Vidéo question :: Déterminer la mesure du plus petit angle entre une droite et un plan étant donné leurs équations en trois dimensions Mathématiques

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Déterminez, à la seconde près, la mesure du plus petit angle entre la droite d’équation 𝑥 moins sept sur sept égale 𝑦 moins sept sur moins cinq égale 𝑧 moins quatre sur un et le plan d’équation six 𝑥 moins huit 𝑦 moins cinq 𝑧 moins 17 égale zéro.

Dans cette question, on a une droite et un plan. Et on doit déterminer l’angle entre eux. Plus précisément, on doit calculer la mesure du plus petit angle entre ces deux objets. Autrement dit, si notre plan ressemble à ceci vu de côté, et que notre droite coupe le plan de cette façon, on peut voir qu’il existe deux angles différents qu’on pourrait considérer comme l’angle entre le plan et la droite. Il est précisé dans l’énoncé qu’on s’intéresse ici à la plus petite de ces deux valeurs. Donc on sait qu’elle ne pourra pas être strictement supérieure à 90 degrés.

On note 𝜃 le plus petit des deux angles et on rappelle une relation mathématique qui nous permet de déterminer l’angle entre une droite et un plan. Si 𝐩 est un vecteur parallèle à une droite et 𝐧 un vecteur normal à un plan, alors le sinus de l’angle entre cette droite et ce plan est donné par cette expression.

Pour pouvoir utiliser cette équation, il est donc nécessaire de trouver un vecteur parallèle à notre droite et un vecteur normal à notre plan. On commence par chercher un vecteur parallèle à notre droite et pour cela, on considère l’équation de notre droite donnée dans l’énoncé, où l’on sait que ces trois fractions sont toutes égales entre elles car elles sont toutes égales à un même nombre, qu’on note 𝑡. Grâce à cela, on va pouvoir écrire ce qu’on appelle une représentation paramétrique de notre droite. Pour cela, on écrit une équation pour chacune des variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

D’après la fraction en 𝑥 de l’équation de notre droite, on sait que 𝑥 moins sept sur sept égale 𝑡. Par conséquent, 𝑥 est égal à sept fois 𝑡 plus sept. La fraction 𝑦 moins sept sur moins cinq est aussi égale à 𝑡. Donc, 𝑦 est égal à moins cinq 𝑡 plus sept. Enfin, 𝑧 moins quatre sur un est égal à 𝑡, donc on peut écrire que 𝑧 est égal à 𝑡 plus quatre.

On peut maintenant réécrire ces trois équations paramétriques de notre droite sous la forme d’un vecteur noté 𝐫, qui représente les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de notre droite. Dans cette expression de notre vecteur 𝐫, on sait que le second vecteur, celui par lequel on multiplie par notre variable 𝑡, est parallèle à notre droite. On a donc trouvé un vecteur parallèle à notre droite, de coordonnées sept, moins cinq, un, qui sera notre vecteur 𝐩.

Examinons à présent l’équation de notre plan donnée dans l’énoncé. Cette équation est donnée sous forme cartéseinne, car elle est de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro. On peut noter quels sont les coefficients, dans l’équation de notre plan, qui correspondent à chacune des constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑. On rappelle également que lorsqu’on a la forme cartésienne de l’équation d’un plan, un vecteur normal à ce plan est le vecteur de coordonnées 𝑎, 𝑏, 𝑐, qui sont les coefficients en 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de l’équation. Par conséquent, on sait qu’il existe un vecteur normal à notre plan qui a pour coordonnées six, moins huit, moins cinq.

On a donc trouvé les deux vecteurs dont on a besoin pour utiliser cette équation de l’angle entre un plan et une droite. Si on remplace nos vecteurs 𝐩 et 𝐧 dans cette expression, on obtient ce résultat. La prochaine étape consiste à calculer le produit scalaire qui apparaît dans notre numérateur en multipliant les coordonnées respectives de ces vecteurs. Et au dénominateur, on calcule les carrés des différentes coordonnées de ces deux vecteurs. Cela nous donne la valeur absolue de 42 plus 40 moins cinq divisée par la racine carrée de 49 plus 25 plus un fois la racine carrée de 36 plus 64 plus 25, qu’on peut simplifier pour obtenir 77 sur la racine carrée de 75 fois 125. N’oublions pas que cette expression n’est pas égale à la mesure de l’angle qu’on recherche, mais à son sinus.

Pour obtenir la mesure de notre angle, on applique la fonction réciproque du sinus des deux côtés de l’équation. On utilise la calculatrice pour obtenir le résultat qui, à la seconde près, est de 52 degrés, 40 minutes et 45 secondes. On remarque que cette mesure est effectivement inférieure à 90 degrés. Il s’agit donc bien du plus petit des deux angles entre notre droite et notre plan.

Par conséquent, notre réponse finale est que le plus petit angle entre la droite et le plan donnés dans l’énoncé est égal à 52 degrés, 40 minutes et 45 secondes.