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On considère le vecteur 𝐯 égale huit 𝐢 moins six 𝐣, déterminez sa norme et sa direction, en donnant la direction sous forme d’angle, thêta, au centième près, dans l’intervalle thêta strictement supérieur à moins 180 degrés et inférieur ou égal à 180 degrés.
Dans cette question, on nous demande de déterminer la norme et la direction du vecteur huit 𝐢 moins six 𝐣. Commençons par déterminer sa norme. La norme d’un vecteur est la distance entre son point de départ et son point d’arrivée. Commençons par dessiner notre vecteur pour mieux le visualiser. Ici, nous l’avons dessiné de manière à ce que son point de départ coïncide avec l’origine du repère. Puisque la composante 𝐢 du vecteur est égale à huit et que sa composante 𝐣 est égale à moins six, alors le point d’arrivée du vecteur se trouve en huit, moins six.
Nous voulons déterminer la longueur de ce vecteur. Pour déterminer la norme de notre vecteur, nous rappelons la formule qui permet de calculer la norme de vecteurs en deux dimensions. Pour tout vecteur 𝐯 égal à 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣, la norme de 𝐯 est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Ici, notre vecteur est égal à huit 𝐢 moins six 𝐣. Donc nous avons 𝑎 égale huit et 𝑏 égale moins six. Par conséquent, la norme de 𝐯 est égale à la racine carrée de huit au carré plus moins six au carré. Nous évaluons nos deux carrés, ce qui nous donne 64 et 36, et nous les additionnons. Nous avons que la norme de 𝐯 est égale à la racine carrée de cent, ce qui se simplifie pour nous donner que la norme de 𝐯 est égale à 10.
Ensuite, nous devons déterminer la direction de 𝐯. On nous demande dans la question de déterminer la direction sous la forme d’un angle compris entre moins 180 degrés et plus 180 degrés. L’angle que nous devons déterminer est l’angle formé par le vecteur et l’axe des abscisses positif. Puisque l’angle se trouve sous l’axe, nous savons que la valeur de thêta est négative. Lorsque nous calculerons cet angle, nous obtiendrons une valeur positive, donc nous pouvons noter l’angle sur le diagramme 𝑥. Cependant, il faut bien noter que thêta est égal à moins 𝑥.
Si nous traçons un segment vertical de l’axe des abscisses jusqu’au point d’arrivée du vecteur, nous formons un triangle rectangle délimité par le segment que nous venons de tracer, l’axe des abscisses et le vecteur 𝐯 lui-même. Nous savons que les côtés de ce triangle mesurent 6, 8 et 10, car leurs longueurs sont respectivement données par la composante 𝐣 du vecteur, sa composante 𝐢 et sa norme. Nous pouvons maintenant utiliser nos connaissances en trigonométrie pour calculer thêta et plus précisément, le fait que tangente 𝑥 égale la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent.
La longueur du côté opposé à 𝑥 est égale à six et la longueur de son côté adjacent est égale à huit. Donc tangente 𝑥 égale six sur huit, que nous simplifions en trois sur quatre. En prenant la réciproque de la tangente des deux côtés de l’équation, nous obtenons que 𝑥 est égal arc tangente de trois sur quatre. À l’aide d’une calculatrice réglée en mode degré, nous obtenons pour 𝑥 un résultat de 36,86989 et ainsi de suite. N’oublions pas qu’on nous demandait dans la question de donner la mesure de cet angle au centième près. Donc nous arrondissons 𝑥 au centième, ce qui nous donne 𝑥 égale 36,87 degrés.
En utilisant le fait que thêta est égal à moins 𝑥, nous déterminons que thêta est égal à moins 36,87 degrés au centième près. Nous avons déterminé que la norme de 𝐯 est égale à 10 et que sa direction est égale à moins 36,87 degrés.
