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La courbe représentative de la dérivée 𝑓 prime d’une fonction 𝑓 est représentée. En quelles valeurs de 𝑥 𝑓 admet –elle un maximum ou un minimum local ?
Rappelons tout d’abord ce que cela signifie pour un point d’être un maximum ou un minimum local. Aux points de maximum et de minimum, notre pente est égale à zéro. Rappelez-vous que l’équation de la pente est la dérivée. Nous cherchons donc des points où la dérivée est nulle. Eh bien, nous pouvons voir sur notre graphique de 𝑓 prime que la dérivée est égale à zéro en 𝑥 égale un et aussi en 𝑥 égal à cinq. Très bien, mais comment savoir si ces points sont des maximums locaux ou des minimums locaux. Eh bien, sur le graphique de 𝑓, la pente à gauche du point maximum est positive. Et à droite du point maximum, la pente est négative. Et pour un point minimum, la pente à gauche du point minimum est négative et la pente à droite du point minimum est positive.
Donc ici, sur le graphique de 𝑓 prime en 𝑥 égal à un, nous pouvons voir que la dérivée passe de valeurs négatives de 𝑓 prime de 𝑥 en des valeurs positives de 𝑓 prime de 𝑥. La dérivée passe du négatif au positif. Donc, cela doit être un minimum local. En 𝑥 égal à cinq, nous pouvons voir que la dérivée passe du positif en négatif. Donc, cela doit être un maximum local. Nous pouvons donc conclure que 𝑓 a un maximum local en 𝑥 égal à cinq et un minimum local en 𝑥 égal à un.
