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Si l’ensemble 𝑋 contient les valeurs de 𝑥 où 𝑥 est un entier supérieur ou égal à moins 17 et inférieur à 23 et l’ensemble 𝑌 contient les valeurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 existent dans l’ensemble 𝑋 et 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des éléments distincts, déterminez 𝑛 de 𝑌, le nombre d’éléments qui appartiennent à l’ensemble 𝑌.
On nous dit que l’ensemble 𝑋 contient les entiers supérieurs ou égaux à moins 17 et inférieurs à 23. Cela signifie que 𝑋 contient les entiers moins 17, moins 16, moins 15, et ainsi de suite jusqu’à 22. Il y a un total de 40 éléments dans l’ensemble 𝑋. L’ensemble 𝑌 contient toutes les permutations possibles de trois éléments de l’ensemble 𝑋, dans lesquelles l’ordre compte. Par exemple, zéro, un, deux est considéré comme différent de un, deux, zéro.
Une façon de calculer le nombre d’éléments de l’ensemble 𝑌 consiste à utiliser le principe fondamental du comptage. Puisqu’il y a 40 éléments dans l’ensemble 𝑋, la valeur de 𝑎 pourrait être l’un de ces 40 éléments. Puisque 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont distincts, il y a 39 valeurs potentielles de 𝑏. Nous avons maintenant sélectionné deux des éléments de l’ensemble 𝑋, il y a donc 38 valeurs potentielles de 𝑐. Le nombre total d’éléments appartenant à l’ensemble 𝑌 sera égal à 40 multiplié par 39 multiplié par 38. Ce qui est égal à 59280.
Une autre méthode consiste à utiliser nos connaissances des permutations. Comme pour toute permutation, l’ordre compte. Et dans ce cas, il n’y a pas de répétition. 𝑛P𝑟 est donc égal à factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑟. Il y a 40 éléments au total, et nous en sélectionnons trois à chaque fois. Cela signifie que nous devons calculer factorielle 40 divisé par factorielle 37. On peut réécrire le numérateur comme 40 multiplié par 39 multiplié par 38 multiplié par factorielle 37. Lorsque l’on divise par factorielle 37, on obtient une fois de plus 40 multiplié par 39 multiplié par 38. Ce qui confirme le résultat de 59280. Voici le nombre d’éléments qui appartiennent à l’ensemble 𝑌.
