Vidéo question :: Résoudre des équations du second degré par la complétion du carré Mathématiques

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Résolvez l'équation 𝑥 au carré plus 𝑥 plus un égale zéro par la complétion du carré.

Rappelons que toute équation du second degré de la forme 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 peut être réécrite sous la forme 𝑥 plus 𝑏 sur deux le tout au carré moins 𝑏 sur deux au carré plus 𝑐. C’est la méthode de complétion du carré. Dans cette question, comme le coefficient de 𝑥 et le terme constant valent tous les deux un, 𝑏 égale un et 𝑐 égale un. On peut donc réécrire l'expression 𝑥 au carré plus 𝑥 plus un comme suit : 𝑥 plus un demi le tout au carré moins un demi au carré plus un. Un demi fois un demi est un quart. Par conséquent, on obtient l'équation suivante : 𝑥 plus un demi le tout au carré moins un quart plus un égale zéro. Ce qui, à son tour, se simplifie en 𝑥 plus un demi le tout au carré plus trois quarts égale zéro.

Ensuite, il faut soustraire trois quarts des deux membres. On peut alors prendre la racine carrée des deux membres de notre équation de telle sorte que 𝑥 plus un demi égale plus ou moins racine carrée de moins trois quarts. Racine carrée de moins trois quarts est identique à racine carrée de trois quarts fois racine carrée de moins un. Or, on sait que racine carrée de moins un est égale à 𝑖. Racine carrée de trois quarts égale racine carrée de trois sur racine carrée de quatre, ce qui se simplifie en racine carrée de trois sur deux. 𝑥 plus un demi égale plus ou moins racine de trois sur deux 𝑖.

Finalement, on peut soustraire un demi des deux membres de cette équation. 𝑥 égale moins un demi plus ou moins la racine trois sur deux 𝑖. Ainsi, l'équation du second degré 𝑥 au carré plus 𝑥 plus un égale zéro a donc deux solutions. Ce sont 𝑥 égale moins un demi plus la racine carré de trois sur deux 𝑖 ou 𝑥 égale moins un demi moins la racine carré de trois sur deux 𝑖.