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Déterminez la forme vectorielle de l’équation de la droite passant par le point de coordonnées moins cinq, un, quatre, et le point d’intersection des deux droites 𝑥 plus deux sur moins deux égale 𝑦 plus cinq sur moins deux qui égale 𝑧 plus trois sur un et 𝑥 plus un sur moins trois égale 𝑦 moins un sur deux égale 𝑧 plus trois sur deux.
Bon, donc dans cet exemple, nous avons ces deux droites et nous savons qu’elles se coupent en un point donné. En outre, nous avons notre point donné, ayant pour coordonnées moins cinq, un, quatre. Et nous voulons résoudre l’équation de la droite qui passe par ces deux points. Plus précisément, nous voulons déterminer la forme vectorielle de l’équation de cette droite. L’équation d’une droite écrite de cette façon est exprimée comme ceci. Elle implique un vecteur allant de l’origine d’un repère à un point connu de la droite, un deuxième vecteur colinéaire à l’axe de la droite, et enfin ce qu’on appelle un paramètre. Ici, nous l’appelons 𝑡. Ce paramètre peut prendre toutes les valeurs possibles.
Pour écrire la forme vectorielle de l’équation d’une droite, nous devons connaître un vecteur colinéaire à cette droite ainsi qu’un point qui appartient à celle-ci. Dans notre énoncé, on nous donne un point qui appartient à notre droite en question. Puis, pour déterminer un vecteur colinéaire à notre droite, nous voudrons connaître le point d’intersection entre les deux droites données. Et si nous le connaissons, nous pouvons utiliser cette information avec notre point donné pour calculer un vecteur colinéaire à notre droite. Pour trouver ce point d’intersection, nous utiliserons les équations des deux droites données. Ces deux équations sont données sous forme symétrique. Si nous appelons cette première équation, celle de la droite un, et cette deuxième équation, nous dirons qu’elle s’applique à la droite deux, puis en commençant par l’équation de la droite, nous pouvons écrire ces trois fractions comme étant égales à un paramètre que nous allons appelez 𝑡 un.
En utilisant cette expression, nous pouvons écrire l’équation de cette droite sous la forme paramétrique. Quant à la façon dont cela fonctionne, il y a une équation pour la valeur 𝑥, une pour la valeur 𝑦 et une pour la valeur 𝑧 pour les points appartenant à cette droite. Afin de résoudre ces équations, nous utilisons les équations sous la forme symétrique de notre droite. Par exemple, parce que 𝑥 plus deux sur moins deux égale 𝑡 un, cela signifie que 𝑥 égale moins deux fois 𝑡 un moins deux. De la même manière, 𝑦 est égal à moins deux fois 𝑡 un moins cinq, alors que 𝑧 est égal à 𝑡 un moins trois. Maintenant que nous connaissons l’équation paramétrique de la droite, convertissons la droite deux en une forme similaire.
Pour cette équation, nous pouvons écrire les trois fractions comme étant égales à un paramètre différent que nous appellerons 𝑡 deux. Encore une fois, nous pouvons écrire des équations séparées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 pour cette droite. On a 𝑥 est égal à moins trois fois 𝑡 deux moins un. Et 𝑦 est égal à deux fois 𝑡 deux plus un, alors que 𝑧 est égal à deux fois 𝑡 deux moins trois. C’est la forme paramétrique de l’équation de la droite deux.
Maintenant, revenons à notre figure, nous savons qu’au point d’intersection entre ce que nous avons appelé la droite un et la droite deux, en ce point et ce point uniquement, nous pouvons dire que les valeurs 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de nos deux droites sont égales. Autrement dit, à l’intersection, ces trois équations sont vraies. Ce que nous allons faire ensuite, c’est utiliser ces relations pour déterminer 𝑡 un et 𝑡 deux. Et puisque cela nous donne deux inconnues à résoudre, nous utiliserons deux de ces trois équations.
Disons que nous choisissons les deux premières, celles représentant les valeurs 𝑥 et 𝑦. Commençons par la première de ces deux équations, si nous réarrangeons pour déterminer 𝑡 un, nous constatons que c’est égal à moins trois 𝑡 deux plus un divisé par moins deux. Ce que nous faisons ensuite est de prendre cette valeur pour 𝑡 un et de la substituer par 𝑡 un dans notre équation pour la valeur 𝑦 de notre intersection. Cela nous donne cette relation ici. Et notez que sur le membre de gauche, ces facteurs moins deux s’éliminent au numérateur et au dénominateur. En combinant un et moins cinq à gauche, nous obtenons moins trois fois 𝑡 deux moins quatre égale deux fois 𝑡 deux plus un. Si nous soustrayons deux fois 𝑡 deux des deux membres et que nous ajoutons quatre aux deux membres, nous obtenons moins cinq 𝑡 deux égale cinq, ce qui nous dit que 𝑡 deux est égal à moins un.
Ce que nous faisons alors, c’est de prendre cette valeur et de la substituer par 𝑡 deux dans notre équation pour 𝑡 un. On a alors 𝑡 un égale moins trois fois moins un plus un le tout divisé par moins deux. Cela se simplifie en moins deux. Maintenant que nous connaissons les valeurs de nos paramètres, 𝑡 un et 𝑡 deux, en ce point d’intersection, nous pouvons choisir de substituer, par exemple, la valeur de 𝑡 un dans ces équations pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Ou, de manière équivalente, nous pourrions substituer 𝑡 deux à ces valeurs ici. Quelle que soit la façon que nous choisissons, le résultat de ces substitutions sera les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de notre point d’intersection.
Disons que nous choisissons de substituer 𝑡 deux dans les valeurs de droite. Lorsque nous faisons cela, la valeur 𝑥 de ce point d’intersection s’avère être moins trois fois moins un moins un ou deux. La valeur 𝑦 est deux fois moins un plus un ou moins un. Et la valeur 𝑧 est deux fois moins un moins trois ou moins cinq. Nous connaissons maintenant les coordonnées du point d’intersection de nos deux droites. Et comme nous l’avons mentionné précédemment, nous pouvons utiliser ces coordonnées avec les coordonnées de l’autre point connu le long de notre droite pour déterminer les composantes d’un vecteur colinéaire à la droite, nous l’appellerons 𝐯. Les composantes de 𝐯 sont données par cette expression. Elles sont égales à sept, moins deux et moins neuf.
Maintenant que nous connaissons les composantes d’un vecteur colinéaire à notre droite en question et que nous connaissons également les coordonnées d’un point passant par la droite, alors nous allons utiliser moins cinq, un, quatre. Nous pouvons écrire l’équation de notre droite sous forme vectorielle comme ceci. Ce que nous avons est un vecteur allant de l’origine d’un système de coordonnées vers notre point connu moins cinq, un, quatre. Puis, à partir de ce point, nous nous déplaçons, vers le haut et vers le bas de la droite le long de la direction de notre vecteur 𝐯.
Notez que ce n’est pas la seule façon d’écrire la forme vectorielle de l’équation de cette droite particulière. Par exemple, pour déterminer 𝐯, nous aurions pu soustraire nos points les uns aux autres dans l’ordre inverse. Même si nous avions fait cela, cependant, nous aurions toujours une équation de la même droite. Et donc, cette réponse que nous avons encadrée en vert ici est également une réponse valide.
