Vidéo : Dérivées d’ordres supérieurs

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Dérivées d’ordres supérieurs

05:18

Transcription de vidéo

Dans le chapitre suivant sur la série de Taylor, je fais souvent référence aux dérivées d’ordre supérieur. Et si vous êtes déjà à l’aise avec les dérivées secondes, les dérivées tiers, etc., c’est parfait ! N’hésitez pas à passer directement à l’événement principal maintenant. Tu ne me feras pas de mal. Mais d’une manière ou d’une autre, j’ai réussi à ne pas proposer de produits dérivées d’ordre supérieur jusqu’à présent dans cette série. Donc, par souci d’exhaustivité, j’ai pensé vous donner cette petite note de bas de page, juste pour les parcourir très rapidement. Je me concentrerai principalement sur la deuxième dérivée, montrant ce à quoi elle ressemble dans le contexte des graphiques et du mouvement. Et laissez-vous réfléchir aux analogies pour les ordres plus élevés.

Étant donné une fonction 𝑓 de 𝑥, la dérivée peut être interprétée comme la pente de cette courbe au-dessus d’un point, non ? Une forte pente signifie une valeur élevée pour la dérivée. La pente descendante signifie la dérivée négative. La dérivée seconde, dont je vais expliquer la notation dans un instant, est la dérivée de la dérivée. Ce qui signifie, il vous dit comment cette pente est en train de varier. Pour voir cela d’un coup d’œil, réfléchissez à la manière dont la courbe de 𝑓 de 𝑥 se courbe. Aux endroits où elle se courbe ainsi, la pente augmente. Et cela signifie que la dérivée seconde est positive. Aux points où elle s’incline, la pente diminue. Donc, la dérivée seconde est négative.

Par exemple, une courbe comme celle-ci a une dérivée seconde très positive au point quatre. Depuis la pente augmente rapidement autour de ce point. Alors qu’une courbe comme celle-ci a toujours une dérivée seconde positive au même point, mais elle est plus petite. Je veux dire, la pente n’augmente que lentement. Aux points où il n’y a pas vraiment de courbure, la dérivée seconde est juste zéro. En ce qui concerne la notation va, vous pouvez essayer d’écrire comme ça, ce qui indique une petite modification de la fonction dérivée divisée par une petite variation de 𝑥. Là où, comme toujours, l’utilisation de cette lettre d suggère que ce que vous voulez vraiment considérer est ce que ce rapport approche de d𝑥, les deux d𝑥 dans ce cas, approchant de zéro.

C’est assez maladroit et étonnant. Ainsi, la norme est d’abréger cela comme d carré 𝑓 divisé par d𝑥 au carré. Et même si ce n’est pas très important pour obtenir une intuition pour la dérivée seconde. Je pense qu’il pourrait être intéressant de vous montrer comment vous pouvez lire cette notation. Pour commencer, pensez d’une entrée à votre fonction, puis prendre deux petits pas à droite, chacun avec une taille de d𝑥. Et choisissez ici des étapes assez importantes pour que nous puissions voir ce qui se passe. Mais en principe, garder à l’arrière de votre esprit que d𝑥 devrait être assez petit. La première étape modifie quelque peu la fonction, que j’appellerai d𝑓 un. Et la deuxième étape provoque une variation similaire, mais peut-être un peu différent, que je vais appeler d𝑓 deux. La différence entre ces variations, la variation dans la façon dont la fonction varie, est ce que nous appellerons dd𝑓.

Vous devriez penser à cela comme étant vraiment petit, généralement proportionnel à la taille de d𝑥 au carré. Donc, si, par exemple, vous avez remplacé d𝑥 par 0.01, vous vous attendriez à ce que dd𝑓 soit à peu près proportionnel à 0.0001. Et la seconde dérivée est la taille de cette modification, divisée par la taille de d𝑥 au carré. Ou, plus précisément, peu importe ce que le ratio approche lorsque d𝑥 approche de zéro. Même si, il est pas comme cette lettre d est une variable qui est multipliée par 𝑓. Pour une notation plus compacte, vous l’écririez sous la forme d carré 𝑓 divisé par d𝑥 carré. Et vous ne vous souciez généralement pas des parenthèses sur le bas. Peut-être que la compréhension la plus viscérale de la dérivée seconde est qu’elle représente une accélération.

Si vous vous déplacez le long d’une droite, supposez que vous ayez une fonction qui enregistre la distance parcourue par rapport au temps. Peut-être que son graphique ressemble à quelque chose comme ça, augmentant progressivement avec le temps. Ensuite, sa dérivée vous indique la vitesse à chaque instant, non ? Par exemple, la courbe peut ressembler à cette augmentation, augmenter jusqu’à un maximum puis revenir à zéro. La dérivée seconde vous indique donc le taux de variation de la vitesse, qui correspond à l’accélération à chaque instant.

Dans cet exemple, la dérivée seconde est positive pour la première moitié du trajet, ce qui indique une accélération. C’est la sensation d’être repoussé dans votre siège-auto ou plutôt que le siège-auto vous pousse vers l’avant. Une dérivée seconde négative indique un ralentissement, une accélération négative. La troisième dérivée, et ce n’est pas une blague, s’appelle jerk. Donc, si la secousse n’est pas nulle, cela signifie que la force de l’accélération elle-même est en train de varier. L’un des aspects les plus utiles des dérivées d’ordres supérieurs est la façon dont elles nous aident à approximer les fonctions. Ce qui est exactement le sujet du prochain chapitre de la série Taylor. Alors je vous vois là-bas.

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