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Que vaut un plus 𝑖 à la puissance 10 ?
Nous voulons éviter d’étendre ces parenthèses en utilisant un développement binomial. En fait, rappelons le théorème de De Moivre. Le théorème de De Moivre s’applique aux nombres sous forme exponentielle et trigonométrique. Considérons la forme exponentielle.
Si 𝑧 égale 𝑟 exponentielle de 𝑖𝜃 alors 𝑧 à la puissance 𝑛 égale à 𝑟 à la puissance 𝑛 exponentielle de 𝑖𝑛𝜃. Donc, si on réussit à lettre notre nombre complexe, un plus 𝑖, sous forme exponentielle, on peut appliquer le théorème de De Moivre pour calculer un plus 𝑖 à la puissance 10.
On peut convertir un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖 sous forme exponentielle en utilisant la formule 𝑟 exponentielle 𝑖𝜃, où 𝑟, le module, est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Et 𝜃, l’argument, est l’arc tangente ou la réciproque de la tangente de 𝑏 sur 𝑎. Dans ce cas, un plus 𝑖, 𝑎 est la constante. C'est un. Et 𝑏 est le coefficient de 𝑖. C’est également un.
On peut donc déterminer le module de notre nombre complexe en calculant la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, qui est la racine carrée de un au carré plus un au carré. Le module vaut donc racine deux. Et l’argument est la réciproque de la tangente ou l’arc tangente de un sur un, ce qui donne 𝜋 sur quatre. Nous pouvons donc conclure que notre nombre complexe, un plus 𝑖, est identique à racine de deux exponentielle 𝜋 sur quatre 𝑖.
Et maintenant, on applique directement le théorème de De Moivre. Le module sera racine de deux à la puissance 10. Et l’argument est obtenu en multipliant 𝜋 sur quatre par 10. Or, si on considère que la racine de deux est deux à la puissance un demi, on peut donc dire que racine de deux à la puissance 10 est égale à deux à la puissance un demi à la puissance 10. Et on sait qu’il faut multiplier ces puissances. Donc, c’est deux à la puissance cinq, ce qui est égal à 32. Et 10 fois 𝜋 sur quatre égale 10𝜋 sur quatre ou cinq 𝜋 sur deux.
On a maintenant le module et l’argument du nombre complexe, un plus 𝑖 à la puissance 10. Comment remettre cela sous forme algébrique ? On utilise la forme trigonométrique d'un nombre complexe. On a ces deux formules. 𝑎 égale 𝑟 cos 𝜃. Et 𝑏 égale 𝑟 sin 𝜃.
Dans ce cas, 𝑎 est égal à 32 cosinus de cinq 𝜋 sur deux. Et 𝑏 est égal à 32 sinus de cinq 𝜋 sur deux. Cos cinq 𝜋 sur deux égale zéro. Donc 𝑎 est nul. Et sin cinq 𝜋 sur deux égale un. Donc 𝑏 égale 32.
Et comme nous avons vu précédemment que 𝑏 est le coefficient de 𝑖, on peut dire que un plus 𝑖 à la puissance 10 égale 32𝑖.