Transcription de la vidéo
Une balle roule le long d’une surface courbe avec une vitesse initiale de 10 m/s, comme indiqué sur le schéma. La masse de la balle est de 100 grammes. On suppose que les seules conversions d’énergie qui ont lieu se produisent entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle gravitationnelle de la balle. Calcule la vitesse de la balle en différentes positions au mètre par seconde près. Trouve la valeur de 𝑣 un. Trouve la valeur de 𝑣 deux. Trouve la valeur de 𝑣 trois. Trouve la valeur de 𝑣 quatre.
Bien, dans cette question, on doit trouver les valeurs de 𝑣 un, 𝑣 deux, 𝑣 trois et 𝑣 quatre, qui sont les vitesses de la balle en différents points de la courbe, la courbe étant bien sûr la ligne rouge ici. Donc, l’une des choses importantes que l’on nous dit est que les seules conversions d’énergie qui se produisent sont entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle gravitationnelle de la balle.
En d’autres termes, on a seulement à étudier ces deux types d’énergie. Nul besoin de se soucier des frottements entre la balle et la surface, par exemple, ou tout autre paramètre similaire. Cela rend les choses un peu plus simples.
De plus, une autre information qui nous a été donnée est que la masse de la balle est de 100 grammes. On note cette masse 𝑚. Et on dit qu’elle vaut 100 grammes. Cependant, cette information n’est pas complètement utile, exprimée sous cette forme. En effet, il nous faut d’abord la convertir en unités standard.
L’unité standard de la masse est le kilogramme. On doit donc convertir cette masse de grammes à kilogrammes. Pour ce faire, on peut rappeler qu’un kilogramme vaut 1000 grammes. Donc, ce que l’on peut faire ici est de diviser les deux côtés de l’équation par 10. Et de cette façon, du côté gauche, il nous restera 0,1 kilogramme. Et à droite, il nous restera 100 grammes, ce qui est exactement ce dont on a besoin pour convertir en kilogrammes. On peut donc dire que cette masse, la masse de la balle, qui est de 100 grammes, est plutôt égale à 0.1 kilogramme.
Et à présent, on peut passer à autre chose car on a maintenant converti cette masse en unités standard. Bien, étudions la balle lorsqu’elle est d’abord en cette position ici. En cette position, on connait la hauteur de la balle au-dessus du sol. On sait que cette hauteur est de 25 mètres. Et on connait la vitesse de la balle. Elle est de 10 mètres par seconde.
Par conséquent, avec ces informations, on peut calculer à la fois l’énergie potentielle gravitationnelle de la balle en cette position et son énergie cinétique. On verra si cela est utile dans un court instant. Mais rappelons d’abord que l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet, la GPE, est donnée en multipliant la masse de l’objet 𝑚 par la force du champ gravitationnel de la Terre 𝑔 par la hauteur au-dessus du sol ℎ.
Et dans ce cas, la hauteur au-dessus du sol, comme on l’a dit plus tôt, est de 25 mètres. Donc, en cette position, que l’on appelle position zéro, la balle a une énergie potentielle gravitationnelle, que l’on note GPE indice zéro.
Et cette énergie potentielle gravitationnelle en position zéro est égale à la masse de la balle, qui est de 0,1 kilogramme, multipliée par l’intensité du champ gravitationnel de la Terre, qui, on le rappelle, vaut 9,8 mètres par seconde au carré, multipliée par la hauteur au-dessus du sol qui mesure 25 mètres. Ce qui est bien dans cette expression est que l’on utilise les unités standard de masse, qui sont les kilogrammes, les unités standard pour l’intensité du champ gravitationnel, qui sont les mètres par seconde au carré, et les unités standard pour la hauteur au-dessus du sol, qui sont les mètres.
Par conséquent, la réponse que l’on obtiendra pour l’énergie potentielle gravitationnelle sera également dans son unité standard, qui est le joule. Ainsi, lorsque l’on calcule le côté droit de l’équation, on déduit que cela équivaut à 24,5 joules. Il s’agit de l’énergie potentielle gravitationnelle de la balle en position zéro.
On peut donc passer à l’énergie cinétique de la balle. Et pour ce faire, rappelons que l’énergie cinétique d’un objet, KE, est donnée en multipliant la moitié de la masse de cet objet 𝑚 par la vitesse de l’objet 𝑣 au carré. Donc, en position zéro, l’énergie cinétique, que l’on note KE indice zéro, est égale à la moitié de la masse de la balle, qui est encore une fois de 0,1 kilogramme, multipliée par la vitesse de la balle, qui se trouve être de 10 mètres par seconde au carré. Et ceci est la vitesse que l’on utilise, la vitesse en position zéro.
De plus, encore une fois, on a utilisé l’unité standard pour la masse, qui est le kilogramme, et l’unité standard pour la vitesse, qui est le mètre par seconde. Donc, l’énergie cinétique que l’on trouvera sera également en joules. Ainsi, en calculant le côté droit, on obtient que l’énergie cinétique de la balle en position zéro est de cinq joules. Maintenant, on connait à la fois l’énergie potentielle gravitationnelle de la balle et l’énergie cinétique de la balle en position zéro.
Puisque la question nous dit que ce sont les deux seuls types d’énergie à prendre en compte ici, on peut donc calculer l’énergie totale de la balle en position zéro. Ainsi, l’énergie totale de la balle en position zéro, que l’on note 𝐸 indice zéro, est égale à l’énergie potentielle gravitationnelle en position zéro plus l’énergie cinétique en position zéro. Et elle vaut 24,5 joules, soit l’énergie potentielle gravitationnelle, plus cinq joules d’énergie cinétique. Ainsi, l’énergie totale de la balle en cette position est de 29,5 joules.
Mais en quoi cela est-il pertinent ? Cela est pertinent car on peut utiliser la loi de conservation de l’énergie. Ce que la conservation de l’énergie nous dit est que l’énergie n’est ni créée ni perdue. En fait, elle ne peut être convertie que d’une forme à l’autre. Ainsi, si l’énergie ne peut être ni créée ni perdue, alors l’énergie totale de la balle doit rester la même tout au long de son trajet. En d’autres termes, l’énergie totale de la balle en position zéro est la même que l’énergie totale de la balle en position une et en position deux et en position trois et en position quatre et partout ailleurs le long de la courbe.
Ensuite, réfléchissons bien à cela. On ne dit pas que l’énergie potentielle gravitationnelle reste la même ou l’énergie cinétique reste la même. En fait, l’énergie potentielle gravitationnelle et l’énergie cinétique changent individuellement en permanence. Mais ce que l’on dit, c’est que l’énergie totale ou la somme de l’énergie potentielle gravitationnelle et de l’énergie cinétique doit rester la même en tout point.
Donc, dans ce cas, ce qui se passe est, disons, par exemple, on part d’ici, la position zéro. Puis la balle avance et se dirige vers la position une. Dans ce cas, elle se déplace vers le bas le long de la pente. Donc, elle perd de la hauteur. Et on constate qu’elle passe de 25 mètres à 15 mètres au-dessus du sol. Donc, elle perd de l’énergie potentielle gravitationnelle. Mais quelle que soit l’énergie potentielle gravitationnelle perdue, elle gagne en énergie cinétique. Et c’est ainsi que l’énergie totale de la balle reste constante. On va pouvoir exploiter ceci afin de trouver les valeurs de 𝑣 un, 𝑣 deux, 𝑣 trois et 𝑣 quatre.
Par ailleurs, on n’a pas besoin de connaître l’énergie potentielle gravitationnelle et l’énergie cinétique en position zéro. En revanche, ce que l’on a besoin de savoir est l’énergie totale de la balle. Alors dessinons une petite boîte autour. Et regardons d’abord la position une.
Comme on l’a déjà dit, l’énergie totale de la balle reste la même. On peut donc écrire une équation qui établit que l’énergie potentielle gravitationnelle de la balle en position une cette fois plus l’énergie cinétique de la balle en position une est égale à l’énergie, l’énergie totale, en position une.
Mais comme on l’a déjà dit, l’énergie totale reste la même tout au long de son trajet. Donc 𝐸 indice un est la même que 𝐸 indice zéro. Donc, GPE indice un plus KE indice un est égale à 𝐸 indice zéro. Et on peut remplacer ceci dans les expressions l’énergie potentielle gravitationnelle et l’énergie cinétique. Donc, 𝑚𝑔 multipliée par la hauteur en position une, que l’on note ℎ indice un, plus la moitié de 𝑚 multipliée par la vitesse en position une, que l’on note 𝑣 indice un au carré, est égal à 𝐸 indice zéro.
Or, dans cette équation, on connait déjà la valeur de 𝑚 ainsi que 𝑔 ainsi que de h un. On nous a donné ℎ un ici. Et encore une fois, on connait 𝑚. On ne sait pas ce que vaut 𝑣 un. Mais on sait ce que vaut 𝐸 zéro. En d’autres termes, il n’y a qu’une inconnue dans cette équation. Il s’agit de 𝑣 un. On peut donc la réorganiser pour trouver 𝑣 un.
Tout d’abord, on écrit la valeur de 𝐸 indice zéro ici pour faire un peu de place. Puis on va commencer à réorganiser. Tout d’abord, on peut soustraire la valeur de 𝑚𝑔ℎ indice un des deux côtés de l’équation. De cette façon, 𝑚𝑔ℎ indice un s’annule à gauche. Et ce qui nous reste est que la moitié de 𝑚 multipliée par 𝑣 un carré est égale à E zéro moins 𝑚𝑔ℎ indice un.
Ensuite, on peut multiplier les deux côtés de l’équation par deux sur 𝑚. De cette façon, le demi s’annule avec les deux au numérateur. Et la masse du côté gauche s’annule également. Donc, il ne nous reste plus que 𝑣 un carré du côté gauche. Et maintenant, tout ce qu’il reste à faire est de prendre la racine carrée des deux côtés. À gauche, il nous reste juste 𝑣 un. Et à droite, il nous reste une expression nous permettant de trouver 𝑣 un.
Ici, il est important de noter que cette relation est exprimée en fonction de ℎ un, la hauteur en position une. Et cela est vraiment utile car on peut alors l’appliquer aux positions deux, trois et quatre, simplement en changeant les valeurs un ici, et ici deux, ou trois, ou quatre. Pour l’instant cependant, on va garder 𝑣 un car c’est ce que l’on souhaite calculer en premier.
Donc 𝑣 un est égale à la racine carrée de deux sur 𝑚 multipliée par 𝐸 zéro moins 𝑚𝑔ℎ un. On remplace toutes les valeurs à droite. 𝑣 un est égale à deux divisée par la masse, qui vaut 0,1, le contenu à l’intérieur des parenthèses 29,5 joules, c’est-à-dire E zéro moins 𝑚 fois 𝑔 fois ℎ un. Et à présent, on peut calculer cela pour obtenir que 𝑣 un est égal à 17,20 mètres par seconde.
Cependant, on doit donner notre réponse au mètre près par seconde. On doit donc arrondir à une valeur juste avant la virgule. Ici, la valeur après la virgule est un deux. Donc, le sept va rester tel quel. On ne l’arrondit pas. Par conséquent, au mètre par seconde près, la valeur de 𝑣 un est de 17. Et voici notre réponse à la première partie de la question.
Passons maintenant à 𝑣 indice deux. On peut calculer celle-ci en remplaçant le un de cette équation par deux. Ici, on voit que la valeur de ℎ deux, la hauteur en position deux, est de 10 mètres. On remplace donc cette valeur et on garde le reste identique. On trouve alors que 𝑣 deux est de 19,84 mètres par seconde.
Mais encore une fois, on doit fournir notre réponse au mètre par seconde près. On va donc arrondir cette valeur ici. Ici, le nombre après la virgule est un huit. Huit est plus grand que cinq. Donc, on arrondit à neuf. En d’autres termes, ce 19 deviendra un 20. Donc, au mètre près par seconde, notre réponse est de 20. Et voici notre réponse à la deuxième partie de la question.
Eh bien, on peut répéter ce processus pour 𝑣 trois et obtenir une valeur de 14,07 mètres par seconde, qui, au mètre près par seconde, donne simplement 14, et le répéter encore une fois pour 𝑣 quatre, qui se trouve être 24,28 mètres par seconde. De la même façon, au mètre par seconde près, ce nombre devient 24. On a, à present, trouvé la vitesse de la balle dans les quatre positions le long de la courbe. Et on a donc terminé de répondre à notre question.
