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Vidéo de la leçon : Écriture scientifique Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à exprimer des nombres en écriture scientifique et à convertir des nombres entre leur forme décimale et scientifique.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment exprimer un nombre en écriture scientifique, parfois appelée forme standard. Nous verrons comment nous pouvons écrire de très grands et de très petits nombres en cette écriture. Lorsque les nombres ont une très grande ou une très petite valeur absolue, pour les écrire on écrit beaucoup de chiffres, par exemple, 241300000. À l’autre extrémité, nous avons 0,000000764. L’écriture scientifique est une façon compacte d’écrire les nombres sous cette forme.

Commençons par voir une définition de l’écriture scientifique. Un nombre exprimé en écriture scientifique est écrit sous la forme 𝑎 multiplié par 10 à la puissance 𝑏, où la valeur absolue de 𝑎 est strictement inférieure à 10 et supérieure ou égale à un. Cela signifie que 𝑎 pourrait prendre l’une des valeurs suivantes : quatre, sept ; 3,2 ; moins 6,3 ; etc. L’exposant, ou puissance, 𝑏 est un entier positif pour les grands nombres et un entier négatif pour les petits nombres.

Voici des exemples de nombres écrits en écriture scientifique. Quatre fois 10 à la puissance sept, 3,2 fois 10 à la puissance huit, et 2,14 fois 10 à la puissance moins sept. 0,6 fois 10 à la puissance huit et 23 fois 10 à la puissance moins cinq ne sont pas en écriture scientifique. Cela est dû au fait que leur valeur de 𝑎 est soit inférieure à un, soit supérieure ou égale à 10. 23 est supérieur à 10, et 0,6 est inférieur à un. Nous allons maintenant voir certaines questions qui impliquent l’expression de nombres en écriture scientifique.

Il y a environ 200 millions vaches en Inde. Exprimez ce nombre en écriture scientifique.

Voyons tout d’abord comment écrire le nombre 200 millions. Le nombre un million s’écrit comme un suivi de six zéros. Cela signifie que 200 millions peut s’écrire comme 200 suivi de six autres zéros. Au total, nous avons deux suivis de huit zéros. Un nombre est exprimé en écriture scientifique s’il est écrit sous la forme 𝑎 fois 10 à la puissance 𝑏. La valeur absolue, ou module, de 𝑎 doit être strictement inférieure à 10 et supérieure ou égale à un. La valeur de 𝑏 peut être un entier positif ou négatif.

Pour exprimer un nombre en écriture scientifique, on met d’abord une virgule après le premier chiffre non nul. Dans cette question, voici le premier chiffre, deux. Comme le chiffre suivant est zéro, la valeur de 𝑎 sera 2,0 ou juste deux. Pour trouver la valeur de la puissance 𝑏, nous devons calculer la valeur par laquelle nous multiplions deux pour obtenir 200000000. Nous pouvons le faire en utilisant la valeur de position ou en comptant combien de fois la virgule se déplace jusqu’à la fin de notre nombre.

Dans cette question, il y a huit valeurs de positions. Cela signifie que notre puissance est huit. Comme nous l’avons déjà mentionné, 2,0 est deux. Ainsi, le nombre 200 millions en écriture scientifique est deux fois 10 à la puissance huit. C’est le nombre approximatif de vaches en Inde.

Nous allons maintenant voir une autre question en utilisant l’écriture scientifique pour estimer de grandes quantités.

Le navire Titanic qui a coulé dans l’Atlantique avait une masse d’environ 47450000 kilogrammes. Laquelle des affirmations suivantes pourrait être utilisée comme estimation de cette valeur ? Est-ce A) cinq fois 10 à la puissance six ? B) cinq fois 10 à la puissance sept ? C) cinq fois 10 à la puissance huit ? D) quatre fois 10 à la puissance sept ? Ou E) quatre fois 10 à la puissance huit ?

Les cinq réponses sont toutes exprimées en notation scientifique sous la forme 𝑎 fois 10 à la puissance 𝑏. Nous savons qu’elles sont exprimées en écriture scientifique car la valeur absolue de 𝑎 est strictement inférieure à 10 et supérieure ou égale à un. Et 𝑏 est un entier. Nous devons exprimer 47450000 kilogrammes en écriture scientifique et voir ensuite laquelle de nos réponses est la meilleure estimation.

Pour exprimer un nombre en écriture scientifique, on commence par trouver le premier chiffre non nul. Dans cette question, il s’agit de quatre. Nous plaçons une virgule après ce nombre et nous écrivons ensuite tous les autres chiffres non nuls. Dans ce cas, nous avons 4,745. Ce nombre sera multiplié par 10 à une certaine puissance. La puissance sera positive pour les grands nombres et négative pour les petits nombres. Dans ce cas, il s’agit d’un entier positif.

Nous devons calculer combien de fois nous multiplierions 4,745 par 10 pour obtenir la réponse 47450000. Nous pouvons le faire en utilisant la valeur de position ou en comptant le nombre de fois que la virgule se déplacerait vers la droite. Dans ce cas, la réponse est sept. 47450000 exprimé en écriture scientifique est 4,745 fois 10 à la puissance sept. En observant les cinq réponses possibles, nous pouvons immédiatement constater que les options A, C et E sont incorrectes car la puissance n’est pas sept.

Pour arrondir la valeur de 𝑎, 4,745, à l’entier près, nous observons le nombre dans la colonne des dixièmes. Comme il s’agit de sept, nous allons arrondir à l’entier supérieur. Ainsi, notre estimation devient cinq fois 10 à la puissance sept. La bonne réponse est B, une estimation de 47450000 kilogrammes est cinq fois 10 à la puissance sept kilogrammes.

Nous allons maintenant voir une question où l’on convertit un petit nombre en écriture scientifique.

Qu’est-ce que 0,00007 en écriture scientifique ?

Un nombre est exprimé en écriture scientifique s’il est écrit sous la forme 𝑎 fois 10 à la puissance 𝑏, où la valeur absolue de 𝑎 doit être strictement inférieure à 10 et supérieure ou égale à un, et 𝑏 est un entier positif ou négatif. Dans cette question, nous voulons exprimer 0,00007 en écriture scientifique. La première étape consiste à trouver le premier chiffre non nul dans notre nombre. Dans cette question, il n’y a qu’un seul chiffre, le sept. Nous plaçons une virgule après ce chiffre. S’il y avait eu d’autres chiffres après ce sept, nous les aurions écrits après la virgule, par exemple, 7,124. Dans ce cas, il n’y a pas de chiffre non nul après le sept, donc nous avons 7,0 ou juste sept.

Nous allons multiplier ce chiffre par 10 élevé à une certaine puissance. La valeur de 𝑏 sera négative pour les petits nombres. C’est parce qu’élever 10 à une puissance négative signifie en fait que nous allons diviser. 10 à la puissance moins 4 est la même chose que 1 sur 10 à la puissance 4. Nous divisons en fait par 10 à la puissance quatre, ce qui rendra le nombre plus petit.

Pour calculer la valeur de 𝑏, nous devons trouver le nombre de places desquelles les chiffres se sont déplacés, ou le nombre de fois que la virgule s’est déplacée vers la gauche. Pour passer de 7,0 à 0,00007, nous déplaçons notre virgule de cinq places vers la gauche. Par conséquent, notre puissance est moins cinq. Comme 7,0 égale sept, donc 0,00007 en écriture scientifique est sept fois 10 à la puissance moins cinq.

Nous allons maintenant voir un deuxième exemple où nous exprimons un petit nombre en écriture scientifique.

Exprimez 0,000853 en écriture scientifique.

Un nombre est exprimé en écriture scientifique lorsqu’il est sous la forme 𝑎 fois 10 à la puissance 𝑏. Nous savons que la valeur absolue de 𝑎 doit être strictement inférieure à 10 et supérieure ou égale à un. Nous savons que 𝑏 doit être un entier. C’est un nombre entier positif pour les grands nombres et négatif pour les petits nombres. Dans cette question, nous voulons exprimer le petit nombre 0,000853 en écriture scientifique. Nous commençons par trouver le premier chiffre non nul, dans ce cas, huit. Nous plaçons une virgule après ce chiffre et nous écrivons ensuite les autres chiffres non nuls. Dans cette question, la valeur de 𝑎 est 8,53. Cette valeur est strictement inférieure à 10 et supérieure ou égale à un.

Il faut multiplier ce chiffre par 10 élevé à une certaine puissance. Dans ce cas, la puissance ou l’exposant sera négatif afin de passer de 8,53 à 0,000853 ; nous sommes en fait en train de diviser. Multiplier par 10 à la puissance moins six est la même chose que diviser par 10 à la puissance six. Pour calculer la valeur de cette puissance, il faut déterminer de combien de places nos chiffres se sont déplacés, ou combien de fois la virgule s’est déplacée. Dans ce cas, c’est quatre. Ainsi, notre puissance est moins quatre. Le nombre 0,000853 exprimé en écriture scientifique est 8,53 fois 10 à la puissance moins quatre.

Notre prochaine question implique la résolution d’un problème du monde réel.

La longueur d’un objet est de sept millimètres. Exprimez cette longueur en mètres, en donnant votre réponse en écriture scientifique.

Rappelons d’abord la conversion de certaines unités de longueur métriques. Il y a 10 millimètres dans un centimètre. Il y a 100 centimètres dans un mètre. La combinaison de ces faits nous dit qu’il y a 1000 millimètres dans un mètre. Cela signifie que pour convertir une valeur en millimètres vers les mètres, il faut diviser par 1000. Sept divisé par 1000 égale 0,007. Cela signifie que sept millimètres sont égaux à 0,007 mètre.

Ce nombre n’est pas en écriture scientifique car il faudrait écrire 𝑎 multiplié par 10 à la puissance 𝑏, où la valeur absolue de 𝑎 est strictement inférieure à 10 et supérieure ou égale à un, et 𝑏 est un entier. 0,007 exprimé en écriture scientifique s’écrit sept fois 10 à la puissance moins trois. Cela s’explique par le fait que pour passer de 7 à 0,007, les chiffres ont été déplacés de trois places.

Nous aurions pu calculer cela directement en calculant sept divisé par 1000. 1000 est la même chose que 10 à la puissance trois, ou 10 au cube. Diviser par 10 à la puissance trois est la même chose que multiplier par 10 à la puissance moins trois. Encore une fois, on obtient la réponse sept fois 10 à la puissance moins trois. C’est la longueur de l’objet en mètres.

Notre dernière question consiste à faire un calcul et à l’exprimer en écriture scientifique.

Exprimez trois multiplié par 300 en écriture scientifique.

Il y a plusieurs façons d’aborder cette question. Nous allons voir deux méthodes différentes. Notre première méthode consiste à multiplier d’abord trois par 300. Cela nous donne 900. Nous savons qu’un nombre est exprimé en écriture scientifique s’il est sous la forme 𝑎 multiplié par 10 à la puissance 𝑏, où la valeur absolue de 𝑎 est strictement inférieure à 10 et supérieure ou égale à un. Comme il n’y a qu’un seul chiffre non nul dans cette question, ce sera donc la valeur de 𝑎.

900 écrit en écriture scientifique sera égal à neuf fois 10 élevé à une certaine puissance. 10 au carré égale 100. Et neuf fois 100 égale 900. Trois fois 300 exprimé en écriture scientifique égale neuf fois 10 au carré.

Une autre méthode consisterait à réécrire trois multiplié par 300 comme trois multiplié par trois multiplié par 100. Trois multiplié par trois égale neuf. 100 est 10 à la puissance deux, ou 10 au carré. Encore une fois, on obtient la réponse neuf fois 10 au carré.

Nous allons maintenant voir les points clés de cette vidéo sur l’écriture scientifique. Un nombre exprimé en écriture scientifique est écrit sous la forme 𝑎 multiplié par 10 à la puissance 𝑏. La valeur absolue de 𝑎 doit être strictement inférieure à 10 et supérieure ou égale à un. Et 𝑏 sera un nombre entier positif ou négatif. Il sera positif pour les grands nombres et négatif pour les petits nombres.

Pour exprimer un nombre en écriture scientifique, on détermine d’abord 𝑎 et ensuite 𝑏. 𝑎 est le nombre ayant exactement les mêmes chiffres que le nombre initial mais tel que la valeur absolue de 𝑎 est strictement inférieure à 10 et supérieure ou égale à un. 𝑏 est le nombre de places dont il faut déplacer la virgule de sa position dans 𝑎 à sa position dans le nombre initial. 𝑏 sera positif pour les grands nombres et négatif pour les petits nombres. Par exemple, le nombre 237000 en écriture scientifique est 2,37 fois 10 à la puissance cinq. De la même façon, 0,00067 est 6,7 fois 10 à la puissance moins quatre.

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