Vidéo question :: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète Mathématiques

Transcription de la vidéo

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs trois, quatre et cinq. Sachant que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 sur 12, déterminez la variance de 𝑋. Si nécessaire, donnez votre réponse au centième près.

Nous rappelons tout d’abord que la variance d’une variable aléatoire discrète est la mesure de la dispersion avec laquelle les valeurs de la variable diffèrent de l’espérance. On calcule la variance d’une variable aléatoire discrète 𝑋 avec la formule suivante : l’espérance de 𝑋 carré moins l’espérance de 𝑋 le tout au carré. Et nous devons être clairs sur la différence de notation ici. Dans le second terme, on calcule d’abord l’espérance, ou moyenne de 𝑋, avant d’évaluer son carré, tandis que dans le premier terme, on évalue l’espérance du carré de 𝑋. Donc, on évalue d’abord le carré des valeurs de 𝑋, puis on calcule leur espérance.

Nous rappelons également deux autres formules. Pour déterminer l’espérance de 𝑋, on multiplie chaque valeur de 𝑥 par 𝑓 de 𝑥, où 𝑓 est la distribution de probabilité de 𝑥. Et on calcule ensuite la somme de ces valeurs. L’espérance de 𝑋 carré est similaire, mais cette fois, on multiplie les valeurs de 𝑥 carré par les valeurs de 𝑓 de 𝑥, puis on calcule la somme. On nous a dit que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 sur 12. Nous avons donc une constante inconnue 𝑎 que nous devons déterminer. Pour ce faire, nous devons nous rappeler que la somme de toutes les probabilités dans une distribution de probabilité est égale à un. Nous pouvons donc trouver des expressions pour 𝑓 de 𝑥 pour chacune des trois valeurs possibles de cette variable aléatoire discrète. Nous pouvons donc trouver 𝑓 de trois, 𝑓 de quatre et 𝑓 de cinq, puis former une équation.

Tout d’abord, 𝑓 de trois égale 𝑎 fois trois, ou trois 𝑎, sur 12. Et bien qu’on puisse simplifier cela, nous ne le ferons pas pour l’instant. De même, 𝑓 de quatre égale quatre 𝑎 sur 12, et 𝑓 de cinq égale cinq 𝑎 sur 12. Si la somme de ces trois probabilités doit être égale à un, on a trois 𝑎 sur 12 plus quatre 𝑎 sur 12 plus cinq 𝑎 sur 12 est égal à un. Et voici pourquoi nous n’avons simplifié aucune des fractions qui pouvaient l’être car maintenant elles ont toutes un dénominateur commun de 12. En additionnant les trois fractions, on obtient 12𝑎 sur 12 est égal à un. Et bien sûr, les facteurs de 12 au numérateur et au dénominateur s’éliminent, ce qui donne 𝑎 égal à un. Les valeurs de 𝑓 de trois, 𝑓 de quatre et 𝑓 de cinq sont respectivement trois douzièmes, quatre douzièmes et cinq douzièmes.

Nous pouvons écrire la distribution de probabilité de 𝑥 dans un tableau comportant les valeurs possibles de la variable aléatoire discrète dans la première ligne et leurs probabilités correspondantes dans la seconde ligne. Nous pouvons ensuite ajouter une ligne à notre tableau dans laquelle nous multiplions chaque valeur de 𝑥 par 𝑓 de 𝑥. Trois multiplié par trois douzièmes égale neuf douzièmes. Quatre multiplié par quatre douzièmes égale seize douzièmes. Et cinq multiplié par cinq douzièmes égale vingt-cinq douzièmes. L’espérance de 𝑋 est donc la somme de ces trois valeurs, soit cinquante douzièmes ou 25 sur six.

Pour déterminer l’espérance de 𝑋 carré, nous devons multiplier chaque valeur de 𝑥 au carré par 𝑓 de 𝑥, donc nous pouvons ajouter quelques lignes à notre tableau : d’abord, une ligne pour les valeurs de 𝑥 au carré, qui sont trois multipliées par trois , soit neuf, quatre fois quatre, soit 16, et cinq fois cinq, soit 25. La dernière ligne de notre tableau est pour multiplier chaque valeur de 𝑥 au carré par chaque valeur de 𝑓 de 𝑥. Nous avons donc 27 sur 12, 64 sur 12 et 125 sur 12. Et encore une fois, nous allons laisser les trois fractions avec un dénominateur commun de 12. L’espérance de 𝑋 carré est la somme de ces trois valeurs. Soit 216 sur 12, ce qui correspond exactement à 18.

Enfin, pour évaluer la variance de 𝑋, on soustrait le carré de l’espérance de 𝑋 à l’espérance de 𝑋 carré. Nous avons donc 18 moins le carré de 25 sixièmes. Cela donne 18 moins 625 sur 36, ce qui sous forme décimale est 0,638. La question précise que nous devons donner notre réponse au centième près. Donc, en arrondissant notre résultat au centième près, nous obtenons 0,64. La variance de cette variable aléatoire discrète 𝑋 au centième près est de 0,64.