Vidéo de la leçon: Multiplier des binômes Mathématiques

Transcription de la vidéo

Multiplication des binômes. Dans cette vidéo, nous allons apprendre à multiplier deux binômes en utilisant différentes méthodes telles que la double distributivité et la méthode des aires. Commençons par nous rappeler ce qu’est un binôme. Un binôme est une expression qui contient la somme ou la différence de deux termes. Ainsi, par exemple, trois 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 est un binôme. De même que 𝑦 moins sept.

Donc, si nous avons deux binômes et que nous voulons les multiplier, à quoi cela ressemblerait-il ? Par exemple, si nous avons le binôme 𝑥 plus deux et que nous le multiplions par le binôme 𝑥 plus trois, nous pouvons écrire cela avec un symbole de multiplication au milieu. Notez que nous avons des parenthèses autour de chaque binôme pour que nous sachions que nous multiplions tous les termes de l’un par tous les termes de l’autre. Nous voyons le plus souvent ce type de problème sans le signe de multiplication entre les deux binômes. Nous pouvons également voir que la multiplication de deux binômes est désignée comme le développement, le développement du produit ou l’utilisation de la distributivité.

Maintenant, discutons comment multiplier nos deux binômes. Il existe plusieurs méthodes pour faire cela. Mais ici, nous allons utiliser deux méthodes différentes. La première méthode est la méthode de la double distributivité. Ici, elle consiste à multiplier les deux binômes selon la position des termes dans les deux binômes « Premier, Extérieur, Intérieur et Dernier ». La deuxième méthode est la méthode de l’aire ou de la grille. Et cette méthode de multiplication est souvent utilisée pour multiplier des entiers.

Voyons donc un exemple de multiplication de deux binômes et voyons comment appliquer ces deux méthodes.

Développez le produit deux 𝑥 plus un, 3𝑥 moins deux.

Dans cette question, le mot « produit » indique que nous allons multiplier les deux binômes. Nous allons utiliser deux méthodes différentes pour montrer le développement de ces binômes. La première est la double distributivité. Et la seconde est la méthode de l’aire ou de la grille. Donc, en commençant par la double distributivité, cela signifie que nous prenons les premiers termes, puis les termes extérieurs, puis les intérieurs, puis les derniers termes et nous les multiplions. En regardant les binômes, les premiers termes sont deux 𝑥 et trois 𝑥. Nous les multiplions donc, en écrivant deux 𝑥 fois trois 𝑥.

Les termes extérieurs seront deux 𝑥 et moins deux. Nous ajoutons donc deux 𝑥 fois moins deux. Les termes intérieurs seront un et trois 𝑥. Donc, nous ajoutons un fois trois 𝑥. Et enfin, les deux derniers termes seront un et moins deux. Donc, nous ajoutons un fois moins deux. Nous n’avons pas toujours besoin d’écrire cette ligne de calcul. Mais elle peut être utile pour illustrer notre méthode. Et maintenant, nous effectuons les produits. Deux 𝑥 fois trois 𝑥 donnent six 𝑥 au carré. Deux 𝑥 fois moins deux est moins quatre 𝑥 plus un fois trois 𝑥 est équivalent à trois 𝑥. Et enfin, un fois moins deux est moins deux.

Ce que nous allons faire ensuite à ce stade de la question c’est de simplifier en regroupant les termes semblables. Ici, nous avons deux termes avec 𝑥. Nous pouvons donc écrire ceci comme six 𝑥 au carré moins 𝑥 moins deux, car moins quatre 𝑥 plus trois 𝑥 est équivalente à moins 𝑥. Voyons comment nous pourrions obtenir la même réponse en utilisant la méthode de la grille. Pour établir notre grille, nous plaçons un binôme horizontalement et un binôme verticalement. Le premier binôme nous donnera deux 𝑥 et un horizontalement. Et le second binôme trois 𝑥 moins deux peut être divisé en trois 𝑥 et moins deux.

Nous calculons ensuite le produit de chaque ligne et colonne en commençant par trois 𝑥 fois deux 𝑥. Cela nous donnera six 𝑥 au carré. Ensuite, trois 𝑥 fois un donne trois 𝑥. Dans notre deuxième ligne, moins deux fois deux 𝑥 est moins quatre 𝑥. Et enfin, moins deux fois un est moins deux. Nous simplifions ensuite en additionnant les quatre termes et nous voyons si nous pouvons regrouper des termes semblables. Nous commençons avec six 𝑥 au carré. Nous avons ensuite trois 𝑥 et moins quatre 𝑥, ce qui se simplifie pour obtenir moins 𝑥 et ensuite notre dernier terme moins deux. En utilisant l’une ou l’autre de nos méthodes, nous obtiendrons donc la réponse suivante : six 𝑥 au carré moins 𝑥 moins deux.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir un problème où les binômes comprennent des termes variables différents. Cependant, nous pouvons utiliser le même processus et les mêmes méthodes pour obtenir une réponse pour le développement de ces deux binômes.

Utilisez la distributivité pour développer complètement deux 𝑥 plus 𝑦, 𝑥𝑦 moins deux 𝑧.

Dans cette question, l’expression « utiliser la distributivité » signifie que nous pouvons multiplier la somme en multipliant chaque élément de l’addition séparément, puis en additionnant les produits. Nous pourrions utiliser un certain nombre de méthodes pour développer les parenthèses. Ici, nous allons en envisager deux. La première méthode est la double distributivité. Nous pouvons rappeler que ça consiste de multiplier les deux binômes selon la position des termes dans les deux binômes ; le premier terme, le terme extérieur, le terme intérieur et le dernier terme de nos binômes.

Donc, avec nos deux binômes, nous commençons par multiplier les deux premiers termes, soit deux 𝑥 fois 𝑥𝑦. Ensuite, nos termes extérieurs seront deux 𝑥 fois moins deux 𝑧. Il faut toujours faire très attention lorsque nous avons la variable 𝑧, car nous ne voulons pas la confondre avec le chiffre deux. Ensuite, nos termes intérieurs seront 𝑦 fois 𝑥𝑦. Et enfin, nous ajoutons le produit de nos derniers termes, qui est 𝑦 fois moins deux 𝑧.

Nous devons maintenant simplifier nos produits. Le coefficient de notre premier terme est deux. 𝑥 fois 𝑥 sera 𝑥 au carré. Et nous avons notre 𝑦. Le premier terme se simplifie donc à deux 𝑥 au carré 𝑦. Le coefficient de notre deuxième terme est déterminé en multipliant deux par moins deux, ce qui nous donne moins quatre. Et nous avons alors 𝑥 fois 𝑧. Notre troisième terme simplifié sera 𝑥𝑦 au carré puisque nous avons 𝑦 fois 𝑦. Et notre dernier terme sera moins deux 𝑦𝑧. À ce stade, nous vérifions toujours si nous pouvons simplifier notre réponse en regroupant les termes semblables. Et comme il n’y en a pas ici, ce serait notre réponse finale.

Comme méthode alternative, nous pourrions utiliser la méthode de l’aire ou de la grille pour développer nos binômes. Pour construire notre grille, nous divisons nos binômes en termes de composantes, avec un sur la ligne et un sur la colonne. Et peu importe dans quel sens nous les plaçons. Pour remplir chaque case de notre grille, nous multiplions la valeur de la ligne par la valeur de la colonne.

Ainsi, en prenant notre première case, nous avons 𝑥𝑦 fois deux 𝑥, ce qui donnerait deux 𝑥 au carré 𝑦. Pour notre case suivante, nous multiplions 𝑥𝑦 par 𝑦 pour obtenir 𝑥𝑦 au carré. Sur la ligne suivante, nous avons donc moins deux 𝑧 fois deux 𝑥, ce qui nous donne un moins quatre 𝑥𝑧. Et la valeur finale de notre grille serait moins deux 𝑦𝑧. Pour trouver notre réponse à partir de cette grille, nous additionnons nos quatre produits, ce qui nous donne deux 𝑥 au carré 𝑦 moins quatre 𝑥𝑧 plus 𝑥𝑦 au carré moins deux 𝑦𝑧, ce qui est identique à ce que nous avons obtenu avec la double distributivité.

Voyons maintenant une question où nous soustrayons le développement de deux binômes d’un autre terme.

Développez et simplifiez sept moins trois moins 𝑦, 𝑦 plus deux.

Dans cette question, nous pouvons voir que nous avons deux binômes qui sont multipliés ensemble. Nous allons d’abord développer ces binômes et ensuite soustraire la réponse de sept. Nous allons utiliser la méthode de la grille pour multiplier ces binômes. Et notez que le signe moins devant eux n’est pas inclus.

Pour construire notre grille, nous avons trois moins 𝑦 comme premier binôme. Notre deuxième binôme peut être divisé en les termes deux et 𝑦. Et nous pouvons l’écrire avec ou sans le signe plus. Peu importe dans quel sens nous mettons nos binômes. En remplissant notre grille, nous commençons par 𝑦 fois trois, ce qui fait trois 𝑦. Ensuite, nous avons 𝑦 fois moins 𝑦, ce qui nous donne moins 𝑦 au carré. Sur la ligne suivante, nous avons deux fois trois, ce qui fait six. Et le terme final est calculé par deux fois moins 𝑦, ce qui donne moins deux 𝑦.

Pour prendre notre réponse à partir de la grille, nous additionnons les quatre produits que nous venons de calculer. En commençant par notre plus grand exposant de 𝑦, nous avons moins 𝑦 au carré. Ensuite, nous remarquons que nous avons deux termes avec 𝑦 que nous pouvons regrouper. Donc, trois 𝑦 plus moins deux 𝑦 nous donneront 𝑦. Ensuite, nous ajoutons notre dernier terme de la grille qui est six. Donc, pour répondre à la question sept moins trois moins 𝑦, 𝑦 plus deux, nous remplaçons ce que nous avons calculé dans notre développement, ce qui nous donne sept moins moins 𝑦 au carré plus 𝑦 plus six.

Il est important d’inclure tous ces termes entre parenthèses, car nous voulons les soustraire tous. Il peut être utile d’écrire la ligne suivante où nous distribuons le signe moins sur tous les termes. Nous avons donc sept moins moins 𝑦 au carré, qui est 𝑦 au carré. Moins fois 𝑦 nous donnera moins 𝑦. Et enfin, moins fois six nous donnera moins six.

Pour simplifier, nous vérifions alors s’il existe des termes semblables. Nous pouvons voir que nous avons sept et moins six, ce qui est égal à un, et ça nous donne une réponse finale de 𝑦 au carré moins 𝑦 plus un. Nous pouvons écrire ces termes dans n’importe quel ordre. Mais par convention, nous les écrivons généralement en ordre décroissant de puissance. Ici, nous avons d’abord notre 𝑦 au carré, puis notre terme 𝑦, et enfin notre constante.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir les binômes qui ont des valeurs de puissances plus élevées. Et nous allons utiliser les règles de calcul sur les puissances pour nous aider à résoudre le problème.

Déterminez 𝐴𝐵 sachant que 𝐴 égale cinq 𝑥 au cube moins trois 𝑥 et que 𝐵 égale moins six 𝑥 au carré plus trois 𝑥.

Pour déterminer 𝐴𝐵 dans cette question, cela signifie que nous devons multiplier 𝐴 et 𝐵. On peut donc trouver 𝐴𝐵 en multipliant cinq 𝑥 au cube moins trois 𝑥 par moins six 𝑥 au carré plus trois 𝑥. Puisque 𝐴 et 𝐵 sont tous deux des binômes, nous pouvons utiliser une méthode pour multiplier ou développer deux binômes. Ainsi, en effectuant une multiplication ou une grille d’aire, nous pouvons diviser nos binômes en leurs termes distincts, en n’oubliant pas d’inclure les signes moins partout où ils apparaissent.

Pour trouver la valeur dans chaque case, nous prenons le produit de la valeur qui se trouve dans la ligne et ou la colonne. Le coefficient du terme dans la première case peut être trouvé en multipliant moins six et cinq, ce qui donne moins 30. Pour notre terme 𝑥, nous multiplions 𝑥 au carré par 𝑥 au cube. Et là, il se peut que nous devions faire une pause et nous rappeler une des règles de calcul sur les puissances. Et c’est que 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Ainsi, notre calcul 𝑥 au carré fois 𝑥 au cube est égal à 𝑥 à la puissance cinq. Par conséquent, le premier terme de notre grille est moins 30𝑥 à la puissance cinq.

Dans la case suivante de notre grille, nous avons le coefficient, qui sera égal à moins six fois moins trois, qui donnera 18 puisque la multiplication de deux valeurs négatives donne toujours une valeur positive. Pour la valeur de 𝑥, nous avons donc 𝑥 au carré fois 𝑥, ce qui équivaut à 𝑥 au carré fois 𝑥 à la puissance un, ce qui nous donne 𝑥 au cube. Ainsi, le terme entier sera 18𝑥 au cube. Dans la ligne suivante, nous avons trois 𝑥 fois cinq 𝑥 au cube, ce qui nous donnera 15𝑥 à la puissance quatre. Le terme final dans notre grille est calculé par trois 𝑥 fois moins trois 𝑥. Et c’est égal à moins neuf 𝑥 au carré.

Pour trouver la réponse à l’aide de la grille, nous additionnons alors nos quatre produits, ce qui nous donne moins 30𝑥 à la puissance cinq plus 15𝑥 à la puissance quatre plus 18𝑥 au cube moins neuf 𝑥 au carré. Comme il n’y a pas de termes semblables, nous ne pouvons pas simplifier davantage. Voici donc notre réponse finale pour 𝐴𝐵.

Avant de résumer ce que nous avons appris dans cette vidéo, il peut être utile de noter que la multiplication de deux binômes fait partie de la méthode que nous utilisons pour multiplier trois binômes ou plus. Cela n’entre pas dans le cadre de cette vidéo. Mais à titre indicatif, si nous multiplions trois binômes, par exemple, 𝑥 plus trois fois 𝑥 plus sept fois deux 𝑥 moins cinq, nous développons deux des binômes, par exemple, pour obtenir 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus 21, puis nous multiplions cela par deux 𝑥 moins cinq. Ici, nous pourrions utiliser la méthode de la grille pour trouver notre réponse finale à cette question.

Donc, en résumé, dans cette vidéo, nous avons appris à multiplier deux binômes en utilisant deux méthodes, la méthode de la distributivité et la méthode de l’aire ou de la grille. Il faut faire attention en multipliant des valeurs négatives. Et enfin, nous pouvons avoir besoin d’utiliser une règle importante de calcule sur les puissances lorsque nous multiplions des binômes. C’est-à-dire que 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏.