Vidéo question :: Déterminer l’équation vectorielle de la droite d’intersection de deux plans Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez l’équation vectorielle de la droite d’intersection des deux plans d’équations trois 𝑥 plus 𝑦 moins cinq 𝑧 égale zéro et 𝑥 plus deux 𝑦 plus 𝑧 plus quatre égale zéro.

Pour trouver l’équation vectorielle de la droite d’intersection de deux plans, nous devons trouver les coordonnées 𝐫 zéro d’un point appartenant à chacun des deux plans et donc à leur droite d’intersection. Il nous faudra ensuite trouver un vecteur directeur non nul 𝐝, colinéaire à la droite. Pour trouver un point appartenant à chacun des deux plans, commençons par choisir une valeur pour une des variables. Choisissons 𝑦 égale zéro. Notez qu’ici, on pourrait choisir n’importe laquelle des trois variables et lui attribuer n’importe quelle valeur, car toute droite de l’espace comporte un nombre infini de points.

En choisissant la valeur d’une variable particulière, comme 𝑦 égale zéro, le point correspondant sur la droite d’intersection aura des valeurs particulières pour les deux autres variables. Donc, avec cette valeur spécifique de 𝑦, à savoir 𝑦 zéro égale zéro, on peut résoudre le couple d’équations des deux plans, d’inconnues 𝑥 zéro et 𝑧 zéro, pour cette valeur 𝑦 égale 𝑦 zéro.

En remplaçant 𝑦 par zéro dans les équations des plans, on voit que la première équation devient trois 𝑥 moins cinq 𝑧 égale zéro. Et la seconde devient 𝑥 plus 𝑧 plus quatre égale zéro. En ajoutant cinq 𝑧 et en divisant par trois la première équation, on obtient 𝑥 égale cinq sur trois 𝑧, qu’on utilise ensuite dans la deuxième équation. En multipliant par trois, puis en regroupant les termes, on obtient huit 𝑧 plus 12 égale zéro. Résolvons ; on trouve 𝑧 égale moins trois sur deux, c’est-à-dire moins 1,5.

En utilisant cette valeur dans l’équation obtenue à partir de 𝑃 un, on trouve que 𝑥 est égal à cinq sur trois multiplié par moins trois sur deux. En simplifiant les trois, on trouve que 𝑥 est égal à moins cinq sur deux, soit 2,5. Et donc, le vecteur position 𝐫 zéro de ce point de la droite a pour coordonnées 𝑥 zéro égale moins 2,5, 𝑦 zéro égale zéro et 𝑧 zéro égale moins 1,5.

Faisons un peu de place ; la prochaine étape est de trouver un vecteur directeur colinéaire à la droite d’intersection. Pour ce faire, on prend le produit vectoriel de deux vecteurs normaux aux deux plans. On peut facilement trouver des vecteurs normaux à partir des équations des plans en utilisant les coefficients des variables de chaque plan. Ainsi, un vecteur normal au plan un a pour coordonnées trois, un et moins cinq. De même, un vecteur normal au plan deux a pour coordonnées un, deux et un. Maintenant, rappelons que le produit vectoriel de deux vecteurs en trois dimensions est le déterminant de la matrice dont la première ligne se compose des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤, et dont les deuxième et troisième lignes sont les coordonnées des deux vecteurs.

En développant selon la première ligne, on trouve le déterminant de dimension deux de un, moins cinq, deux, un, multiplié par 𝐢, moins le déterminant de trois, moins cinq, un, un, multiplié par 𝐣, plus le déterminant de trois, un, un, deux, multiplié par 𝐤. Rappelons que le déterminant d’une matrice deux deux d’éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 vaut 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐, le vecteur directeur 𝐝 vaut donc un moins moins 10 𝐢 moins trois moins moins cinq 𝐣 plus six moins un 𝐤. Ce qui donne 11𝐢 moins huit 𝐣 plus cinq 𝐤. Le vecteur directeur de la droite d’intersection des deux plans a donc pour coordonnées 11, moins huit et cinq.

Faisons de la place, on a maintenant le vecteur position 𝐫 zéro d’un point de la droite d’intersection, et le vecteur directeur 𝐝. Donc, l’équation vectorielle de la droite d’intersection des deux plans est 𝐫 égale le vecteur de coordonnées moins 2,5, zéro, moins 1,5 plus 𝑡 multiplié par le vecteur de coordonnées 11, moins huit et cinq. Notez que le point 𝐫 zéro provient de notre choix de 𝑦 égale zéro. En fait, nous aurions aussi pu choisir une valeur spécifique de 𝑥 ou une valeur spécifique de 𝑧. Ceci aurait donné un autre point 𝐫 zéro, appartenant également à la droite d’intersection.