Vidéo question :: Trouver l’équation d’une droite passant par deux points et donner la réponse dans une forme spécifiée Mathématiques

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Déterminez l'équation de la droite qui passe par les points 𝐴 moins 10, deux et 𝐵 zéro, cinq, en donnant votre réponse sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro.

Nous connaissons les coordonnées de deux points situés sur la droite. La forme sous laquelle on nous demande de donner l’équation, 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro, est la forme générale de l’équation d’une droite. Cela s’appelle l’équation générale d’une droite car l’équation de chaque droite peut être écrite sous cette forme. Les valeurs de 𝑎, 𝑏 ou 𝑐 peuvent être nulles. Mais il est toujours possible d’écrire chaque droite sous cette forme, qu’il s’agisse d’une droite diagonale, horizontale ou verticale.

Pour commencer, nous allons utiliser la forme affine de l’équation d’une droite : 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est la pente de la droite et 𝑏 est son ordonnée à l’origine. Nous devons être conscients que la valeur de 𝑏 ici n’est pas la même que la valeur de 𝑏 dans la forme générale. Ce sont des lettres couramment utilisées, nous allons donc les conserver pour le moment. Mais nous devons être conscients qu’elles ne sont pas identiques.

Maintenant, nous savons que cette droite passe par le point 𝐵, qui a les coordonnées zéro, cinq, en d’autres termes, lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à cinq. Comme ce point a une abscisse 𝑥 zéro, il se trouve sur l’axe des 𝑦. Et donc nous savons que l’ordonnée à l’origine de la droite est cinq.

Nous déterminons donc la valeur de l’une des deux inconnues 𝑚 et 𝑏. Et nous savons jusqu’à maintenant que l’équation de cette droite sous forme affine est 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus cinq. Pour trouver la valeur de 𝑚, nous devons calculer la pente de la droite. Nous rappelons que la pente d’une droite est la variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥. Et si nous avons les coordonnées de deux points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux qui se trouvent sur la droite, la pente peut être calculée en utilisant la formule 𝑚 égale 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un.

Si nous posons 𝐴 comme le point 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 le point 𝑥 deux, 𝑦 deux, nous pouvons remplacer par ces valeurs dans la formule de la pente. Nous avons cinq moins deux au numérateur et zéro moins 10 au dénominateur. Nous devons être particulièrement prudents ici car une erreur courante serait d’écrire simplement zéro moins 10. Le calcul donne trois au numérateur et 10 au dénominateur. La pente de la droite est donc de trois dixièmes. Nous pouvons donc remplacer par cette valeur de 𝑚 dans l’équation de la droite sous forme affine. Et nous avons 𝑦 est égale à trois dixièmes de 𝑥 plus cinq.

C’est l’équation de la droite passant par les points 𝐴 et 𝐵. Mais elle n’est pas sous la forme que l’on nous demande de trouver. Dans la forme générale, nous pouvons voir que les trois termes, le terme 𝑥, le terme 𝑦 et le terme constant, sont tous du même côté de l’équation. Bien que cela ne soit pas précisé, les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont généralement des entiers. Nous devons donc également tenir compte du fait que nous avons une fraction de trois dixièmes.

Nous allons commencer par multiplier chaque terme de notre équation par 10. Et cela donne 10𝑦 égal trois 𝑥 plus 50. Nous voulons ensuite regrouper tous les termes du même côté de l’équation, ce que nous pouvons faire en soustrayant trois 𝑥 et 50 de chaque côté, ce qui donne moins trois 𝑥 plus 10𝑦 moins 50 égal zéro. Nous avons maintenant la forme générale de l’équation d’une droite. Nous pouvons voir que la valeur de 𝑎, le coefficient de 𝑥, est moins trois. La valeur de 𝑏, qui est le coefficient de 𝑦, est 10. Et la valeur de 𝑐, le terme constant, est moins 50. Nous avons donc notre réponse.

Il convient également de souligner que nous aurions pu choisir de regrouper les termes de l’autre côté de l’équation. En soustrayant 10𝑦 de chaque côté, nous aurions l’équation trois 𝑥 moins 10𝑦 plus 50 égal zéro, ce qui est exactement l’opposée de l’équation que nous avons déjà trouvée. Ces équations sont équivalentes car elles peuvent être obtenues de l’autre en multipliant par moins un. Notre réponse est donc que l’équation de la droite qui passe par les points 𝐴 et 𝐵 dans sa forme générale, est moins trois 𝑥 plus 10𝑦 moins 50 est égal à zéro.