Transcription de la vidéo
Une balle de masse de cinq grammes se déplace sur une trajectoire rectiligne à travers un milieu chargé de poussière. La poussière s’accumule à sa surface à un rythme d’un gramme par seconde. Trouvez l’intensité de la force agissant sur la balle à l’instant 𝑡 égale cinq secondes, étant donné que le déplacement de la balle est exprimé par la relation 𝑠 de 𝑡 égale deux tiers 𝑡 au cube plus 𝑡 au carré plus 7𝑡 plus un 𝑐, où 𝑐 est un vecteur unitaire dans la direction du mouvement et le déplacement est mesurée en centimètres.
On veut déterminer l’intensité de la force qui agit sur la balle à un instant 𝑡 égale cinq secondes. On va appeler l’intensité de cette force 𝐹 majuscule. Pour calculer cette force, on va rappeler la deuxième loi de Newton du mouvement. La deuxième loi de Newton du mouvement est généralement écrite comme la force est égale à la masse d’un objet multipliée par son accélération 𝑎. C’est une expression parfaitement valable de la deuxième loi lorsque la masse ne change pas avec le temps et que la vitesse du mouvement n’est pas relativiste. L’expression la plus générale de la deuxième loi est que la force totale sur un objet est égale au taux de variation par rapport au temps de sa masse multiplié par son vecteur vitesse.
Dans notre scénario, on a une balle qui commence initialement avec une masse de cinq grammes. On appelle cette valeur 𝑚 indice zéro, car la balle prend de la masse en rassemblant de la poussière à chaque seconde. En fait, si l’on écrit la masse de la balle en fonction du temps, elle est égale à sa masse initiale de cinq grammes plus le temps en secondes puisque à chaque seconde qui passe, elle ajoute un gramme de masse.
Donc, dans notre scénario, la masse de notre objet change avec le temps. Et par conséquent, on va utiliser la formulation la plus générale de la deuxième loi. En écrivant cette équation pour notre cas, on voit que l’on connait 𝑚 en fonction de 𝑡, mais on ne connait pas la vitesse 𝑣.
Cependant rappelons-nous que le vecteur vitesse est égal au taux de variation du vecteur position par rapport au temps. Et on nous a donné le vecteur de position pour notre balle. Cela signifie que l’on peut prendre le taux de variation de la position par rapport au temps et le substituer à la place de 𝑣 dans notre équation. Lorsque l’on prend le taux de variation par rapport au temps ou la dérivée par rapport au temps de notre fonction de la position, on obtient comme résultat deux 𝑡 au carré plus deux 𝑡 plus sept dans la direction 𝑐 chapeau. C’est l’expression de 𝑣 que l’on va mettre dans notre équation pour calculer 𝐹.
Mais avant cela, on multiplie 𝑣 par 𝑚 en fonction de 𝑡, la masse de notre balle, afin que l’on puisse insérer cette expression entièrement dans notre équation pour 𝐹. On a découvert précédemment que notre masse en fonction du temps est égale à cinq plus 𝑡 grammes.
Lorsque l’on multiplie ce terme par la vitesse, en négligeant les unités pour le moment et en regroupant les puissances identiques en 𝑡, on constate que ce produit est deux 𝑡 au cube plus 12𝑡 au carré plus 17𝑡 plus 35. C’est 𝑚 en fonction de 𝑡 fois la vitesse de la particule 𝑣. C’est donc cette expression que l’on va mettre entre les parenthèses pour prendre la dérivée par rapport au temps pour calculer 𝐹.
On est prêts à prendre une autre dérivée par rapport au temps. Et lorsque l’on le fait, on obtient six 𝑡 au carré plus 24𝑡 plus 17. On est presque là, mais ce n’est pas tout à fait le résultat que l’on cherche.
On veut calculer la force 𝐹 pour une valeur particulière de 𝑡 - c’est-à-dire lorsque 𝑡 est égal à cinq secondes. Alors on va placer cette valeur particulière pour 𝑡 pour calculer la force à cet instant.
En faisant cela, lorsque l’on calcule 𝐹, on trouve que son intensité est de 287. Et l’unité est dynes. C’est l’intensité de la force que la balle subit à l’instant 𝑡 égale cinq secondes.
