Transcription de la vidéo
Un objet de 𝑚 g de masse repose sur un plan lisse incliné d’un angle thêta par rapport à l’horizontale. Il est lié, par une corde légère passant sur une poulie lisse fixée au sommet du plan, à une masse de 40 grammes pendue librement et verticalement sous la poulie. Le système a été libéré du repos et le corps est descendu de 686 centimètres dans le plan pendant les 2 premières secondes de mouvement. Sachant que la force exercée sur la poulie était de 54 racine de trois grammes-poids, déterminez la valeur de 𝑚. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde au carré.
Tout d’abord, réfléchissons bien à la terminologie de cette question. On nous dit que le corps a une masse de 𝑚 g. Étant une masse, le g représente les grammes dans ce cas. À la fin de la question, on nous dit d’utiliser une valeur de 9,8 mètres par seconde au carré pour 𝑔. Il est important de reconnaître qu’il s’agit d’une utilisation différente de la lettre 𝑔. Dans ce cas, il se réfère à l’accélération de la pesanteur.
Ensuite, on nous a dit que le plan incliné est lisse. Et cela nous indique qu’il n’y a pas de force de frottement qui résiste au mouvement du corps sur le plan. Le fait que nous ayons une corde légère signifie que nous pouvons supposer qu’elle a une masse de zéro, ce qui simplifiera nos calculs. Le fait que la poulie soit à nouveau lisse signifie que nous n’avons pas besoin de tenir compte de la force de frottement qui résiste au mouvement de la corde autour de la poulie.
Parce que le corps de 40 grammes est censé pendre librement et verticalement sous la poulie, nous pouvons supposer qu’il tombera directement vers le bas ou se déplacera directement vers le haut sans aucune obstruction lorsque le système sera relâché. Et lorsque nous parlons de la force exercée sur la poulie, nous parlons de la force résultante des deux extrémités de la corde qui tirent vers le bas et vers la gauche. On nous dit que cette force est égale à la force de 54 racine de trois grammes due à la pesanteur. Nous verrons plus tard comment calculer la force résultante.
Puisque nous avons choisi notre chemin à travers le langage et les hypothèses que nous pouvons faire. Nous pouvons voir qu’on nous a demandé de trouver la valeur de 𝑚, la masse en grammes du corps sur le plan incliné. La prochaine chose que nous devons faire est de dessiner un schéma pour enregistrer toutes les informations qui nous ont été données pour nous aider à visualiser le problème. Le plan est incliné d’un angle thêta par rapport à l’horizontale. Il y a une poulie fixée au sommet du plan. Et une corde légère passe autour de la poulie avec un corps à chaque extrémité, un sur le plan et un autre pendant directement sous la poulie. Chaque corps a son poids agissant directement vers le bas en raison de la pesanteur.
Nous pouvons calculer l’intensité de chaque poids en multipliant la masse par l’accélération de la pesanteur, c’est-à-dire, la deuxième loi de Newton. Nous utiliserons les unités SI standard dans nos calculs, nous convertirons donc les grammes en kilogrammes. En regardant d’abord le corps suspendu, il a une masse de 40 grammes, soit 0,04 kilogramme. L’accélération de la pesanteur est de 9,8 mètres par seconde au carré. Le poids est alors égal à 0,04 fois 9,8 newtons. Soit 0,392 newtons. Le corps sur le plan incliné a une masse de 𝑚 grammes, soit 𝑚 sur mille kilogrammes. Ainsi, le poids pour ce corps en newtons est de 9,8 𝑚 sur mille.
Les deux corps tirent la corde dans des directions différentes, créant une tension dans la corde. Appelons la force de tension 𝑇 newtons. Puisque la poulie est lisse et que la corde peut se déplacer librement dessus, la tension de chaque côté de celle-ci sera égale à 𝑇 newtons. Nous pouvons marquer ces forces sur notre schéma. Ensuite, il y a aussi une réaction normale entre le plan incliné et le corps qui se déplace sur lui. Cela agit perpendiculairement au plan. Appelons cette force 𝑅 indice C, avec les newtons comme unité.
Examinons de plus près la force de réaction normale du corps sur le plan incliné. Comme nous l’avons dit, elle agit perpendiculairement au plan. Mais nous savons aussi que le corps glisse sur le plan lorsqu’il est relâché. Ce mouvement est perpendiculaire à la droite de la réaction normale. Et le corps ne saute pas et ne s’enfonce pas dans le plan incliné. Cela signifie que les forces agissant sur ce corps perpendiculaire au plan sont en équilibre. La force de réaction normale est donc égale à la composante du poids agissant dans la direction opposée.
Nous devons trouver une expression pour la composante du poids agissant directement dans la direction opposée à la force de réaction normale. Nous savons que le poids agit directement vers le bas. Par conséquent, nous savons que l’angle entre le plan et la verticale vers le bas est de 90 moins thêta. Et puisque nous cherchons la composante du poids agissant perpendiculairement vers le bas depuis le plan, nous pouvons voir que cet angle doit être thêta. C’est 90 moins 90 moins thêta.
Nous savons que le poids est de 9,8 𝑚 divisée par 1000 newtons. Ainsi, la composante de cette action pour équilibrer la réaction normale contre le plan est de 9,8 𝑚 sur 1000 fois cosinus thêta. Et donc la force de réaction normale, 𝑅 indice C, est égale à 9,8𝑚 sur 1000 cosinus thêta newtons. Ajoutons cela à notre schéma. Du point de vue de la poulie, les forces de tension la tirent vers le bas et vers la gauche. Voyons cela de plus près.
Rappelons que la tension dans la corde est constante, et nous l’appelons 𝑇 newtons. La corde est suspendue au-dessus de la poulie. Il y a donc une force de tension de 𝑇 newtons la tirant verticalement vers le bas et une autre force de 𝑇 newtons la tirant vers le bas le long de la ligne du plan incliné. Parce que les forces de tension sont de même amplitude de chaque côté de la poulie lisse, la force résultante sur la poulie agira le long de la ligne qui coupe l’angle entre les deux extrémités de la corde. Appelons chaque moitié de cet angle alpha.
Alors, la question nous a dit que la force résultante exercée sur la poulie était égale à 54 racine de trois grammes. Convertissons cela en newtons. Une unité de gramme-poids est la force qui serait exercée par un gramme en raison de l’accélération de la pesanteur. Pour convertir en newtons, nous allons d’abord convertir en kilogrammes-poids, car les kilogrammes sont l’unité SI standard de masse. Il y a 1000 grammes dans un kilogramme. Donc, 54 racine de trois grammes est égale à 54 racine de trois sur 1000 kilogrammes-poids. La force exercée par 54 racine de trois sur 1000 kilogrammes due à l’accélération de la pesanteur peut être exprimée comme 54 racine de trois sur 1000 fois l’accélération de la pesanteur, qui nous est donnée égale à 9,8 mètres par seconde au carré.
Ensuite, rappelons que cette force est la résultante des forces de tension de chaque extrémité de la corde. Et puisque ceux-ci agissent chacun selon un angle alpha par rapport à la droite d’action résultante, nous pouvons exprimer leur somme comme 𝑇 cosinus alpha plus 𝑇 cosinus alpha newtons, qui peuvent être simplifiés en deux 𝑇 cosinus alpha newtons. Cela signifie que 54 racine trois sur 1000 fois 9,8 est égal à deux 𝑇 cosinus alpha.
Si nous regardons en arrière sur notre schéma principal, nous pouvons voir que le plan était incliné d’un angle thêta par rapport à l’horizontale. L’angle qu’il forme avec la verticale est donc de 90 moins thêta. C’est le même angle que deux alpha. Nous pouvons écrire que deux alpha est égal à 90 moins thêta. Et donc alpha est égal à 45 moins thêta sur deux. Et en substituant cette valeur à alpha, nous avons que 54 racine de trois sur 1000 fois 9,8 est égal à deux 𝑇 cosinus 45 moins thêta sur deux, ce qui se simplifie légèrement en 1323 racine trois sur 5000 égale 𝑇 cosinus 45 moins thêta sur deux.
Alors, ce n’est pas immédiatement utile parce que nous ne connaissons pas la valeur de 𝑇 ou de thêta. Alors notons-le et regardons ce que nous pouvons déduire d’autre de la question ou du schéma. Eh bien, nous savons que le corps sur le plan descend de 686 centimètres dans les deux premières secondes lorsque le système est libéré. Nous savons également que dans cette direction, une composante de son poids le tire vers le bas sur le plan, dans le sens contraire à la force de tension dans la corde. Cela signifie qu’une force constante agit sur le corps. Et donc il se déplacera dans le plan avec une accélération constante, que nous appellerons 𝑎 mètres par seconde au carré.
Convertissons la distance en unités SI standard de mètres. On a 686 centimètres égale 6,86 mètres. Ainsi, la distance parcourue, que nous appellerons 𝑠, est de 6,86 mètres. Et le taux d’accélération constant est de 𝑎 mètres par seconde au carré. L’intervalle de temps, appelons-le 𝑡, est de deux secondes. Et le système est libéré en partant du repos. Ainsi, la vitesse initiale du corps - appelons-la 𝑢 - est de zéro mètre par seconde.
Ensuite, nous pouvons utiliser l’une des équations de mouvement de Newton sous accélération constante pour calculer l’accélération du corps. Cela sera utile pour déterminer plus tard l’intensité de la force de tension dans la corde. Nous utiliserons la distance 𝑠 égale la vitesse initiale 𝑢 fois le temps 𝑡 plus la moitié de l’accélération 𝑎 fois le carré du temps 𝑡. Puisque toutes ces variables sont en unités SI standard, nous pouvons simplement les substituer dans l’équation. Et avec un peu de simplification, nous constatons que l’accélération du corps sur le plan est de 3,43 mètres par seconde au carré. Nous pouvons ajouter ceci à notre schéma.
Ensuite, calculons les forces sur le plan du point de vue du corps sur le plan. En utilisant la deuxième loi de Newton, la force résultante agissant sur ce corps est égale à la composante de son poids agissant sur le plan moins la force de tension 𝑇. Puisque l’angle entre la force du poids et le plan est de 90 moins thêta degrés, la force résultante est de 9,8 sur 1000 fois 𝑚 fois cosinus de 90 moins thêta moins 𝑇. La masse est 𝑚 sur 1000 kilogrammes, et l’accélération est de 3,43 mètres par seconde au carré. Nous savons que cosinus de 90 moins thêta est égal à sinus de thêta, alors utilisons-le à la place.
Ensuite, nous pouvons calculer les forces dans la direction verticale vers le haut du point de vue de la masse pendant librement. Puisque la corde ne s’étire pas, nous savons que la masse suspendue accélérera vers le haut au même rythme que l’autre corps accélère sur le plan. Soit 3,43 mètres par seconde au carré. Nous pouvons donc également ajouter cette information à notre schéma. La force résultante agissant vers le haut est la force de tension 𝑇 newtons moins la force du poids vers le bas, que nous avons calculée précédemment de 0,392 newtons. La masse de ce corps est de 40 grammes, soit 0,04 kilogrammes, et son accélération est de 3,43 mètres par seconde au carré.
Nous pouvons ajouter 0,392 aux deux côtés et simplifier pour trouver que 𝑇 est égal à 0,5292, ce qui signifie que la force de tension est de 0,5292 newtons. Nous pouvons remplacer 𝑇 sur notre schéma par ce nombre. Mais nous pouvons également le remplacer dans nos autres équations non résolues. Or, cette équation n’a qu’une inconnue ; nous pouvons la résoudre pour trouver la valeur de thêta. Nous pourrons diviser les deux côtés par 0,5292 pour isoler le terme en cosinus impliquant thêta à droite. Heureusement, le côté gauche se simplifie en racine de trois sur deux. Et nous savons que cosinus de 30 degrés est égal à la racine de trois sur deux. On peut donc en déduire que 45 moins thêta sur deux est égal à 30.
Maintenant, en raison des contraintes physiques du problème, nous ne cherchons que la valeur de thêta entre zéro et 90. Avec quelques réarrangements, nous trouvons que thêta est égal à 30 degrés. Notons cela sur notre schéma. Nous pouvons remplacer thêta par 30 degrés dans notre équation restante et la résoudre pour la chose que nous recherchons finalement, la valeur de 𝑚. Et nous savons que le sinus de 30 degrés est égal à un demi. Nous pouvons rassembler les termes impliquant 𝑚 à gauche et ajouter 0,5292 de chaque côté. Ensuite, nous pouvons factoriser par 𝑚 à gauche et simplifier les termes factorisés. Enfin, nous pouvons diviser les deux côtés par 0,0049 moins 0,00343 pour trouver la valeur de 𝑚, qui est 360.
Ainsi, la masse de l’objet sur le plan est de 360 grammes, et la valeur de 𝑚 est de 360.
Il convient de mentionner rapidement que nous n’avons pas fini par utiliser la force de réaction normale du corps sur le plan à la fin. Nous avons résolu perpendiculairement à cela au bas du plan incliné, donc nous n’en avons pas eu besoin. Vous pouvez gagner un peu de temps si vous repérez ces choses. Mais dans une question compliquée comme celle-ci, vous pouvez souvent finir par calculer certaines choses dont vous n’avez pas besoin en cours de route.
