Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier et écrire une fonction polynôme à une variable, et comment déterminer sa valeur et indiquer son degré et son coefficient dominant.
Il est tout à fait possible que vous ayez déjà étudié des fonctions polynômes, peut-être même sans le savoir. Ce sont des fonctions telles que les fonctions affines, les fonctions du second degré, les fonctions du troisième degré, etc., en d’autres termes, il s’agit de fonctions avec des puissances entières et positives de 𝑥. En général, une fonction polynôme est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 n 𝑥 puissance n plus 𝑎 n moins un x puissance 𝑛 moins un et ainsi de suite jusqu’à 𝑎 un 𝑥 plus 𝑎 zéro. Où tous les 𝑎 sont des constantes réelles. Et on dit que la fonction polynôme est de degré 𝑛, le degré étant la puissance ou l’exposant de x le plus élevé.
Par exemple, la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré plus huit 𝑥 moins trois est de degré deux. Alors que la puissance ou l’exposant le plus élevé de 𝑥 dans la fonction 𝑓 de 𝑥 égale quatre moins trois 𝑥 au cube est trois. Cette fonction est donc de degré trois. Remarquez que si la fonction présente des termes tels que des racines carrées ou des inverses, comme 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 ou 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥. Alors elle n’est pas considérée comme une fonction polynôme. Rappelez-vous que 𝑛 doit être un entier positif. Il est également utile de noter que 𝑓 de 𝑥 égale zéro est une fonction polynôme mais on dit que son degré est indéfini.
Nous devons également être capable d’évaluer des fonctions polynômes. Nous allons donc rappeler ce que l’on entend par cette notation. On dit 𝑓 de 𝑥, où 𝑓 est le nom de la fonction et 𝑥 est la variable. Supposons que nous souhaitions évaluer 𝑓 de quatre. On devrait alors remplacer toute les instances de la variable 𝑥 par le nombre quatre et calculer l’expression résultante. Voyons avec un exemple comment cela fonctionnerait.
Calculez la valeur de 𝑓 de huit pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale trois moins sept 𝑥.
Dans cette question, nous avons une fonction polynôme. La plus grande puissance de 𝑥 est ici un. Donc, le degré de cette fonction polynôme est un. Sa variable est 𝑥. Et on voit que l’image de cette variable par la fonction est trois moins sept fois 𝑥. La question nous demande alors de calculer 𝑓 de huit. Nous allons donc remplacer 𝑥 par huit. 𝑓 de huit égale trois moins sept fois huit. Mais faites attention ici. On pourrait écrire à tort 78, mais sept 𝑥 représente en fait sept fois 𝑥.
Pour évaluer 𝑓 de huit, on utilise ensuite l’ordre des opérations standard, parfois appelé PEMDAS. Il nous indique que l’on doit d’abord calculer ce produit avant de pouvoir le soustraire à trois. Sept fois huit égale 56. Donc, 𝑓 de huit égale trois moins 56. 3 moins 56 égale moins 53. Par conséquent, pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale trois moins sept 𝑥, 𝑓 de huit égale moins 53.
Dans le prochain exemple, nous allons voir comment évaluer une fonction du second degré. Il s’agit, comme son nom l’indique, d’une fonction de degré deux.
Sachant que 𝑓 de 𝑥 égale moins huit 𝑥 carré moins trois 𝑥 plus quatre, calculez 𝑓 de moins trois.
Nous avons ici une fonction polynôme. On rappelle qu’il s’agit d’une fonction où les puissances de 𝑥 sont toutes des entiers positifs. La plus grande puissance de 𝑥 de cette fonction polynôme est deux. On dit donc que la fonction est de degré deux. Maintenant, la question nous demande de calculer la valeur de 𝑓 de moins trois. En d’autres termes, quelle est l’image par la fonction 𝑓 de la valeur moins trois? Pour la calculer, nous allons donc remplacer 𝑥 par moins trois dans toute la fonction.
Le premier terme de la fonction est moins huit 𝑥 au carré. Donc il devient moins huit fois moins trois au carré. Le terme suivant est moins trois fois 𝑥. Donc on soustrait trois fois moins trois. Et le dernier terme est quatre ; il est indépendant de 𝑥, donc il reste tel quel. Pour évaluer cette expression, nous devons bien sûr utiliser l’ordre standard des opérations. Il nous indique dans quel ordre nous devons effectuer les calculs. On le trouve parfois sous l’acronyme PEMDAS. On calcule les puissances ou les exposants avant toute multiplication. Nous allons donc commencer par évaluer moins trois au carré.
Eh bien, moins trois au carré égale moins trois fois moins trois. Un nombre négatif multiplié par un autre nombre négatif donne un nombre positif. Donc, moins trois au carré égale plus neuf. On a ainsi moins huit fois neuf moins trois fois moins trois plus quatre. On calcule à présent tous les produits avant de les additionner ou de les soustraire. Huit fois neuf égale 72. Et nous savons qu’un nombre négatif multiplié par un nombre positif donne un nombre négatif.
On soustrait donc trois fois moins trois. Et trois fois moins trois égale moins neuf. Donc on doit soustraire moins neuf. Mais on sait bien sûr que soustraire un nombre négatif revient à ajouter un nombre positif. On obtient donc moins 72 plus neuf plus quatre. Il ne nous reste maintenant que des additions et des soustractions. Lorsque c’est le cas, on effectue simplement les calculs de gauche à droite. Moins 72 plus neuf égale moins 63.
En ajoutant neuf, on se déplace de neuf unités vers la droite sur la droite numérique. On ajoute ensuite quatre à cela, ce qui revient une fois de plus à se déplacer de quatre unités vers la droite sur la droite numérique. Donc, moins 63 plus quatre égale moins 59. Pour la fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 égale moins huit 𝑥 carré moins trois 𝑥 plus quatre, nous concluons donc que 𝑓 de moins trois est égale à moins 59.
Nous allons maintenant analyser ce qui se passe si la variable de la fonction est elle-même un binôme.
Soit la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 carré moins trois 𝑥 moins quatre. Déterminez l’expression de 𝑓 de 𝑥 plus trois.
Nous avons ici une fonction avec des puissances de x. La puissance de 𝑥 la plus élevée est deux. Donc on peut dire que la fonction est de degré deux. La variable actuelle de cette fonction est 𝑥. Mais la question veut que nous déterminions ce qui se passe lorsque la variable devient 𝑥 plus trois. On parcourt donc la fonction. Et chaque fois que l’on voit la variable 𝑥, on la remplace par l’expression 𝑥 plus trois. Le premier terme de la fonction est 𝑥 au carré. Donc en remplaçant 𝑥 par 𝑥 plus trois, on obtient 𝑥 plus trois au carré.
Le terme suivant est moins trois 𝑥. Et on remplace 𝑥 par 𝑥 plus trois. Donc, on soustrait trois fois 𝑥 plus trois. Et le dernier terme est moins quatre. Il est indépendant de 𝑥. Donc, il reste tel quel. Nous allons maintenant développer les parenthèses de notre fonction. On commence par le premier terme. Qui est 𝑥 plus trois au carré. Rappelez-vous que 𝑥 plus trois au carré égale 𝑥 plus trois fois 𝑥 plus trois.
Pour distribuer ces parenthèses, on commence par multiplier les premiers termes de chaque expression. 𝑥 fois 𝑥 égale 𝑥 au carré. On multiplie ensuite les termes externes. 𝑥 fois trois égale trois 𝑥. Puis les termes internes, qui nous donnent également trois 𝑥. Enfin, on multiplie les derniers termes et on obtient neuf. La dernière étape consiste à regrouper les termes semblables. Eh bien, trois 𝑥 plus trois 𝑥 font six 𝑥. Donc 𝑥 plus trois au carré égale 𝑥 carré plus six 𝑥 plus neuf.
Développons maintenant le deuxième ensemble de parenthèses. Cette fois, on multiplie tout ce qui se trouve entre les parenthèses par moins trois. Moins trois fois 𝑥 égale moins trois 𝑥. Et moins trois fois trois égale moins neuf. Enfin, on additionne avec le moins quatre. Donc, 𝑓 de 𝑥 plus trois égale 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus neuf moins trois 𝑥 moins neuf moins quatre. On peut simplifier davantage en regroupant les termes semblables.
On a un 𝑥 au carré. On a ensuite six 𝑥 moins trois 𝑥, ce qui nous donne trois 𝑥. Et enfin, on a neuf moins neuf moins quatre, ce qui fait moins quatre. Donc, 𝑓 de 𝑥 plus trois égale 𝑥 carré plus trois 𝑥 moins quatre. Cette information peut en fait être très utile. Vous savez peut-être que 𝑓 de 𝑥 plus trois est une translation de la courbe représentative de la fonction originale par le vecteur moins trois, zéro. On en conclut donc que lorsque l’on effectue cette translation, la fonction représentée passe de f de 𝑥 égale 𝑥 carré moins trois 𝑥 moins quatre à 𝑥 carré plus trois 𝑥 moins quatre.
Dans le prochain exemple, nous allons voir comment identifier les courbes représentatives des fonctions polynômes.
Associez chaque fonction à sa courbe représentative. Pour chaque fonction, indiquez son degré et son coefficient dominant.
Et la question liste plusieurs fonctions. Il y a une fonction affine. Il s’agit d’une fonction dont la puissance de 𝑥 la plus élevée est un. Il y a ensuite une fonction dont le degré ou une puissance la plus élevée de 𝑥 est deux. Et une fonction du troisième degré. Sa plus grande puissance de 𝑥 est trois. Les degrés des trois premières fonctions sont donc respectivement un, deux et trois.
Mais que pouvons-nous dire des deux dernières fonctions? Pour la quatrième, on peut réfléchir à ce qui se passerait si on distribuait les parenthèses. On finirait, à un moment donné, par multiplier chacun de ces 𝑥 ensemble. On obtiendrait alors 𝑥 puissance quatre. Cela signifie qu’il s’agit d’une fonction du quatrième degré. Sa puissance de 𝑥 la plus élevée est quatre. Donc, le degré de cette fonction est quatre.
Penchons-nous maintenant sur la dernière fonction. À première vue, il semble que ce ne soit pas une fonction polynôme. Elle contient une fraction sur x ; mais on peut manipuler cette fraction en divisant les deux termes du numérateur par 𝑥. 𝑥 puissance quatre divisé par 𝑥 égale 𝑥 au cube, et deux 𝑥 au cube divisé par 𝑥 égale deux 𝑥 carré. Donc, 𝑓 de 𝑥 est en fait égale à 𝑥 au cube plus deux 𝑥 carré moins 𝑥. Il s’agit d’une autre fonction du troisième degré : sa puissance de 𝑥 la plus élevée est trois. Donc le degré de la dernière fonction est trois.
Nous avons ainsi déterminé les degrés de chacune des fonctions. Passons maintenant à leurs coefficients dominants. Le coefficient dominant est le nombre écrit devant la variable avec la plus grande puissance. Pour la première fonction, il se trouve dans ce terme. Appelons le coefficient dominant c.d. Le coefficient dominant est donc ici moins un. Pour la deuxième fonction, il est dans ce terme. Le coefficient dominant est donc deux. Dans la troisième fonction, la puissance la plus élevée de 𝑥 est 𝑥 au cube. Et donc, le coefficient dominant est ici moins trois. Pour la quatrième fonction, on a vu qu’en distribuant les parenthèses, on obtenait 𝑥 puissance quatre. Donc, le coefficient dominant est un. De même, le coefficient de 𝑥 au cube dans la dernière fonction est un. Donc, son coefficient dominant est un.
Très bien, nous connaissons maintenant le degré et le coefficient dominant de chaque fonction. Et nous devons à présent associer chaque fonction à sa courbe représentative. Nous allons pour cela rappeler une propriété vraiment utile. Une fonction polynôme de degré 𝑛 peut avoir jusqu’à n moins un extremums. Cela signifie que la première fonction, de degré un, peut avoir jusqu’à un moins un, soit zéro extremum. La deuxième fonction en aura jusqu’à deux moins un, c’est-à-dire un extremum. La fonction suivante peut avoir jusqu’à trois moins un, soit deux extremums. De la même manière, la quatrième fonction aura jusqu’à trois extremums. Et la dernière fonction en aura deux au plus.
La seule courbe qui a trois extremums est celle-ci ; ils sont ici, ici et ici. Ils représentent les endroits où la courbe change de variation. Donc, cette courbe doit représenter la fonction de degré quatre. Il n’y a qu’une seule courbe avec un extremum. Elle doit donc correspondre à la fonction du second degré. Les courbes représentatives des fonctions du second degré ressemblent en fait toujours à une parabole. La fonction affine 𝑓 de 𝑥 égale trois moins 𝑥 est cette droite ; elle n’a pas d’extremum.
Il ne nous reste donc qu’à associer les deux dernières courbes. Ce sont deux courbes représentatives de fonctions de degré 3, et nous pouvons les identifier en fonction de leur coefficient dominant. Cette courbe en bas doit avoir un coefficient dominant négatif, alors que celle-ci doit avoir un coefficient dominant positif. Celle-ci doit donc être la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 puissance quatre plus deux 𝑥 au cube sur 𝑥 moins 𝑥. Et celle-là doit être la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥 moins trois 𝑥 au cube.
Nous allons maintenant étudier un autre exemple qui utilise les informations sur le nombre d’extremums en fonction du degré d’une fonction.
La courbe représentative ci-dessous correspond à une fonction polynôme 𝑓. Quel est le degré de 𝑓? Est-ce un, deux, trois, quatre ou cinq?
On rappelle qu’une fonction polynôme de degré 𝑛 peut avoir jusqu’à n moins un extremums. En d’autres termes, si nous pouvons trouver le nombre d’extremums de la fonction, nous savons que son degré est supérieur ou égale à ce nombre plus un. Comptons donc les extremums de cette courbe. On voit que la courbe change de variation ici et ici. Mais que se passe-t-il ici? Eh bien, la courbe ne semble pas complètement changer de variation ici. Il s’agit en fait d’un point d’inflexion. Qui est un point où la convexité de la courbe représentative change.
Une autre propriété à savoir est qu’une fonction polynôme de degré 𝑛 peut avoir jusqu’à 𝑛 moins deux points d’inflexion. Et on peut considérer que la courbe change de variation très rapidement deux fois au point d’inflexion On peut ainsi le considérer comme deux extremums en un. Cela signifie que l’on aurait quatre extremums au total. Donc le degré de cette fonction polynôme doit être cinq.
Dans cette vidéo, nous avons appris qu’une fonction polynôme est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 n x puissance n plus 𝑎 n moins un 𝑥 puissance 𝑛 moins un et ainsi de suite. Nous avons vu que les 𝑎 sont toutes des constantes réelles et que les puissances de 𝑥 doivent être des nombres entiers positifs. Nous avons de plus appris que le degré de la fonction est la puissance ou l’exposant de 𝑥 le plus élevé. Cette fonction polynôme générale est donc de degré 𝑛. Son coefficient dominant est le coefficient de ce terme, il s’agit donc de 𝑎 𝑛. Nous avons finalement appris qu’une fonction polynôme de degré 𝑛 peut avoir jusqu’à 𝑛 moins un extremums.