Transcription de la vidéo
Utilisez les matrices pour résoudre le système d’équations 𝑛 plus un égal deux 𝑚, 𝑛 égal 𝑚 plus deux.
Rappelez-vous, étant donné un système d’équations linéaires : 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 égal 𝑒 et 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦 égal 𝑓, en raison de la manière dont nous multiplions deux matrices, nous pouvons l’écrire de manière équivalente sous forme matricielle par la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 fois la matrice 𝑥, 𝑦 égal la matrice 𝑒, 𝑓. Ensuite, si nous posons 𝐴 majuscule la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ; 𝑋 majuscule la matrice colonne 𝑥, 𝑦 et 𝐵 majuscule la matrice colonne 𝑒, 𝑓, nous pouvons multiplier les deux membres de notre équation par l’inverse de la matrice 𝐴 si elle existe. Et cela nous donne 𝑋 est égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝐵.
Et donc, voici comment nous allons résoudre notre système d’équations. Nous allons commencer par l’écrire sous forme matricielle, puis nous trouverons l’inverse de la matrice égale à 𝐴 que nous avons définie. Une fois que nous aurons cela, nous pourrons multiplier par la matrice 𝐵, ce qui nous donnera la matrice 𝑋. Avant de commencer, cependant, réorganisons chacune de nos équations de sorte que les variables, dans ce cas 𝑛 et 𝑚, soient toutes d’un côté. Pour notre première équation, nous soustrayons deux 𝑚 et nous soustrayons un, nous obtenons 𝑛 moins deux 𝑚 égal moins un. Et pour notre seconde équation, nous allons juste soustraire 𝑚. Donc, 𝑛 moins 𝑚 est égal à deux.
Et puis, puisque nous travaillons avec 𝑛 et 𝑚 au lieu de 𝑥 et 𝑦, nous redéfinissons notre forme générale. Ainsi, 𝑎𝑛 plus 𝑏𝑚 égal 𝑒 et 𝑐𝑛 plus 𝑑𝑚 égal 𝑓. 𝑎 et 𝑏 sont respectivement les coefficients de 𝑛 et de 𝑚 dans notre première équation ; c’est un et moins deux. De même, 𝑐 et 𝑑 sont respectivement égaux à un et moins un. Ainsi, la matrice 𝐴 est la matrice formée des éléments un, moins deux et un, moins un. La matrice 𝑋 est la matrice colonne qui contient nos variables, c’est donc simplement 𝑛, 𝑚. Ensuite, la matrice 𝐵 contient nos constantes ; c’est moins un, deux.
Puisque la solution de notre équation, donc les valeurs 𝑛 et 𝑚, est donnée par le produit de l’inverse de 𝐴 par 𝐵, il est clair que nous devons trouver l’inverse de 𝐴 en premier. En supposant que le déterminant de la matrice 𝐴 n’est pas égal à zéro, l’inverse est un sur le déterminant de 𝐴 multiplié par la matrice dont les éléments sont 𝑑, moins 𝑏 et moins 𝑐, 𝑎, où le déterminant est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. En d’autres termes, le déterminant est le produit des éléments en haut à gauche et en bas à droite moins le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche. Et l’inverse se trouve en multipliant un sur le déterminant de la matrice par la matrice formée des éléments où l’élément en haut à gauche et l’élément en bas à droite ont été échangés et les signes des deux autres éléments restants ont changé.
Commençons donc par vérifier que le déterminant de notre matrice n’est pas égal à zéro. C’est un fois moins un moins moins deux fois un. C’est moins un plus deux, ce qui donne un. Ainsi, l’inverse de 𝐴 est un sur le déterminant de 𝐴, un sur un. Et puis, nous échangeons les éléments en haut à gauche et en bas à droite, donc nous commutons un et moins un. Et nous changeons le signe des deux autres. Ainsi, l’inverse de 𝐴 est un sur un fois la matrice formée des éléments moins un, deux et moins un, un, qui est simplement la matrice formée des éléments moins un, deux et moins un, un.
En sachant cela, nous pouvons maintenant substituer tout ce que nous avons calculé dans notre système d’équations dans la forme générale de la solution, 𝑋 égal l’inverse de 𝐴 fois 𝐵. 𝑋 est la matrice 𝑛, 𝑚. Nous venons de trouver l’inverse de 𝐴, et 𝐵 est la matrice constante moins un, deux. Ensuite, nous multiplions ces matrices en effectuant le produit scalaire des éléments de la première ligne de la première matrice avec les éléments de la colonne de notre seconde matrice. C’est moins un fois moins un plus deux fois deux, ce qui équivaut à cinq. Ensuite, nous répétons cela et nous trouvons le produit scalaire des éléments de notre seconde ligne avec les éléments de notre matrice colonne. Cette fois, c’est moins un fois moins un plus un fois deux, ce qui est égal à trois. Et donc, notre matrice 𝑋, formée des éléments 𝑛, 𝑚, est cinq, trois.
On pourrait donc dire que la solution de notre système d’équations, dans l’ordre alphabétique, est 𝑚 égal trois et 𝑛 égal cinq. Ou nous pourrions remettre les solutions sous forme matricielle, en mettant le 𝑚 en premier puisque nous travaillons dans l’ordre alphabétique. La solution de la matrice est alors 𝑚, 𝑛 égal trois, cinq.