Lesson Video: Taux unitaire Mathematics

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment trouver un taux unitaire, et comment utiliser ce taux unitaire pour résoudre des problèmes. Mais avant de penser aux taux unitaires, nous devons nous rappeler ce que sont les rapports.

Nous utilisons des rapports pour comparer deux nombres ou deux quantités. Pour ce triangle, nous pourrions créer un rapport entre sa longueur et sa largeur, qui serait de sept à quatre. Vous pouvez également écrire les rapports sous forme de fraction, sept sur quatre. Il s’agit dans les deux cas de rapports longueur à largeur pour le rectangle donné. Les taux sont un peu différents. Les taux sont des rapports qui comparent deux quantités de nature différente ou deux quantités exprimées dans des unités différentes.

Par exemple, nous pouvons comparer la distance d’une course avec le temps que cette course a pris. Si nous considérons que Sophia a couru six kilomètres en 40 minutes, nous pouvons représenter cela avec ce diagramme à double axes : en rose, le temps en minutes et, en jaune, la distance en kilomètres. Le taux ici sera la comparaison entre la distance et le temps. Et tandis que vous pourriez écrire six kilomètres en 40 minutes comme ceci, les taux sont généralement donnés sous cette forme de quotient, où nous avons six kilomètres comme numérateur et 40 minutes comme dénominateur. Nous avons trouvé un taux pour Sophia. En regardant notre diagramme, nous voyons que le temps et la distance sont alignés verticalement.

Si Sophia court à un rythme ou à une vitesse constante, cela signifie qu’elle parcourt la même distance pour chaque période de temps donnée. Et cela signifie que lorsque Sophia a couru la moitié du temps, 20 minutes, elle aura parcouru la moitié de la distance, soit trois kilomètres. Et en la moitié de ce temps, en 10 minutes, elle aura parcouru un kilomètre et demi. Elle aurait fait la moitié de la distance. Mais maintenant, nous ne voulons pas seulement le taux. Nous voulons aussi considérer le taux unitaire. Et ce sera la distance parcourue par Sophia en une unité de temps, qui est ici une minute. Pour calculer le temps en une minute, nous diviserions le temps total, 40 minutes, par 40.

Et comme ces taux sont proportionnels, si nous divisons le temps par 40, nous devons diviser la distance par 40. Six divisé par 40 donne 0.15. Et nous avons donc constaté que Sophia a couru 0.15 kilomètres par minute. Nous sommes passés du taux qu’elle courait au taux unitaire. Ce taux unitaire est utile parce que maintenant nous pouvons facilement calculer la distance qu’elle parcourt tant que nous connaissons le nombre de minutes qu’elle court. Et nous supposons qu’elle court toujours à la même vitesse. Pour calculer une nouvelle distance, il suffit de prendre ce taux unitaire et de le multiplier par le nombre de minutes qu’elle a couru.

Par exemple, nous pourrions essayer de répondre à la question « quelle distance Sophia peut-elle parcourir en 30 minutes ? Elle parcourt 0.15 km par minute ». Si nous multiplions cela par 30 minutes, nous obtenons 4.5 kilomètres comme distance parcourue. 0.15 fois 30, cela fait 4.5. Nous pourrions aussi répondre à une question comme celle-ci : utilisez l’information pour trouver la vitesse de Sophia en kilomètres par heure. Si Sophia a couru 0.15 kilomètre en une minute et que nous savons qu’une heure égale 60 minutes, alors nous pouvons multiplier notre taux unitaire par 60 minutes par heure. Nous multiplions le numérateur par 0.15 fois 60. Et il nous reste neuf kilomètres dans notre numérateur et une heure dans notre dénominateur. Sophia court à une vitesse de neuf kilomètres à l’heure.

Nous pourrions décrire une définition du taux unitaire comme ceci. Le taux unitaire est le coefficient de proportionnalité entre deux quantités qui sont directement proportionnelles. Il est exprimé dans une unité composée et donne la première quantité par unité de la deuxième quantité. Avec ceci, nous sommes prêts à voir quelques exemples.

Quelle est la vitesse moyenne d’une onde sonore qui traverse 895 mètres en 2.5 secondes ?

Le mot « vitesse moyenne » nous indique que nous allons envisager le taux unitaire avec lequel cette onde sonore se déplace. Nous savons qu’elle traverse 895 mètres toutes les 2.5 secondes, que nous pouvons écrire comme la fraction 895 mètres sur 2.5 secondes. Pour trouver cette vitesse moyenne ou ce taux unitaire, nous devons déterminer la distance parcourue par l’onde sonore par seconde. Nous aurons besoin d’une fraction proportionnelle à celle-ci.

Pour passer de 2.5 à une seconde, nous devons diviser le dénominateur par 2.5. Mais pour que les valeurs du numérateur et du dénominateur restent proportionnelles, nous allons également diviser le numérateur par 2.5, ce qui nous donne 358 mètres. Si l’onde sonore parcourt 358 mètres chaque seconde, alors on dit que la vitesse moyenne est de 358. Et les unités seront des mètres par seconde. Nous n’incluons pas ce dénominateur de un car 358 divisé par un donne 358. Mais nous gardons ces unités composées de taux unitaire en mètres par seconde, ce qui fait que notre réponse finale est une vitesse moyenne de 358 mètres par seconde.

Avant de passer à un autre exemple, nous devons noter quelque chose à propos du taux unitaire. Nous avons parlé du taux unitaire comme étant le coefficient de proportionnalité qui relie deux quantités qui sont proportionnelles. Cependant, cela dépend de la façon dont nous voyons la relation de proportionnalité. Il n’y a pas nécessairement une seule façon d’envisager cette relation de proportionnalité. Par exemple, dans une situation où nous avons trois pizzas et 12 personnes, une forme de taux unitaire pourrait être le nombre de personnes par pizza.

Notre rapport initial pourrait être ceci, 12 personnes à trois pizzas. Dans ce cas, l’unité serait une pizza. Et il y aura quatre personnes par pizza. Et nous avons un taux unitaire de quatre, quatre personnes par pizza. Mais nous avons aussi une autre option pour notre taux unitaire. Nous pourrions aussi avoir un taux unitaire de pizza par personne. Dans ce cas, nous partons d’une fraction de trois pizzas divisées pour 12 personnes. Notre unité serait une personne. 12 divisé par 12 est un, et trois pizzas divisées par 12 seront un quart d’une pizza. Et le taux unitaire de pizza par personne est un quart. Nous écrirons cela comme suit : un quart de pizza par personne.

La relation proportionnelle entre le nombre de personnes et le nombre de pizzas pourrait être interprétée dans les deux sens. Et la plupart du temps, le contexte de notre situation déterminera quelle relation est la plus utile. Dans les deux cas, nous avons une unité composée et un coefficient de cette unité composée.

Nous sommes maintenant prêts à examiner d’autres exemples.

William a compté ses pas en marchant. Il a constaté qu’il marchait à une vitesse constante car le nombre de ses pas était proportionnel au temps de marche. Le tableau indique le nombre des pas qu’il a faits à différents instants. Quelle est la constante de proportionnalité entre le temps de marche et le nombre des pas, c’est-à-dire sa vitesse ?

Lorsque nous pensons à cette constante de proportionnalité, plus précisément à la vitesse à laquelle William marchait, nous devrons considérer le taux unitaire avec lequel il marchait. Et cela signifie que nous aurons une décision à prendre. Est-ce que nous cherchons le nombre de secondes par pas ? Ou est-ce que nous cherchons le nombre de pas par seconde ? Une façon simple de penser à la vitesse est de mesurer la distance parcourue par unité de temps. Nous pouvons donc choisir le nombre de pas par seconde comme unité de temps. Nous savons qu’il faut à William quatre secondes pour faire six pas. Nous pouvons écrire ce rapport six pas sur quatre secondes.

Comme le taux unitaire doit être d’une seconde, nous divisons quatre par un pour obtenir un. Et si nous divisons par quatre au dénominateur, nous devons diviser par quatre au numérateur. Six divisé par quatre, c’est un et demi. Et nous pouvons donc dire que William a fait un pas et demi en une seconde.

Il pourrait être utile de vérifier quelques autres points de données pour s’assurer qu’il s’agit bien de la vitesse constante à laquelle il marchait. D’après le tableau, nous savons qu’en 30 secondes, William a fait 45 pas. Si nous prenons le taux unitaire et le multiplions par 30 secondes, nous devrions obtenir 45 pas. Lorsque nous multiplions les numérateurs, 1.5 fois 30 équivaut à 45. Nous pourrions également multiplier 1.5 par 60, ce qui nous donnerait 90, 90 pas en 60 secondes. Et 1.5 fois 10 secondes équivaut aussi à 15 pas. Nous avons trouvé que sa vitesse, son rythme, était de 1.5 pas pour chaque seconde. Et nous pouvons écrire cette constante de proportionnalité comme le nombre 1.5 avec les unités de pas par seconde.

Voici un autre exemple.

Une voiture consomme 10 litres de carburant pour parcourir 50 kilomètres. Quel est le taux de consommation de carburant de la voiture en litres par kilomètre ?

Nous cherchons un taux de consommation de carburant en litres par kilomètre, qui est un taux unitaire pour le nombre de litres que la voiture consomme par kilomètre, où l’unité est le kilomètre. On nous a donné le taux, 10 litres, pour chaque 50 kilomètres. Si nous écrivons cela comme une fraction, nous avons 10 litres sur 50 kilomètres. Notre taux unitaire sera le nombre de litres qu’il faut pour parcourir un kilomètre. Pour passer de 50 à un, nous pouvons diviser le dénominateur par 50. Et comme nous voulons que ces valeurs restent proportionnelles, nous devrons également diviser le numérateur par 50. 10 divisé par 50 donne 0.2. Ce sera deux dixièmes de litre par kilomètre. Et quand nous écrivons cela comme un taux unitaire, nous écrivons le numérateur 0.2. Et ensuite nous listons les unités comme des litres par kilomètre.

Dans cet exemple, nous devrons considérer un taux unitaire où nous devons changer les unités dans lesquelles nous travaillons.

Étant donné qu’un robinet fuit 7800 litres d’eau en cinq heures, trouvez le taux de fuite par minute.

Ce taux de fuite par minute sera un taux unitaire pour la fuite en litres par minute. Nous pouvons imaginer les informations qui nous sont données avec ce diagramme à deux axes. Les deux premiers points de données nous indiquent que 7800 litres fuient toutes les cinq heures. Avant de pouvoir déterminer le débit de fuite par minute, nous devons déterminer la quantité qui fuit en une heure, au lieu de cinq heures. Pour le savoir, nous pouvons diviser les cinq heures par cinq pour obtenir une heure. Et comme ces deux axes sont proportionnelles, ces deux valeurs sont proportionnelles, alors nous devrons également diviser 7800 par cinq, ce qui nous donnera 1560 litres.

Et nous pouvons donc dire que le taux de fuite est de 1560 litres par heure. Mais nous n’avons pas trouvé le taux de fuite en litres par minute. Or, nous savons qu’une heure est 60 minutes. Et donc nous pouvons dire que le taux de fuite est de 1560 litres pour chaque 60 minutes. Mais comment allons-nous trouver cette valeur d’une minute ? Comment saurons-nous combien de litres fuient par minute ? Eh bien, pour passer de 60 minutes à une minute, il faut diviser par 60. Et cela signifie que pour savoir combien de litres fuient en une minute, nous devons diviser les 1560 litres en 60 minutes par 60. Puisque nous divisons le numérateur et le dénominateur par 60, ce taux reste proportionnel. Et cette proportion sera de 26 litres chaque minute. Le taux de fuite est de 26 litres par minute. Et écrit comme un taux unitaire, nous avons le nombre entier, 26, et ensuite les unités litres par minute.

À titre de référence, un robinet de cuisine a un débit de quatre à six litres par minute. Un tuyau d’arrosage peut avoir une pression de 90 litres par minute, tandis que certains tuyaux d’incendie peuvent avoir des débits allant jusqu’à 360 litres par minute. Avec un débit de fuite de 26 litres par minute, on peut supposer qu’il s’agit d’un tuyau d’arrosage qui n’a pas été complètement arrêté.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir ce qui se passe lorsque les deux valeurs de notre taux sont fractionnaires.

Matthew balaye les deux neuvièmes du sol du hall en 15 minutes, soit un quart d’heure. Quelle fraction du sol balaie-t-il en une heure ? Et combien de temps lui faut-il pour balayer tout le sol ?

On nous a donné ce diagramme très utile. Notre ligne d’en bas est le temps et notre ligne d’en haut est la partie du sol qui a été balayée en ce même laps de temps. En un quart d’heure, les deux neuvièmes du hall ont été balayés. Et cela signifie que chaque quart d’une heure, deux neuvièmes du sol peuvent être balayés. Deux neuvièmes plus deux neuvièmes feront quatre neuvièmes. En une demi-heure, quatre neuvièmes du sol peuvent être balayés. Et par cette mesure, en trois quarts d’heure, les six neuvièmes du sol peuvent être balayés. Et puis, en une heure, les huit neuvièmes du sol peuvent être balayés.

Dans la première question on nous demande quelle fraction du sol balaye-t-il en une heure ? Et nous avons constaté que c’était huit neuvièmes. La deuxième question pourrait ne pas sembler aussi simple. Combien de temps lui faut-il pour balayer tout le sol ? Si nous continuons un peu plus loin, il y a un point où les neuf neuvièmes du sol sont balayés. Et cette valeur va être un peu plus d’une heure. Maintenant, neuf neuvièmes, c’est un neuvième de plus que huit neuvièmes. Il serait donc utile de savoir combien de temps il faut à Matthew pour balayer un neuvième du sol.

Comme ces valeurs sont proportionnelles, nous savons que un neuvième est la moitié de deux neuvièmes, et cela signifie qu’il faudra la moitié d’un quart pour balayer un neuvième du plancher. La moitié d’un quart correspond à un huitième. Ce que nous disons ici, c’est que un neuvième du sol est balayé chaque un huitième d’heure. Si nous voulions balayer neuf neuvièmes du sol, alors nous multiplierions le numérateur un neuvième par neuf. Et comme ces valeurs sont proportionnelles, nous devons également multiplier le huitième d’heure par neuf, ce qui nous donne neuf huitièmes d’heure pour tout le sol balayé. Neuf huitièmes d’heure, c’est un et un huitième. On peut donc dire qu’il faudrait à Matthieu une heure et un huitième d’heure pour balayer tout le plancher, ce qui fait 67 minutes et demie.

Pour résumer nos points clés, le taux unitaire est le coefficient de proportionnalité entre deux quantités directement proportionnelles. Les taux unitaires ont des unités composées et donnent le montant de la première quantité par unité de l’autre quantité. Enfin, une relation proportionnelle peut souvent être comprise de deux façons, par exemple, quatre personnes par pizza ou un quart de pizza par personne. Et c’est le contexte de la situation qui détermine les façons dont nous utilisons cette relation proportionnelle.