Transcription de la vidéo
Une voiture de masse 5 tonnes roule le long d'un chemin rectiligne horizontal. La résistance à son mouvement est proportionnelle à sa vitesse. Lorsque la vitesse de la voiture est de 78 kilomètres par heure, la résistance est égale à 40 kilogrammes-force par tonne de la masse de la voiture. Sachant que la force maximale du moteur est de 300 kilogrammes-force, déterminez la vitesse maximale de la voiture 𝑉 et la puissance 𝑃 de son moteur à cette vitesse.
On commence par schématiser les informations sur un diagramme pour mieux comprendre la question. On a une voiture de masse cinq tonnes se déplaçant le long d’une route horizontale rectiligne. On nous dit que la résistance à son mouvement 𝑅 est directement proportionnelle à sa vitesse 𝑉. Puisque 𝑅 est directement proportionnelle à 𝑉, on sait que 𝑅 est égal à une constante 𝐾 multipliée par 𝑉. Et on peut calculer cette constante 𝐾 en divisant la résistance 𝑅 par la vitesse 𝑉. On nous dit que lorsque la voiture roule à 78 kilomètres par heure, la résistance est égale à 40 kilogrammes-force par tonne. Comme la voiture a une masse de cinq tonnes, la résistance est égale à 200 kilogrammes-force car 40 multiplié par cinq est 200.
On nous dit également que la force maximale du moteur est de 300 kilogrammes-force. Cela se produit lorsque la voiture roule à sa vitesse maximale 𝑉 que l’on essaie de calculer. Comme déjà mentionné, la résistance ici sera égale à 𝐾 multipliée par 𝑉. Comme la voiture roule à sa vitesse maximale, l’on sait que l’accélération sera égale à zéro. En plus du calcul de la vitesse maximale 𝑉, on doit calculer la puissance 𝑃 à laquelle le moteur fonctionne à cette vitesse. On le fera en utilisant la formule 𝑃 est égal à 𝐹 multiplié par 𝑉.
En revenant à notre premier schéma, on voit que la question nous donne des valeurs en unités non-standard. Afin de convertir 78 kilomètres par heure en unités standard de mètres par seconde, on rappelle qu’il y a 1000 mètres dans un kilomètre et 3600 secondes dans une heure. Cela signifie que l’on peut multiplier 78 par 1000 puis diviser par 3600. C’est la même chose que 78 divisé par 3,6, ce qui équivaut à 65 sur trois ou à 21,6666 etcetera par seconde. On doit également convertir la résistance de kilogramme-force en newtons. Et un kilogramme-force est égal à 9,8 newtons. En multipliant 200 par 9,8, on obtient 1960. La résistance au mouvement de la voiture est de 1960 newtons lorsque sa vitesse est de 65 sur trois mètres par seconde.
Maintenant, on peut utiliser ces valeurs pour calculer la constante 𝐾. Elle est égale à 1960 divisé par 65 sur trois. Comme la division par une fraction est la même chose que la multiplication par son inverse, c’est la même chose que 1960 multiplié par trois sur 65, ce qui nous donne une valeur de 𝐾 égale à 1176 sur 13.
Considérons ensuite notre deuxième schéma où la voiture roule à sa vitesse maximale. Et on commence par convertir 300 kilogrammes-force en newtons. En multipliant 300 par 9,8, nous obtenons 2940. La force maximale du moteur de la voiture est de 2940 newtons. Donc on peut utiliser ces informations pour calculer la vitesse maximale de la voiture 𝑉. La deuxième loi de Newton dit que 𝐹 est égal à 𝑚𝑎. La somme des forces vectorielles est égale à la masse multipliée par l’accélération. Il y a 1000 kilogrammes dans une tonne. Par conséquent, la masse de la voiture est de 5000 kilogrammes. Si l’on prend le sens positif comme le sens du déplacement, la somme de nos forces est 2940 moins 1176 sur 13 𝑉. Ceci est égal à une masse de 5000 multipliée par une accélération de zéro.
Le membre droit de l’équation est égal à zéro. Et nous pouvons ensuite ajouter 1176 sur 13 𝑉 des deux côtés. En divisant par 1176 sur 13, nous obtenons 𝑉 égal à 65 sur deux ou 32.5. La vitesse maximale de la voiture est de 32.5 mètres par seconde. Pour convertir cela en kilomètres par heure, nous pouvons multiplier 32.5 par 3.6. Cela équivaut à 117. La vitesse maximale de la voiture est de 117 kilomètres par heure.
Ensuite on peut calculer la puissance à laquelle le moteur fonctionne en multipliant la force de 2940 newtons par la vitesse de 32,5 mètres par seconde. Cela est égal à 95550 watts. Bien que ce soit la bonne valeur en unités standard, puisque la vitesse est en kilomètres par heure, on va exprimer la puissance en chevaux-vapeur. Rappelez-vous qu’un cheval-vapeur est égal à 735 watts. Cela signifie qu’on doit diviser 95550 par 735. Cela est égal à 130. La puissance à laquelle le moteur de la voiture fonctionne à sa vitesse maximale est de 130 chevaux-vapeur. On peut conclure que les réponses à cette question sont 𝑉 égal à 117 kilomètres par heure et 𝑃 égal à 130 chevaux-vapeur.