’est que dans le cas d’une variable, nous ne savons pas quel nombre exactement se cache derrière la lettre 𝑥 ou 𝑦. Ici, par contre, nous savons très bien de quoi nous parlons. Par exemple, racine carrée de sept c’est la longueur du côté du carré dont l’aire est sept.

Regardons maintenant cet exemple : Simplifier racine carrée de sept plus racine carrée de sept. Imaginons que nous disions que 𝑥 égale racine carrée de sept, alors je peux réécrire racine carrée de sept plus racine carrée de sept comme 𝑥 plus 𝑥 ; soit deux 𝑥. Et puisque 𝑥 égale racine de sept, on a racine carrée de sept plus racine carrée de sept égalent deux racines carrées de sept.

Il est important de se rappeler ici que le deux devant racine carrée de sept donc deux racines carrées de sept, veut dire qu’on a deux fois le nombre racine carrée de sept. Il ne faut pas confondre ce deux avec le petit deux que l’on écrit en haut, à gauche de la racine, pour dire qu’elle est carrée. En fait, en l’absence du deux, c’est sous-entendu que c’est une racine carrée, et parfois d’ailleurs on dit juste racine, quand en fait, nous voulons dire racine carrée.

Voyons maintenant cet exemple avec des racines cubiques de trois.

Pour rappel, racine cubique de trois est la longueur du côté du cube dont le volume est trois. Dans l’exemple ici, on nous demande de simplifier racine cubique de trois plus deux fois racine cubique de trois plus trois fois racine cubique de trois. Dans le premier terme ici, nous en avons, nous avons racine cubique de trois, ce qui veut dire nous en avons une fois, une fois ce nombre. Donc on peut écrire un devant. Donc on voit que dans le premier terme nous avons une racine cubique de trois, et on en ajoute, on en a deux dans le deuxième, et dans le troisième on en a trois. Donc on va ajouter un et deux, trois, plus trois, six. Donc au total nous en avons six. Donc cette expression peut se simplifier en six racines cubiques de trois.

Ici, nous devons simplifier racine carrée de huit plus trois fois racine carrée de deux moins quatre fois racine carrée de deux. Nous voyons ici que les deux derniers termes sont identiques, puisqu’ils sont tous les deux avec des racines carrées de deux. Donc dans le premier d’eux, nous en avons trois fois et dans le deuxième, quatre fois. Donc plus trois racines de deux moins quatre racines de deux, ça nous donne plus trois moins quatre, moins un, donc ça nous donne moins une fois racine de deux, donc que je peux écrire ici, et donc, j’ajoute ici moins racine de huit. Donc, j’ai racine carrée de huit moins racine de deux.

Arrêtons-nous un instant sur racine carrée de huit. Nous savons que racine carrée de huit est la longueur du côté du carré dont l’aire est huit. Nous savons toutefois que huit peut-être écrit comme quatre fois deux. Cela veut dire que je peux diviser mon carré en quatre carrés égaux, et chaque petit carré a donc une aire de deux. Et donc, la longueur du côté du petit carré est racine carrée de deux. Et ainsi, racine carrée de huit est égale à deux racines carrées de deux.

Ceci peut-être aussi obtenu algébriquement en réécrivant racine carrée de huit comme racine carrée de quatre fois deux, et on peut le séparer ici en un produit de deux racines. Et donc, on obtient deux fois racine de deux, qui est deux racines de deux, car la racine carrée de quatre est deux. Donc, on retrouve bien le même deux ici, qui vient du racine carrée de quatre.

Revenons donc à notre exercice et à cette expression à simplifier. Donc, si nous remplaçons racine de huit par deux racines de deux, nous obtenons deux racines de deux moins racine de deux, ce qui est égal à racine de deux. Notre expression peut donc être simplifiée en racine carrée de deux.

Dans cet exemple, nous devons simplifier six plus quatre racines carrées de 11 moins trois plus deux racines carrées de 11. Donc ici, nous voyons nous avons un mélange de racines carrées de 11 et de termes qui sont des nombres normaux, c’est-à-dire des nombres qui ne sont pas exprimés sous la forme de racine carrée ou de racine cubique. Donc six et moins trois sont les deux nombres qui n’ont pas de racines, et quatre racines de 11 et deux racines de 11 sont tous les deux des termes identiques, puisqu’ils contiennent tous les deux, racine carrée de 11. Donc nous avons maintenant groupé les termes identiques, et il est facile maintenant de les additionner ou les soustraire. Donc, six moins trois nous donne trois, et quatre racines de 11 plus deux racines de 11 nous donne en tout six racines de 11. Voilà donc notre résultat.

Voici un autre exemple, cette fois-ci avec des parenthèses : Donc, simplifier deux plus six racines de cinq, entre parenthèses, plus, ouvrez les parenthèses, neuf plus huit racines de cinq. On voit ici que dans cette expression, la seule opération utilisée est l’addition, et donc les parenthèses n’ont aucun rôle particulier ; puisque l’addition étant associative, nous pouvons effectuer les opérations dans l’ordre que nous voulons. Nous pouvons donc enlever les parenthèses, et ensuite grouper les termes identiques.

Donc deux et neuf sont les nombres sans racines, c’est-à-dire des nombres rationnels, et six racines de cinq plus huit racines de cinq sont donc les nombres avec des racines carrées, ici, racine carrée de cinq. Il est maintenant facile d’additionner les termes identiques, et donc deux plus neuf nous donne 11, et six racines de cinq plus huit racines de cinq nous donne 14 racines carrées de cinq. Et donc voici la version simplifiée de l’expression du départ.

Regardons maintenant notre dernier exemple : Simplifier racine de sept moins deux, moins, ouvrez les parenthèses, cinq moins trois racines de sept, fermez les parenthèses.

Ici, puisque nous avons une soustraction avant la deuxième paire de parenthèses, ces parenthèses-là vont jouer un rôle très important. La première paire de parenthèses par contre n’a aucun effet. Nous pouvons donc enlever la première paire de parenthèses et réécrire l’expression ainsi. Puisqu’il y a un moins devant la deuxième- le, nos parenthèses maintenant qui sont là, cela veut dire que nous allons enlever cinq, enfin soustraire cinq, et ensuite soustraire moins trois racines de sept, ce qui peut être réécris ainsi. Maintenant, si on soustrait moins trois racines de sept, cela veut dire que l’on ajoute trois racines de sept. Nous pouvons maintenant facilement identifier les termes identiques pour pouvoir les grouper. Donc nous avons ici racine carrée de sept et trois racines carrées de sept, qui sont donc les deux termes avec des racines carrées, et moins deux et moins cinq qui sont les nombres rationnels. Nous avons donc une racine carrée de sept plus trois racines carrées de sept, ce qui nous donne quatre racines carrées de sept, et moins deux moins cinq ce qui nous donne moins sept. Et voici donc la version simplifiée de notre expression du départ.

En résumé, les racines carrées ou cubiques peuvent être traitées comme des termes algébriques. Donc par exemple, si on a trois racines carrées de sept plus cinq racines carrées de sept, nous pouvons poser 𝑥 égale racine carrée de sept. Et donc, on peut penser cela comme trois fois 𝑥 plus cinq fois 𝑥. Donc on en a trois et cinq, donc ça nous fait au total huit 𝑥. Et donc maintenant, on peut remplacer 𝑥 par racine carrée de sept, ce qui nous donne huit racines carrées de sept.

Et enfin, il faut être très attentif aux parenthèses : comme nous avons vu avec les parenthèses, si, si c’est un signe plus avant la parenthèse, celle-ci n’aura aucun effet. Par contre, si c’est un signe moins, soyez très attentifs.