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Vidéo de la leçon : Moment d'une force par rapport à un point en 2D : scalaire Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la somme des moments par rapport à un point d’un ensemble de forces agissant sur un corps en deux dimensions.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la somme des moments par rapport à un point d’un ensemble de forces agissant sur un corps en deux dimensions.

Nous savons qu’une force résultante non nulle agissant sur un corps rigide produit une accélération rectiligne du corps dans le sens de la force résultante. Cela se traduit par la translation du centre de masse du corps dans ce sens. Mais une force agissant sur un corps peut également entraîner l’accélération angulaire du corps autour d’un point, ce qui produit une rotation du corps. La norme de cette accélération angulaire du corps due à l’action de la force est proportionnelle au moment de la force par rapport au point.

Nous allons commencer par étudier cela avec un exemple. Sur ce schéma, une barre mince est suspendue verticalement en un point 𝑃. Un vecteur de force 𝐅 agit sur la barre horizontalement. Puisqu’un moment mesure l’effet de rotation d’un corps autour d’un point, la force provoque ici la rotation de la barre autour de 𝑃. Nous pouvons aller un peu plus loin et dire que la barre tourne ici dans le sens des aiguilles d’une montre en raison du moment de 𝐅 par rapport à 𝑃.

Nous verrons plus loin dans cette vidéo qu’un moment par rapport à un point peut être dans le sens horaire et antihoraire. Voyons maintenant ce qui se passe si la droite d’action de la force 𝐅 change et passe maintenant par le point 𝑃 comme indiqué sur la figure. Cette fois, la force 𝐅 ne produit aucun mouvement de rotation de la barre autour de 𝑃. Et nous pouvons donc conclure que pour que le moment de 𝐅 par rapport à 𝑃 soit non nul, la distance entre 𝑃 et la droite d’action de 𝐅 doit être non nulle.

Lorsque la droite d’action de la force 𝐅 et la droite passant un point 𝑃 et le point où la force 𝐅 agit sont perpendiculaires, alors la norme du moment de la force par rapport à 𝑃 est égale au produit de l’intensité de la force 𝐅 et de la distance 𝑑 entre P et la droite d’action de la force. Cela peut être formulé par 𝑚 égale 𝐅 fois 𝑑. Si la force est mesurée en newtons et la distance en mètres, alors l’unité du moment d’une force est le newton mètre. Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons calculer le moment d’une force par rapport à un point.

Sachant qu’une force d’intensité 498 newtons agit à huit centimètres d’un point 𝐴, calculez la norme du moment de la force par rapport au point 𝐴, en donnant votre réponse en newtons mètres.

Dans cette question, nous étudions une force de 498 newtons agissant en un point situé à huit centimètres d’un point A. Bien que la question ne précise pas que la distance de huit centimètres et la droite d’action de la force soient perpendiculaires, nous pouvons le supposer si rien n’indique le contraire. Nous pouvons donc ajouter la droite d’action de la force au schéma. Nous devons ici calculer la norme du moment de la force, qui est une valeur positive. Cela signifie que peu importe si la force produit une rotation dans le sens horaire ou antihoraire.

Nous savons que le moment est défini par 𝑚 égale 𝐅 fois 𝑑, où 𝐅 est l’intensité de la force en newtons et 𝑑 est la distance perpendiculaire entre la droite d’action de la force et le point par rapport auquel on calcule le moment. Pour que le moment soit en newtons mètres, cette distance doit être exprimée en mètres. Et comme il y a 100 centimètres dans un mètre, la distance perpendiculaire est égale à 0,08 mètres. On peut donc calculer le moment en multipliant 498 par 0,08. Ce qui fait 39,84. Nous pouvons donc conclure que la norme du moment de la force est de 39,84 newtons mètres.

Nous avons mentionné plus tôt qu’une force peut avoir un moment dans le sens horaire ou antihoraire. Nous allons brièvement étudier cela avant de passer à notre prochain exemple.

Considérons à nouveau une barre mince suspendue verticalement au point 𝑃. Cette fois, deux forces agissent sur la barre, F un et 𝐅 deux. La force 𝐅 un a un moment 𝑚 un par rapport au point 𝑃 dans le sens des aiguilles d’une montre. Et si on désigne par d un la distance perpendiculaire entre la droite d’action de cette force et le point 𝑃, alors 𝑚 un est égal à 𝐅 un fois 𝑑 un. La force 𝐅 deux, en revanche, a un moment 𝑚 deux par rapport au point 𝑃 dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, où 𝑚 deux est égal à 𝐅 deux fois 𝑑 deux.

La somme des moments 𝑚 un et 𝑚 deux est Σ𝑚, où Σ𝑚 est égal à 𝑚 deux moins 𝑚 un. On peut également la noter 𝑚 résultant. On soustrait 𝑚 un à 𝑚 deux car les moments dans le sens inverse des aiguilles d’une montre sont généralement considérés comme positifs. Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons calculer le moment résultant de plusieurs forces.

𝐴𝐵 est une barre de longueur 114 centimètres et de masse négligeable. Des forces d’intensité 83 newtons, 225 newtons, 163 newtons et 136 newtons agissent sur la barre comme illustré sur la figure ci-dessous. 𝐶 et 𝐷 sont les points qui divisent le segment 𝐴𝐵 en trois sections de même longueur et le point 𝑂 est le milieu de la barre. Calculez la somme des moments de ces forces par rapport au point 𝑂.

Nous devons calculer la somme des moments des quatre forces par rapport au point 𝑂. Mais nous devons pour cela d’abord déterminer les distances entre O et chaque point de la barre. Il est indiqué que 𝐴𝐵 mesure 114 centimètres. Et que 𝐶 et 𝐷 sont les points qui divisent 𝐴𝐵 en trois sections égales. Cela signifie que 𝐵𝐷 est égal à 𝐷𝐶, qui est égal à 𝐶𝐴. Ces trois longueurs sont égales à 114 centimètres divisés par trois. Ce qui fait 38 centimètres. Les longueurs 𝐵𝐷, 𝐷𝐶 et 𝐶𝐴 sont donc toutes égales à 38 centimètres.

On sait que 𝑂 est le milieu de la barre, ce qui signifie que 𝐵𝑂 est égal à 𝑂𝐴. Ces longueurs sont égales à 114 divisé par deux, soit 57. Les longueurs 𝐵𝑂 et 𝑂𝐴 sont donc égales à 57 centimètres. Comme les droites d’action des quatre forces agissent perpendiculairement à la barre, nous pouvons calculer le moment de chaque force en utilisant la formule 𝑚 égale à 𝐅 d, où 𝐅 est l’intensité de la force mesurée en newtons et d est la distance perpendiculaire au point par rapport auquel on calcule les moments, mesurée en centimètres dans cette question. Cela signifie que les unités de ces moments seront en newtons centimètres.

Nous pouvons calculer des moments par rapport à n’importe quel point de la barre. Mais cette question nous demande de calculer le moment des forces par rapport au point 𝑂. Nous allons pour cela calculer le moment de chaque force agissant aux points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Il est précisé que les moments dans le sens inverse des aiguilles d’une montre sont positifs. Sur la figure, on voit que cela sera le cas pour les moments des forces de 83 et 163 newtons agissant respectivement aux points 𝐴 et 𝐷. Comme les moments de ces forces par rapport à 𝑂 sont dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, ils sont positifs. Et les moments des forces agissant aux points 𝐵 et 𝐶 par rapport à 𝑂 sont dans le sens des aiguilles d’une montre. Cela signifie que les moments des forces de 136 et 225 newtons seront négatifs.

Commençons par calculer le moment de force agissant en 𝐴. Il est égal à 83 newtons fois une distance perpendiculaire de 57 centimètres, ce qui fait 4 731 newtons centimètres. Comme déjà mentionné, le moment de la force agissant en 𝐵 est négatif. Il est égal à moins 136 fois 57, soit moins 7 752 newtons centimètres. Le moment de la force agissant au point 𝐶 est également négatif. Il est égal à moins 225 fois 19, car la distance 𝑂𝐶 est de 19 centimètres. Ce moment est donc égal à moins 4 275 newtons centimètres.

Enfin, le moment de la force agissant en 𝐷 est égal à 163 fois 19. Ce qui fait 3 097 newtons centimètres. La somme des moments est donc égale à 4 731 moins 7 752 moins 4 275 plus 3 097. Ce qui fait moins 4 199. La somme des moments des quatre forces par rapport au point 𝑂 est donc égale à moins 4 199 newtons centimètres.

Dans les exemples que nous avons vus jusqu’à présent, la droite d’action des forces était toujours perpendiculaire aux barres. Étudions maintenant ce qui se passe lorsque ce n’est pas le cas. Étudions à nouveau une barre mince suspendue verticalement en un point 𝑃. Cette fois cependant, la droite d’action de la force 𝐅 forme un angle de 𝜃 degrés avec la verticale. Nous savons que si 𝜃 est nul, la droite d’action de 𝐅 passe par 𝑃. Ce qui signifie que le moment par rapport à 𝑃 est nul.

Si 𝜃 est égal à 90 degrés, c’est-à-dire si la droite d’action est perpendiculaire à la barre, le moment de 𝐅 par rapport à 𝑃 est maximum. Cela signifie que le calcul du moment d’une force doit inclure l’angle selon lequel la force agit. En utilisant nos connaissances en trigonométrie, nous pouvons déterminer que la composante de la force agissant perpendiculairement à la barre est égale à 𝐅 fois sinus 𝜃. Et nous pouvons donc calculer le moment d’une force par rapport à un point en utilisant la formule 𝑚 égale 𝐅 fois 𝑑 fois sinus 𝜃, où 𝐅 est l’intensité de la force et 𝜃 est l’angle entre la droite d’action de la force et la droite passant par 𝑃 et le point où la force agit.

Il convient de noter que dans nos exemples précédents, 𝜃 était égal à 90 degrés. Et nous savons que le sinus de 90 degrés est égal à un. C’est cela qui nous a permis d’utiliser la formule 𝑚 égale 𝐅𝑑. Nous pouvons utiliser cette version simplifiée de la formule lorsque la droite d’action de la force est perpendiculaire à la barre. Nous allons maintenant étudier un dernier exemple où nous devons prendre en compte les angles que forment les droites d’action des forces.

Trois forces mesurées en newtons agissent parallèlement aux côtés d’un triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 comme illustré sur la figure. Sachant que le côté du triangle mesure sept centimètres, calculez la somme des moments des forces par rapport au milieu de 𝐴𝐵, arrondie au centième près.

Dans cette question, nous devons calculer la somme des moments des trois forces de 300, 100 et 150 newtons. Bien que l’on puisse calculer des moments par rapport à n’importe quel point, cette question nous demande de les calculer par rapport au milieu de 𝐴𝐵, désigné par 𝑃 sur la figure. Puisque 𝑃 est le milieu de 𝐴𝐵, 𝐴𝑃 et 𝑃𝐵 sont de même longueur. Et puisque la longueur de côté du triangle équilatéral est de sept centimètres, 𝐴𝑃 et 𝑃𝐵 mesurent 3,5 centimètres. La droite d’action de la force de 300 newtons est parallèle à 𝐴𝐵. Elle passe donc par le point 𝑃. Cela signifie que son moment par rapport à 𝑃 est nul et qu’elle peut donc être ignorée.

Il y a deux autres forces d’intensité 100 et 150 newtons dont nous devons tenir compte. La force de 100 newtons agit au point 𝐵 et la force de 150 newtons agit au point 𝐶. On rappelle que le moment d’une force est égal à 𝐅 𝑑 sinus 𝜃, où 𝑑 est la distance entre le point auquel la force agit et le point par rapport auquel on calcule le moment ; nous devons donc calculer la longueur 𝑃𝐶. Nous pouvons pour cela utiliser nos connaissances en trigonométrie et la propriété selon laquelle les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60 degrés.

La formule de la tangente est tan 𝜃 égale au côté opposé divisé par le côté adjacent. Cela signifie que dans le triangle 𝑃𝐵𝐶, 𝑃𝐶 sur 3,5 est égal à tangente de 60 degrés. 60 degrés est un angle remarquable. Et la tangente de 60 degrés est égale à racine carrée de trois. En multipliant par 3,5, on obtient 𝑃𝐶 égale 3,5 racine carrée de trois centimètres. Nous pouvons maintenant tracer un schéma représentant les intensités des forces agissant, les angles selon lesquels elles agissent et les distances à 𝑃. Par convention, les moments dans le sens inverse des aiguilles d’une montre sont positifs. Dans cette question, les moments de la force de 150 newtons et de la force de 100 newtons sont dans le sens des aiguilles d’une montre. Cela signifie que ces deux moments seront négatifs.

Le moment de la force de 150 newtons est égal à moins 150 fois 3,5 racine carrée de trois fois sin de 30 degrés. Et sin de 30 degrés est égal à un sur deux. Le moment de cette force est donc égal à moins 525 racine carrée de trois sur deux newtons centimètres. En répétant cela pour la force de 100 newtons, on obtient un moment égal à moins 100 fois 3,5 fois sin de 60 degrés. Comme sinus de 60 degrés est égal à racine carrée de trois sur deux, le moment est égal à moins 175 racine carrée de trois newtons centimètres. La somme des moments par rapport à 𝑃 est donc égale à la somme de ces deux moments. On peut la noter Σ𝑚 ou 𝑚 résultant et elle est égale à moins 757,7722. Arrondie au centième comme demandé, la somme des moments par rapport au milieu de 𝐴𝐵 est égale à moins 757,77 newtons centimètres.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. Le moment d’une force 𝐅 par rapport à un point 𝑃 est égal à la distance 𝑑 de 𝑃 au point où la force agit fois la composante de la force perpendiculaire à la droite passant par 𝑃 et par le point où la force agit. On peut le formuler par 𝑚 égale 𝐅 𝑑 sinus 𝜃, où 𝐅 est l’intensité de la force et 𝜃 est l’angle entre la droite d’action de la force et la droite passant par 𝑃 et le point où la force agit. Le moment résultant d’un ensemble de moments par rapport à un point est égal à la somme des moments par rapport à ce point dans le sens horaire et antihoraire, où les moments dans le sens antihoraire sont considérés positifs par convention.

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