Vidéo : Changement de base

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Changement de base

12:50

Transcription de vidéo

Si j’ai un vecteur posé ici dans un espace 2D, nous avons une manière standard de le décrire avec des coordonnées. Dans ce cas, le vecteur a les coordonnées trois, deux, ce qui signifie qu’il faut aller de la queue à la pointe en se déplaçant de trois unités vers la droite et deux unités vers le haut.

Désormais, la manière la plus linéaire de décrire les coordonnées consiste à considérer chacun de ces nombres comme un scalaire, une chose qui étire ou écrase des vecteurs. Vous voyez cette première coordonnée est un redimensionnement de 𝑖 chapeau, le vecteur de norme un dirigé vers la droite, tandis que la deuxième coordonnée redimensionne 𝑗 chapeau, le vecteur de norme un dirigé vers le haut. La somme de bout en bout de ces deux vecteurs redimensionnés correspond à ce que les coordonnées sont censées décrire.

Vous pouvez voir ces deux vecteurs spéciaux comme encapsulant toutes les hypothèses implicites de notre système de coordonnées, le fait que le premier nombre indique le mouvement vers la droite, que le second indique le mouvement vers le haut, exactement à quelle distance selon l’unité ; tout cela est lié au choix de 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau en tant que vecteurs que nos coordonnées scalaires sont censées redimensionner. Toute méthode de conversion entre vecteurs et ensembles de nombres est appelée système de coordonnées, les deux vecteurs spéciaux, 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau, sont appelés les vecteurs de base de notre système de coordonnées standard.

Ce que j’aimerais aborder ici, c’est l’idée d’utiliser un ensemble différent de vecteurs de base. Par exemple, disons que vous avez un ami, Jennifer qui utilise un ensemble différent de vecteurs de base que je vais appeler 𝐛 un et 𝐛 deux. Son premier vecteur de base, 𝐛 un, pointe vers le haut et un peu à droite, et son second vecteur, 𝐛 deux, pointe à gauche et vers le haut. Maintenant, ayez un autre regard sur ce vecteur que j’ai montré plus tôt, celui que je décrirais en utilisant les coordonnées trois, deux en utilisant nos vecteurs de base 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau. Jennifer décrirait en fait ce vecteur avec les coordonnées cinq tiers et un tiers. Cela signifie que la manière particulière d’obtenir ce vecteur à l’aide de ses deux vecteurs de base consiste à mettre à l’échelle 𝐛 un par cinq tiers, à l’échelle 𝐛 deux à un tiers, puis de les additionner. Dans quelques instants, je vais vous montrer comment vous auriez pu comprendre ces deux nombres : cinq tiers et un tiers.

En général, chaque fois que Jennifer utilise les coordonnées pour décrire un vecteur, elle pense à sa première coordonnée comme un redimensionnement de 𝐛 un, la seconde coordonnée comme un redimensionnement de 𝐛 deux, et elle ajoute les résultats. Ce qu’elle obtient sera généralement complètement différent du vecteur que vous et moi considérons comme ayant ces coordonnées. Pour être un peu plus précis sur la configuration ici, son premier vecteur de base, 𝐛 un, est quelque chose que nous décririons avec les coordonnées deux, un et son second vecteur de base, 𝐛 deux, serait quelque chose que nous décririons comme suit : moins un, un.

Mais il est important de comprendre que de son point de vue, dans son système, que ces vecteurs ont des coordonnées un, zéro et zéro, un. Ils sont ce qui définit le sens des coordonnées un, zéro et zéro, un dans son monde. Donc, en réalité, nous parlons des langues différentes. Nous examinons tous les mêmes vecteurs dans l’espace, mais Jennifer utilise des mots et des nombres différents pour les décrire.

Permettez-moi de dire un mot rapide sur la façon dont je représente les choses ici. Lorsque j’anime un espace 2D, j’utilise généralement cette grille carrée, mais cette grille est simplement une construction, une manière de visualiser notre système de coordonnées, elle dépend donc de notre choix de base. L’espace lui-même n’a pas de grille intrinsèque. Jennifer pourrait dessiner sa propre grille, ce qui constituerait une construction tout aussi élaborée signifiant rien de plus qu’un outil visuel permettant de suivre la signification de ses coordonnées. Cependant, son origine s’alignerait sur la nôtre puisque tout le monde s’accorde sur la signification des coordonnées zéro, zéro. C’est ce que vous obtenez lorsque vous redimensionnez un vecteur par zéro. Mais la direction de ses axes et l’espacement des lignes de la grille seront différents, en fonction du choix des vecteurs de base.

Donc, après tout cela, une question assez naturelle à se poser est de savoir comment nous traduisons entre les systèmes de coordonnées. Si, par exemple, Jennifer décrit un vecteur avec des coordonnées moins un, deux, qu’en serait-il dans notre système de coordonnées ? Comment traduisez-vous de sa langue dans la nôtre ? Eh bien, ce que nos coordonnées disent, c’est que ce vecteur est moins un fois 𝐛 un plus deux fois 𝐛 deux. Et de notre point de vue, on a 𝐛 coordonne deux, un et deux 𝐛 a des coordonnées d’ un négatif, un, afin que nous puissions calculer un temps négatif 𝐛 un plus deux fois 𝐛 deux comme ils sont représentés dans notre système de coordonnées. Et en travaillant cela, vous obtenez un vecteur avec des coordonnées négatives quatre, un. C’est ainsi que nous décririons le vecteur qu’elle considère comme moins un, deux.

Ce processus consistant à mettre à l’échelle chacun de ses vecteurs de base par les coordonnées correspondantes d’un vecteur puis à les additionner pourrait sembler un peu familier. C’est une multiplication matrice-vecteur avec une matrice dont les colonnes représentent les vecteurs de base de Jennifer dans notre langage. En fait, une fois que vous avez compris que la multiplication matrice-vecteur appliquait une certaine transformation linéaire - disons en regardant ce que je vous ai présenté comme la vidéo la plus importante de cette série, chapitre trois - il existe un moyen assez intuitif de penser à ce qui se passe ici. Une matrice dont les colonnes représentent les vecteurs de base de Jennifer peut être considérée comme une transformation déplaçant nos vecteurs de base 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau, les choses auxquelles nous pensons lorsque nous disons un, zéro et zéro, un - aux vecteurs de base de Jennifer, les choses auxquelles elle pense quand elle dit un, zéro et zéro, un.

Pour montrer comment cela fonctionne, examinons ce que cela signifierait de prendre le vecteur que nous considérons comme ayant des coordonnées moins un, deux et appliquer cette transformation. Avant la transformation linéaire, nous considérons ce vecteur comme une certaine combinaison linéaire de nos vecteurs de base, moins un fois 𝑖 chapeau plus deux fois 𝑗 chapeau. Et la caractéristique principale d’une transformation linéaire est que le vecteur résultant sera la même combinaison linéaire, mais des nouveaux vecteurs de base, moins un fois l’endroit où 𝑖 chapeau atterrit plus deux fois l’endroit où 𝑗 chapeau atterrit. Cette matrice transforme donc notre fausse idée de ce que Jennifer signifie en un vecteur réel auquel elle fait référence. Je me souviens que lorsque j’ai appris cela pour la première fois, je me suis toujours senti un peu en arrière. Géométriquement, cette matrice transforme notre grille en grille de Jennifer. Mais numériquement, il s’agit de traduire un vecteur décrit dans sa langue dans notre langue. Ce qui m’a finalement donné le déclic, c’est de réfléchir à la façon dont cela prend notre fausse idée de ce que Jennifer veut dire, le vecteur que nous obtenons en utilisant les mêmes coordonnées mais dans notre système, il le transforme ensuite en le vecteur auquel elle se réfère réellement.

Qu’en est-il si on allait dans l’autre sens ? Dans l’exemple que j’ai utilisé précédemment dans cette vidéo, lorsque j’ai le vecteur avec les coordonnées trois, deux dans notre système, comment ai-je calculé qu’il aurait les coordonnées cinq tiers et un tiers dans le système de Jennifer ? Vous commencez par cette matrice de changement de base qui traduit le langage de Jennifer dans le nôtre, puis vous prenez son inverse. Rappelez-vous que l’inverse d’une transformation est une nouvelle transformation qui correspond à la lecture de celle-ci en sens arrière. En pratique, en particulier lorsque vous travaillez dans plus de deux dimensions, vous utiliseriez un ordinateur pour calculer la matrice qui représente réellement cette inverse. Dans ce cas, l’inverse de la matrice de changement de base qui a la base de Jennifer lorsque ses colonnes finissent par donner les colonnes un tiers, moins un tiers et un tiers, deux tiers. Ainsi, par exemple, pour voir à quoi ressemble le vecteur trois, deux dans le système de Jennifer, nous multiplions cette matrice de changement de base inverse par le vecteur trois, deux, ce qui donne cinq tiers, un tiers.

En résumé, voici comment traduire la description de vecteurs individuels entre des systèmes de coordonnées. La matrice dont les colonnes représentent les vecteurs de base de Jennifer, mais écrite en nos coordonnées, traduit les vecteurs de sa langue dans notre langue. Et la matrice inverse fait le contraire. Mais les vecteurs ne sont pas la seule chose que nous décrivons en utilisant des coordonnées.

Pour cette partie suivante, il est important que vous soyez tous à l’aise pour représenter des transformations avec des matrices et que vous sachiez comment la multiplication de matrices correspond à la composition de transformations successives. Faites une pause et jetez un coup d’œil aux chapitres trois et quatre si cela vous met mal à l’aise.

Envisagez une transformation linéaire comme une rotation de 90 degrés dans le sens direct. Lorsque vous et moi représentons cela avec une matrice, nous suivons où les vecteurs de base 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau vont chacun. 𝑖 chapeau qui finit à l’endroit avec les coordonnées zéro, un et 𝑗 chapeau qui finit à l’endroit avec les coordonnées moins un, zéro, de sorte que ces coordonnées deviennent les colonnes de notre matrice. Mais cette représentation est fortement liée à notre choix de vecteurs de base, du fait que nous suivons 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau en premier lieu au fait que nous enregistrons leurs points d’atterrissage dans notre propre système de coordonnées.

Comment Jennifer décrirait-elle cette même rotation de 90 degrés de l’espace ? Vous pourriez être tenté de simplement traduire les colonnes de notre matrice de rotation dans le langage de Jennifer, mais ce n’est pas tout à fait vrai. Ces colonnes représentent où nos vecteurs de base 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau vont. Mais la matrice que souhaite Jennifer devrait représenter le lieu où ses vecteurs de base atterrissent, et elle doit décrire ces points d’atterrissage dans sa langue. Voici une façon courante de voir comment cela se fait. Commencez avec n’importe quel vecteur écrit dans la langue de Jennifer. Plutôt que d’essayer de suivre ce qui lui arrive dans sa langue, nous allons d’abord la traduire dans notre langue en utilisant la matrice de changement de base, celle dont les colonnes représentent ses vecteurs de base dans notre langue. Cela nous donne le même vecteur mais maintenant écrit dans notre langue. Ensuite, appliquez la matrice de transformation à ce que vous obtenez en la multipliant à gauche. Cela nous indique où ce vecteur atterrit mais reste dans notre langue. Alors, comme dernière étape, appliquez la matrice de changement de base inverse, multipliée à gauche comme d’habitude, pour obtenir le vecteur transformé mais maintenant dans le langage de Jennifer.

Puisque nous pouvons faire cela avec n’importe quel vecteur écrit dans sa langue, en appliquant d’abord le changement de base, puis la transformation, puis le changement de base inverse, cette composition de trois matrices nous donne la matrice de transformation dans le langage de Jennifer. Il prend en compte un vecteur de sa langue et recrache la version transformée de ce vecteur dans sa langue. Pour cet exemple spécifique, lorsque les vecteurs de base de Jennifer ressemblent à deux, un et moins un, un dans notre langage et lorsque la transformation est une rotation de 90 degrés, le produit de ces trois matrices, si vous l’exécutez, contient les colonnes un tiers, cinq tiers et moins deux tiers, moins un tiers. Donc, si Jennifer multiplie cette matrice par les coordonnées d’un vecteur dans son système, elle renverra la version pivotée à 90 degrés de ce vecteur exprimée dans son système de coordonnées.

En général, chaque fois que vous voyez une expression comme 𝐴 inverse fois 𝑀 fois 𝐴, il suggère une sorte d’empathie mathématique. Cette matrice médiane représente une transformation, telle que vous la voyez, et les deux matrices extérieures représentent l’empathie, le changement de perspective et le produit matriciel complet représente la même transformation, mais comme quelqu’un d’autre la voit. Pour ceux d’entre vous qui se demandent pourquoi nous nous soucions des systèmes de coordonnées alternatifs, la prochaine vidéo sur les vecteurs propres et les valeurs propres en donnera un exemple très important. À plus tard !

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