Vidéo de la leçon: Simplifier un monôme - règle du quotient

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment simplifier les monômes impliquant une ou plusieurs variables en utilisant la règle du quotient. Nous commencerons par rappeler ce que nous entendons par exposants ou indices, puis nous définirons la règle du quotient des puissances.

Considérons tout d’abord l’expression quatre à la cinquième puissance ou quatre à la puissance cinq. Le quatre est appelé la base et le cinq est appelé l’exposant. On les appelle parfois des puissances. L’exposant nous indique le nombre de fois que la base a été multipliée par elle-même. Dans ce cas, quatre à la puissance cinq est égal à quatre fois quatre fois quatre fois quatre fois quatre. Il y a cinq quatre. Si nous évaluons cela, nous obtenons 1024. Cela peut également être fait à l’aide d’une calculatrice scientifique comme c’est montré.

En mathématiques, on nous demande souvent de simplifier des expressions impliquant des puissances, mais on ne nous demande pas toujours de les évaluer. Cela est surtout vrai pour les grandes puissances où le calcul serait long et fastidieux. Voyons comment nous pouvons simplifier une expression qui implique un quotient de deux expressions exponentielles.

Simplifiez cinq à la puissance six divisé par cinq au cube.

Nous pouvons commencer cette question en écrivant le haut et le bas de l’expression sous forme développée. Cinq à la puissance six égale six cinq multipliés ensemble. Cinq au cube ou cinq à la puissance trois égale trois cinq multipliés ensemble. Nous rappelons que le fait de diviser le haut et le bas d’une fraction par le même nombre ne change pas sa valeur. On peut donc diviser le haut et le bas de cette expression par cinq trois fois. Trois des cinq au numérateur s’annulent ainsi que trois des cinq au dénominateur. Il nous reste donc cinq fois cinq fois cinq, ce qui équivaut à cinq au cube ou cinq à la puissance trois.

Nous avons en effet réduit chacun des exposants de trois. Cela nous amène à une règle générale si nous avons un quotient. 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. Lorsque nous divisons ou déterminons le quotient de deux termes exponentiels, nous pouvons soustraire les exposants ou les puissances. Cela peut également s’écrire comme 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. C’est ce qu’on appelle la règle du quotient des puissances.

Nous allons maintenant voir quelques exemples que nous pouvons résoudre à l’aide de cette règle.

Simplifiez 𝑥 à la puissance six divisé par 𝑥 à la puissance quatre.

Nous rappelons que d’après la règle du quotient des puissances, 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. Pour trouver le quotient de deux termes exponentiels ayant la même base, nous pouvons soustraire les exposants ou les puissances. Nous pouvons donc calculer la version simplifiée de notre expression en soustrayant quatre de six. Cela signifie que 𝑥 à la puissance six divisé par 𝑥 à la puissance quatre égale 𝑥 au carré.

Une autre façon de résoudre ce problème si nous ne nous souvenions pas de la règle serait d’écrire les deux termes en entier. 𝑥 à la puissance six est six 𝑥 multipliés ensemble. Dans ce cas, nous avons utilisé un point pour dire “multiplié” afin de ne pas être confondu avec la lettre x. 𝑥 à la puissance quatre peut être écrit de la même façon. Nous pouvons alors diviser le numérateur et le dénominateur par 𝑥 quatre fois, ce qui annule en fait quatre des 𝑥 du haut et du bas. On obtient alors 𝑥 multiplié par 𝑥 qui, encore une fois, est égal à 𝑥 au carré.

Cette méthode convient si nous avons de petites puissances. Cependant, elle devient plus compliquée si nous avons des puissances plus grandes. Ce sera le cas dans notre prochain exemple.

Simplifiez quatre à la puissance 17 divisé par quatre à la puissance neuf.

Nous pourrions commencer cette question en écrivant le numérateur et le dénominateur en entier. Le numérateur serait 17 quatre multipliés ensemble. Cette méthode prendrait beaucoup de temps. Nous utiliserons donc plutôt la règle du quotient pour les puissances. Celle-ci dit que 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. Pour trouver le quotient de deux termes exponentiels ayant la même base, nous pouvons soustraire les puissances. Cela signifie que quatre à la puissance 17 divisé par quatre à la puissance neuf peut être réécrit comme quatre à la puissance 17 moins neuf. Comme 17 moins neuf est huit, notre réponse est donc quatre à la puissance huit.

Nos deux exemples suivants impliquent des problèmes plus compliqués où il y a plus de deux termes.

Simplifiez 𝑥 à la puissance 23 fois 𝑥 à la puissance 35 divisé par 𝑥 à la puissance 17 où 𝑥 n’égale pas zéro.

Pour résoudre ce problème, nous devons rappeler deux de nos règles des opérations sur les puissances. Tout d’abord, nous avons la règle du produit. Celle-ci dit que 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. D’autre part, la règle du quotient dit que 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. Lorsqu’on multiplie deux termes ayant la même base, on additionne les puissances, alors que lorsqu’on divise, on soustrait les puissances.

Nous commençons une question de ce type en simplifiant d’abord le numérateur et le dénominateur. Dans cette question, nous devons simplifier 𝑥 à la puissance 23 fois 𝑥 à la puissance 35. Lorsque deux termes sont multipliés, nous devons additionner les exposants. 23 plus 35 égale 58. Par conséquent, le numérateur se simplifie en 𝑥 à la puissance 58. Notre expression est donc simplifiée en 𝑥 à la puissance 58 sur ou divisé par 𝑥 à la puissance 17. Comme nous divisons ici, nous devons soustraire les exposants. 58 moins 17 égale 41. 𝑥 à la puissance 23 fois 𝑥 à la puissance 35 divisé par 𝑥 à la puissance 17 est égal à 𝑥 à la puissance 41.

Une méthode alternative ici pour garder le calcul aussi simple que possible serait de diviser d’abord 𝑥 à la puissance 23 par 𝑥 à la puissance 17. Cela nous donnerait 𝑥 à la puissance six fois 𝑥 à la puissance 35. Comme six plus 35 égale 41, cela nous donnerait la même réponse.

Notre question suivante est un problème impliquant plusieurs variables.

Simplifiez 𝑥 à la puissance quatre 𝑦 à la puissance quatre fois 𝑥 au carré 𝑦 à la puissance quatre divisé par 𝑥 à la puissance quatre 𝑦 au cube.

Cette expression implique deux variables, 𝑥 et 𝑦, que nous traiterons séparément. Nous devons également rappeler deux de nos règles des opérations sur les puissances. Il s’agit de la règle des produits et celle des quotients. La règle des produits dit que 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. La règle du quotient dit que 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏.

En multipliant deux termes ayant la même base, on additionne les puissances. Et en divisant, nous les soustrayons. Considérons d’abord notre variable 𝑥. Au numérateur, nous avons 𝑥 à la puissance quatre fois 𝑥 au carré. Et au dénominateur, nous avons 𝑥 à la puissance quatre. Nous pouvons remarquer ici que nous avons 𝑥 à la puissance quatre au numérateur et au dénominateur. Nous pouvons donc les diviser tous deux par ce terme. Il nous reste donc 𝑥 au carré. Nous aurions pu aussi additionner les puissances au numérateur. Quatre plus deux égale six. Nous aurions pu ensuite soustraire les puissances au dénominateur. Et six moins quatre égale deux.

En considérant la variable 𝑦, nous avons 𝑦 à la puissance quatre fois 𝑦 à la puissance quatre divisé par 𝑦 au cube ou 𝑦 à la puissance trois. En simplifiant le numérateur à l’aide de la règle du produit, on obtient 𝑦 à la puissance huit, car quatre plus quatre égale huit. Nous pouvons ensuite utiliser la règle du quotient pour simplifier 𝑦 à la puissance huit divisé par 𝑦 à la puissance trois. Huit moins trois égale cinq. Ainsi, notre variable 𝑦 simplifiée donne 𝑦 à la puissance cinq. Cela signifie que l’expression entière se simplifie en 𝑥 au carré 𝑦 à la puissance cinq. Bien que les deux variables puissent être écrites dans n’importe quel ordre, nous avons tendance à suivre le même format que la question, qui est normalement dans l’ordre alphabétique.

Notre dernière question est un problème impliquant des puissances négatives.

Simplifiez 𝑥 au cube ou 𝑥 à la puissance trois divisé par 𝑥 à la puissance six.

Nous rappelons que la règle du quotient des puissances dit que 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. Si la base est la même, nous pouvons soustraire les puissances. Cela signifie que dans notre question, 𝑥 au cube divisé par 𝑥 à la puissance six égale 𝑥 à la puissance trois moins six. Comme trois moins six égale moins trois, notre expression simplifiée est 𝑥 à la puissance moins trois.

Utilisons une autre méthode pour résoudre ce problème afin de comprendre ce que signifie une puissance ou un exposant négatif. 𝑥 au cube est 𝑥 fois 𝑥 fois 𝑥. 𝑥 à la puissance six est six 𝑥 multipliés ensemble. Cette expression peut être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par 𝑥. On peut répéter cela trois fois.

Le numérateur a donc été simplifié à un et le dénominateur à 𝑥 fois 𝑥 fois 𝑥, ce qui donne 𝑥 au cube. 𝑥 au cube divisé par 𝑥 à la puissance six peut donc s’écrire comme un divisé par ou sur 𝑥 au cube. Ces deux résultats nous amènent à la règle générale des puissances négatives. Celle-ci dit que 𝑥 à la puissance moins 𝑛 égale un sur 𝑥 à la puissance 𝑛 ou un sur 𝑥 à la 𝑛ième puissance.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Si vous avez un quotient de deux expressions exponentielles qui ont la même base, nous pouvons utiliser la règle du quotient des puissances pour simplifier l’expression. 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. On peut aussi écrire cela avec un signe de division au lieu de le faire sous forme de fraction. Par exemple, deux à la puissance huit divisé par deux à la puissance cinq égale deux à la puissance huit moins cinq, ce qui équivaut à deux au cube.

Dans cette vidéo, nous avons également utilisé la règle du produit des puissances. Celle-ci dit que 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Lorsque nous multiplions, nous ajoutons nos puissances, alors que lorsque nous divisons, nous les soustrayons. La dernière question que nous avons vue nous a également conduit à la règle des puissances négatives, qui dit que 𝑥 à la puissance moins 𝑛 égale un sur 𝑥 à la puissance 𝑛.