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Déterminez la mesure de l’angle aigu qui se situe entre la droite dont le vecteur directeur est 𝐫 est égal à un, moins trois et la droite d’équation moins deux 𝑥 moins cinq 𝑦 plus un est égal à zéro en degrés, minutes et seconds d’arc près.
Dans cette question, on nous demande de trouver la mesure de l’angle aigu entre deux droites. Nous devons donner notre réponse en degrés, minutes et seconds d’arc près. Nous pouvons le faire en rappelant la formule pour trouver la mesure de cet angle aigu en degrés. Nous pouvons nous rappeler que si nous avons deux droites de pentes 𝑚 indice un et 𝑚 indice deux, alors l’angle aigu 𝛼 entre les deux droites satisfera l’équation, tangente de 𝛼 est égal à la valeur absolue de 𝑚 indice un moins 𝑚 indice deux divisé par un plus 𝑚 indice un fois 𝑚 indice deux.
Il y a quelques choses à noter à propos de cette formule. Premièrement, si nos deux droites sont parallèles, alors 𝑚 indice un sera égal à 𝑚 indice deux. Ensuite, si les deux droites sont perpendiculaires, l’une des deux choses suivantes peut se produire. Soit 𝑚 indice un et 𝑚 indice deux se multiplieront pour donner moins un, auquel cas nous aurons un zéro au dénominateur de cette expression. Ainsi, tangente de 𝛼 est indéfini, ce qui signifie que 𝛼 est de 90 degrés. Sinin, l’une des droites est verticale, ce qui signifie qu’elle a une pente indéfinie. Nous devons donc vérifier ce cas séparément. Cependant, comme nous le verrons, nous ne devrons pas nous inquiéter des cas limites dans cette question.
Commençons donc par trouver les pentes des deux droites qui nous sont données dans la question. Commençons par la première droite, la droite de vecteur directeur 𝐫 un, moins trois. Nous pouvons déterminer la pente de cette droite directement à partir de son vecteur directeur. Nous pouvons rappeler que si une droite a un vecteur directeur 𝐝 égal à 𝑎, 𝑏, alors la pente 𝑚 de la droite sera égale à 𝑏 divisé par 𝑎. Cela, à condition que 𝑎 soit différent de zéro. Si 𝑎 est égal à zéro, alors notre droite sera verticale. Nous pouvons appliquer cela pour trouver la pente de la droite. 𝑚 indice un sera égal à moins trois sur un, ce qui est égal à moins trois.
Il convient également de noter que nous pouvons le voir directement à partir du vecteur directeur lui-même. Nous notons que le vecteur directeur est parallèle à la droite. Nous pouvons voir que pour chaque unité que nous parcourons vers la droite, nous nous déplaçons de trois unités vers le bas. Ainsi, la variation de 𝑦 par rapport à la variation de 𝑥 est moins trois sur un, ce qui est égal à moins trois.
Nous voulons maintenant déterminer la pente de notre autre droite. Nous pouvons voir que son équation est donnée sous forme générale. Il n’est pas direct de déterminer la pente d’une droite donnée sous forme générale. Ainsi, au lieu de cela, réécrivons cela sous la forme réduite. Nous le faisons en ajoutant d’abord deux 𝑥 aux deux côtés de l’équation et en soustrayant un des deux côtés de l’équation. Cela nous donne moins cinq 𝑦 est égal à deux 𝑥 moins un. Ensuite, nous diviserons l’équation par moins cinq et simplifierons. Nous obtenons que 𝑦 est égal à moins deux cinquièmes de 𝑥 plus un cinquième. Enfin, nous savons que sous la forme réduite, le coefficient de 𝑥 sera la pente. Ainsi, 𝑚 indice deux sera égal à moins deux sur cinq.
Nous pouvons maintenant remplacer ces valeurs des pentes dans notre formule. Cela nous donne tangente de 𝛼 est égale à la valeur absolue de moins trois moins moins deux cinquièmes divisé par un plus moins trois fois moins deux cinquièmes. Maintenant, nous pouvons commencer à évaluer cette expression. D’abord, dans notre numérateur, moins trois moins moins deux cinquièmes donne moins trois plus deux cinquièmes. Nous pouvons calculer cela ; cela donne moins 13 sur cinq. Ensuite, au dénominateur, nous avons un plus moins trois fois moins deux cinquièmes. Moins trois fois moins deux cinquièmes donne six sur cinq puis, nous ajoutons un pour obtenir 11 sur cinq.
Par conséquent, la tangente de 𝛼 est la valeur absolue de moins 13 sur cinq divisé par 11 sur cinq. Nous pouvons simplifier cette équation. Nous pouvons commencer par annuler le facteur commun d’un cinquième au numérateur et au dénominateur. Ensuite, nous pouvons voir que nous prenons la valeur absolue d’un nombre négatif. Ainsi, nous pouvons simplement supprimer le symbole négatif. Cela nous donne 13 divisé par 11. Par conséquent, nous avons montré que la tangente de 𝛼 est égale à 13 divisé par 11. Nous pouvons trouver 𝛼 en prenant la tangente récirproque des deux côtés de l’équation. Nous allons ensuite évaluer cela en libérant de l’espace, puis en vérifiant que notre calculatrice est en mode degrés. 𝛼 est la tangente réciproque de 13 sur 11, ce qui est égal à 49,763 etc. degrés.
Seulement, rappelez-vous, on nous dit dans la question que nous devons donner notre réponse en degrés, minutes et à la seconde près. Cependant, cet angle est uniquement mesuré en degrés. Ainsi, nous allons devoir convertir cet angle en degrés, minutes et secondes. Pour ce faire, nous allons commencer par rappeler qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60 secondes dans une minute. Nous pouvons alors utiliser ceci pour convertir notre angle. Nous allons commencer par noter qu’il y a 49 degrés dans notre angle 𝛼. Cela signifie que nous devons convertir le développement restant en degrés et minutes. Puisque nous avons 0,763 etc. degrés et qu’il y a 60 minutes dans un degré, nous allons devoir multiplier cette valeur par 60.
Lorsque nous faisons ce calcul, il est très important d’utiliser la valeur exacte de notre angle en degrés. Nous pouvons le faire soit en utilisant la fonction de mémoire dans notre calculatrice, soit en utilisant une expression exacte pour cet angle, c’est-à-dire la tangente réciproque de 13 divisé par 11 moins 49. Dans les deux cas, en multipliant 0,763 etc. degrés par 60 nous donne 45,818 etc. minutes. Ainsi, nous avons 45 minutes.
Nous devons maintenant déterminer le nombre de secondes restantes dans cet angle. Nous pouvons le faire en notant que nous avons 0,818 etc. minutes et qu’il y a 60 secondes dans une minute. Ainsi, encore une fois, nous multiplions le développement restant en minutes par 60. Cela convertira l’angle en secondes, où nous utilisons la valeur exacte de cet angle. Cela nous donne 49,110 etc. secondes. On nous dit dans la question que nous devons donner notre réponse à la seconde d’arc près. Nous devons donc arrondir cette valeur. Nous voyons que la première décimale est un, nous arrondissons donc cette valeur vers le bas. Cela nous donne notre réponse finale.
La mesure de l’angle aigu entre la droite de vecteur directeur un, moins trois et la droite d’équation moins deux 𝑥 moins cinq 𝑦 plus un est égale à zéro en degrés, minutes et secondes à la seconde d’arc près est 49 degrés, 45 minutes , et 49 secondes.
