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Vidéo de la leçon : Division de polynômes sans reste Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à effectuer les divisions de polynômes.

16:35

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment effectuer une division avec des polynômes.

Un polynôme — c’est une expression qui implique des termes avec des puissances positives entières — peut parfois être divisé en utilisant des méthodes simples comme la factorisation. Mais si ces méthodes ne marchent pas, nous pouvons alors utiliser la division posée. Ce processus ressemble beaucoup à celui de la division posée avec des nombres. Commençons donc par rappeler comment nous effectuons une division posée avec des nombres.

Calculez 3531 divisé par 11.

Dans cette question, le nombre 3531 est appelé le dividende et le nombre 11 est le diviseur. Le résultat que nous obtenons lorsque nous effectuons cette division est appelé le quotient. Nous allons résoudre ce problème en utilisant une sorte de technique appelée « arrêt de bus ». Comme nous le voyons, le dividende va à l’intérieur de l’arrêt de bus et le nombre 11 va à l’extérieur. La première chose que nous faisons est de diviser le premier chiffre de 3531 par 11. Trois divisé par 11, c’est zéro. Nous plaçons donc un zéro au-dessus du trois, et tout reste à ce stade est négligé. Nous prenons ensuite ce nombre, zéro, et nous le multiplions par le diviseur. Zéro multiplié par 11 égale zéro. Nous plaçons donc un zéro sous le trois.

Ensuite, nous soustrayons les chiffres de cette colonne. Trois moins zéro, c’est trois. Ensuite, nous faisons descendre le chiffre cinq. Nous pouvons, si nous le voulons, faire descendre tous les chiffres. Mais le premier chiffre est suffisant. Et maintenant, nous divisons 35 par 11. 35 divisé par 11, c’est trois, le reste est deux. Nous négligeons le reste pour l’instant et nous ajoutons la réponse du nombre entier au-dessus du cinq. Maintenant, nous multiplions ce nombre trois par 11. Trois fois 11 donne 33. Donc, nous mettons 33 sous 35. Et encore une fois, nous soustrayons. 35 moins 33 font deux. Maintenant, nous faisons descendre le trois, et nous divisons 23 par 11. La solution en nombre entier est deux. Bien sûr, il y a un reste, mais nous le négligeons.

Maintenant, nous multiplions ce deux par 11 pour obtenir 22. Nous inscrivons ce 22 sous le 23, puis nous soustrayons à nouveau. 23 moins 22 font un. Et ainsi, nous faisons descendre le dernier chiffre. Et la dernière chose que nous faisons est de diviser 11 par 11. 11 divisé par 11 est un. Donc, nous ajoutons un au-dessus de celui de notre dividende. Enfin, nous multiplions ce chiffre par 11. Cette étape peut ne pas sembler nécessaire, mais nous la faisons pour vérifier si nous avons un reste. Un multiplié par 11 donne 11. Et lorsque nous soustrayons 11 de 11, nous obtenons zéro. Si cette réponse est zéro, cela nous indique qu’il n’y a pas de reste. 11 est un diviseur de 3531. Et lorsque nous divisons 3531 par 11, nous obtenons 321.

Nous allons maintenant voir comment ça se passe lorsque nous effectuons une division polynomiale ; c’est la division des expressions algébriques.

Trouvez le quotient lorsque deux 𝑥 au cube plus sept 𝑥 au carré moins huit 𝑥 moins 21 est divisé par deux 𝑥 plus trois.

Un quotient est le résultat que nous obtenons en divisant un nombre par un autre. Il en va de même pour les expressions algébriques. Nous allons donc diviser cette expression de troisième degré par cette expression linéaire. Le dividende – c’est le nombre que nous allons diviser, et ici c’est l’expression cubique – va à l’intérieur de l’arrêt de bus. Le diviseur, c’est-à-dire deux 𝑥 plus trois, va à l’extérieur. Cela ressemble beaucoup à une division avec des nombres. Mais au lieu de diviser chiffre par chiffre, nous divisons terme par terme.

Nous allons commencer par diviser deux 𝑥 au cube par le terme ayant la plus grande puissance de 𝑥 dans notre diviseur, donc deux 𝑥 au cube divisé par deux 𝑥. Récapitulons que pour diviser deux 𝑥 au cube par deux 𝑥, nous simplifions en divisant par deux. Et puis si nous considérons 𝑥 comme étant 𝑥 à la puissance un, nous savons que lorsque nous divisons des termes algébriques ayant la même base, nous soustrayons simplement leurs puissances. Ainsi, nous obtenons 𝑥 à la puissance trois divisé par 𝑥 à la puissance un comme étant 𝑥 au carré. 𝑥 au carré se situe au-dessus de deux 𝑥 au cube dans nos calculs.

Maintenant, nous prenons ce 𝑥 au carré, et nous le multiplions par chaque partie de notre diviseur. Deux 𝑥 fois 𝑥 au carré donne deux 𝑥 au cube, et trois fois 𝑥 au carré donne trois 𝑥 au carré. Nous allons maintenant soustraire chaque terme de cette expression deux 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré de deux 𝑥 au cube plus sept 𝑥 au carré. Deux 𝑥 au cube moins deux 𝑥 au cube est zéro. Et c’est un bon moyen de vérifier que le calcul précédent que nous avons fait est probablement correct. Sept 𝑥 au carré moins trois 𝑥 au carré est quatre 𝑥 au carré. Nous n’avons pas vraiment besoin de ce zéro ici, mais ce que nous devons faire, c’est de faire descendre le terme suivant de notre dividende. Nous allons faire descendre moins huit 𝑥.

Maintenant, nous allons diviser quatre 𝑥 au carré par deux 𝑥. Nous pouvons simplifier en divisant par deux. Et puis, encore une fois, si nous considérons 𝑥 comme étant 𝑥 à la puissance un, nous soustrayons les puissances et nous obtenons deux 𝑥. Donc, deux 𝑥 va au-dessus de sept 𝑥 au carré. Maintenant, nous multiplions deux 𝑥 par chaque terme de notre diviseur. Deux 𝑥 fois deux 𝑥 nous donne quatre 𝑥 au carré. Ensuite, trois fois deux 𝑥 nous donne six 𝑥. Une fois de plus, nous effectuons quelques soustractions. Quatre 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 au carré donne zéro. Bien que nous n’ayons pas vraiment besoin d’écrire cela.

Ensuite, nous prenons moins huit 𝑥, et nous soustrayons six 𝑥. Soustraire un nombre positif équivaut à soustraire six 𝑥. Nous obtenons donc moins 14𝑥. Enfin, nous descendons notre tout dernier terme. C’est moins 21. Maintenant, nous divisons moins 14𝑥 par deux 𝑥. Cette fois, les 𝑥 s’annulent, et nous obtenons moins 14 divisé par deux, ce qui donne moins sept. Et donc, nous mettons moins sept au-dessus du moins huit 𝑥. Et nous y sommes presque ; nous allons maintenant multiplier moins sept par chaque terme de notre diviseur. Moins sept fois deux 𝑥 plus trois, c’est moins 14𝑥 moins 21.

Maintenant, nous devrions toujours effectuer cette soustraction finale. Ainsi nous saurons si nous avons un reste ou non. Moins 14𝑥 moins moins 14𝑥 est la même chose que moins 14𝑥 plus 14𝑥, soit zéro. Moins 21 moins moins 21 égale aussi zéro. Et donc, le reste en divisant notre expression cubique par deux 𝑥 plus trois est égal à zéro. Le quotient lorsque nous effectuons cette division est 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins sept.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment la division de polynômes, comme celle que nous venons d’effectuer, peut nous aider à simplifier les fractions.

Utilisez la division de polynômes pour simplifier six 𝑥 au cube plus cinq 𝑥 au carré moins 20𝑥 moins 21 sur deux 𝑥 plus trois.

Une des méthodes dont nous disposons pour simplifier les fractions algébriques consiste à factoriser si nécessaire. Il n’est pas simple de factoriser cette expression cubique au numérateur. Nous allons donc plutôt rappeler que cette barre dans une fraction signifie en fait diviser. Et nous allons utiliser la division de polynômes. Notre dividende, qui est le numérateur de notre fraction, va à l’intérieur de l’arrêt de bus. Le diviseur, c’est le dénominateur, et va à l’extérieur.

Et ensuite, nous nous rappelons que la première chose que nous faisons est de prendre le premier terme de notre dividende, c’est-à-dire six 𝑥 au cube, et de le diviser par le premier terme de notre diviseur, c’est-à-dire deux 𝑥. Six divisé par deux, ça fait trois. Ensuite, si nous considérons 𝑥 comme étant 𝑥 à la puissance un, nous savons que nous pouvons soustraire ces puissances. Et 𝑥 au cube divisé par 𝑥 à la puissance un est 𝑥 au carré. Cela signifie que six 𝑥 au cube divisé par deux 𝑥 est trois 𝑥 au carré.

Notre étape suivante consiste à multiplier trois 𝑥 au carré par chaque terme de notre diviseur. Trois 𝑥 au carré multiplié par deux 𝑥 égale à six 𝑥 au cube. Notez que c’est le même que le premier terme de notre dividende, nous savons donc que nous avons probablement commencé correctement. Nous calculons alors trois fois trois 𝑥 au carré. Cela fait neuf 𝑥 au carré. Notre étape suivante consiste à soustraire six 𝑥 au cube plus neuf 𝑥 au carré de six 𝑥 au cube plus cinq 𝑥 au carré. Six 𝑥 au cube moins six 𝑥 au cube, c’est zéro. Nous n’avons pas vraiment besoin d’écrire ce zéro. Et puis, cinq 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 au carré est moins quatre 𝑥 au carré. On fait descendre le terme suivant. Certaines personnes font descendre tous les termes, mais je préfère garder les choses un peu plus simples.

Et nous allons maintenant diviser moins quatre 𝑥 au carré par deux 𝑥. Moins quatre divisé par deux, c’est moins deux. 𝑥 au carré divisé par 𝑥 à la puissance un est 𝑥. Donc, moins quatre 𝑥 au carré divisé par deux 𝑥 est moins deux 𝑥. Et nous ajoutons moins deux 𝑥 au-dessus de cinq 𝑥 au carré dans notre problème. Maintenant, nous multiplions moins deux 𝑥 par chaque terme de notre diviseur. Deux 𝑥 fois moins deux 𝑥 sont moins quatre 𝑥 au carré, et moins deux 𝑥 fois trois donne moins six 𝑥.

Nous soustrayons ensuite chacun de ces termes de moins quatre 𝑥 au carré moins 20𝑥. Moins quatre 𝑥 au carré moins moins quatre 𝑥 au carré est moins quatre 𝑥 plus quatre 𝑥 au carré. C’est donc zéro, et nous n’avons pas vraiment besoin d’écrire cela. Nous faisons alors moins 20𝑥 moins mois six 𝑥. C’est moins 20𝑥 plus six 𝑥, ce qui donne moins 14𝑥. Nous faisons descendre moins 21. Et nous allons maintenant diviser moins 14𝑥 par deux 𝑥. 𝑥 divisé par 𝑥 donne un. Nous obtenons donc moins 14 divisé par deux, ce qui donne moins sept. Donc, nous ajoutons ici moins sept. Et une fois de plus, nous divisons ce nombre par chaque terme de notre diviseur. Moins sept fois deux 𝑥 est moins 14𝑥, et moins sept fois trois est moins 21.

Nous faisons une dernière soustraction, et c’est une étape vraiment importante à faire parce qu’elle nous indique s’il y a un reste ou non. En fait, moins 14𝑥 moins 21 moins lui-même est juste zéro. Et donc, nous avons terminé la division. Lorsque nous simplifions notre fraction algébrique, il nous reste trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins sept.

Maintenant, à ce stade, il est vraiment utile de parler brièvement de la façon dont nous pourrions vérifier notre solution. Nous effectuons une opération inverse. Nous prenons notre quotient, ici c’est la solution de la division, et nous le multiplions par le diviseur, en nous rappelant, bien sûr, que le diviseur est l’expression algébrique par laquelle nous divisons ici. Nous multiplions trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins sept par deux 𝑥 plus trois. Et lorsque nous le faisons, nous devrions obtenir le numérateur, ou le dividende.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment utiliser la division posée de polynômes pour trouver les termes manquants.

Trouvez la valeur de 𝑘 qui rend l’expression 30𝑥 à la puissance cinq plus 57𝑥 au carré moins 48𝑥 au cube moins 20𝑥 à la puissance quatre plus 𝑘 divisible par cinq 𝑥 au carré moins huit.

Maintenant, pour que cette expression soit divisible par cinq 𝑥 au carré moins huit, cela nous indique que cinq 𝑥 au carré moins huit en est un diviseur. Si c’est le cas, alors lorsque nous effectuons la division, nous ne devrions avoir aucun reste, ou un reste de zéro. Alors, faisons la division posée. Maintenant, si nous regardons attentivement notre expression, nous voyons que les termes semblent être dans un ordre un peu bizarre. Ils sont généralement écrits avec les puissances de 𝑥 dans l’ordre décroissant. Et donc, nous pourrions les réarranger et les écrire comme 30𝑥 à la puissance cinq moins 20𝑥 à la puissance quatre, et ainsi de suite. En procédant de cette façon, nous allons rendre le problème un peu plus facile, mais cela va paraître un peu étrange.

Commençons comme d’habitude. Nous divisons le terme dans notre dividende avec la puissance la plus élevée de 𝑥 par le terme dans le diviseur, aussi avec la puissance la plus élevée de 𝑥. 30 divisé par cinq donne six. Ensuite, lorsque nous divisons des nombres dont les bases sont identiques, nous soustrayons leurs exposants. Ainsi, 𝑥 à la puissance cinq divisé par 𝑥 au carré est 𝑥 à la puissance cinq moins deux, qui est 𝑥 au cube. Cela signifie que 30𝑥 à la puissance cinq divisé par cinq 𝑥 au carré est six 𝑥 au cube. Et donc, nous écrivons six 𝑥 au cube au-dessus de ce terme. Nous multiplions maintenant cette valeur par chaque terme de notre diviseur. Six 𝑥 au cube fois cinq 𝑥 au carré nous donne 30𝑥 à la puissance cinq. Et ensuite, lorsque nous multiplions six 𝑥 au cube par moins huit, nous obtenons moins 48𝑥 au cube.

Maintenant, nous allons aligner cela directement sous les termes avec 𝑥 au cube. Et nous allons ajouter un autre terme ; nous allons ajouter zéro 𝑥 à la puissance quatre. Ce n’est pas tout à fait nécessaire, mais cela peut faciliter un peu le suivi des événements. Notre prochaine étape consiste à diviser chacun de ces trois termes par les termes correspondants ci-dessus. 30𝑥 à la puissance cinq moins 30𝑥 à la puissance cinq égale zéro. Moins 20𝑥 à la puissance quatre moins zéro 𝑥 à la puissance quatre est moins 20𝑥 à la puissance quatre. Et moins 48𝑥 au cube moins moins 48𝑥 au cube est zéro.

Ensuite, on fait descendre 57𝑥 au carré. Et nous allons maintenant diviser moins 20𝑥 à la puissance quatre par cinq 𝑥 au carré. Moins 20 divisé par cinq est moins quatre, et 𝑥 à la puissance quatre divisé par 𝑥 au carré est juste 𝑥 au carré. Et donc, lorsque nous faisons cette division, nous obtenons moins quatre 𝑥 au carré. Et c’est le terme suivant dans notre quotient. N’oubliez pas que chaque fois que nous trouvons un terme dans notre quotient, nous le multiplions par chaque partie du diviseur. Donc, nous allons calculer moins quatre 𝑥 au carré fois cinq 𝑥 au carré, ce qui donne moins 20𝑥 à la puissance qautre.

Lorsque nous multiplions moins huit par moins quatre 𝑥 au carré, nous obtenons 32𝑥 au carré. Nous pouvons donc aligner cela directement sous 57𝑥 au carré. Et ensuite, nous soustrayons chacun de ces termes aux termes juste en-dessus. Moins 20𝑥 à la puissance quatre moins moins 20𝑥 à la puissance quatre égale à zéro. Alors, 57𝑥 au carré moins 32𝑥 au carré est 25𝑥 au carré. Et nous y sommes presque. Nous faisons descendre le dernier terme ; c’est le 𝑘.

Ne vous inquiétez pas trop du fait que nous ne savons pas encore ce qu’est 𝑘. N’oubliez pas que nous recherchons un reste de zéro. Nous allons diviser 25𝑥 au carré par cinq au carré. Eh bien, 25 divisé par cinq, c’est cinq, et 𝑥 au carré divisé par 𝑥 au carré, c’est un. Donc, le dernier terme de notre quotient est cinq. Nous prenons ce cinq et nous le multiplions par cinq 𝑥 au carré et par moins huit. Et cela nous donne 25𝑥 au carré moins 40.

Maintenant, nous savons que puisque nous soustrayons les deux derniers termes, nous allons obtenir un reste de zéro. Donc, 25𝑥 au carré plus 𝑘 moins 25𝑥 au carré moins 40 doit nous donner zéro. Eh bien, 25𝑥 au carré moins 25𝑥 au carré est aussi égal à zéro. Et donc, pour que notre reste soit égal à zéro, et que notre expression soit divisible par cinq 𝑥 au carré moins huit, nous pouvons dire que 𝑘 moins moins 40 doit lui-même être égal à zéro. 𝑘 moins moins 40 est, bien sûr, 𝑘 plus 40.

Soustrayons donc 40 des deux côtés pour déterminer 𝑘. Cela nous donne 𝑘 égale moins 40. Et donc, la valeur de 𝑘 qui rend notre expression divisible par cinq 𝑥 au carré moins huit est 𝑘 égale moins 40. Notez qu’à ce stade, nous pourrions multiplier notre quotient. Cela donne six 𝑥 au cube moins quatre 𝑥 au carré plus cinq par cinq 𝑥 au carré moins huit. Si nous avions effectué le calcul correctement, alors nous obtiendrions l’expression 30𝑥 à la puissance cinq plus 57𝑥 au carré moins 48𝑥 au cube moins 20𝑥 à la puissance quatre moins 40.

Nous allons maintenant récapituler certains points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons vu que pour effectuer une division posée de polynômes, nous effectuons un processus similaire à ce que nous faisons avec des nombres. Au lieu de diviser chaque chiffre à tour de rôle, nous divisons en fait chaque terme à tour de rôle. Nous avons aussi vu que si nous obtenons un reste de zéro, en d’autres termes, notre toute dernière soustraction donne zéro, alors le diviseur est un facteur du dividende. En d’autres termes, le dividende est exactement divisible par le diviseur. Et enfin, nous avons vu que nous pouvons vérifier tout calcul de division en utilisant des opérations inverses. En d’autres termes, nous prenons le quotient, c’est notre résultat, et nous le multiplions par le diviseur, c’est l’expression algébrique par laquelle nous divisons. Si nous obtenons le dividende, alors nous savons que nous avons effectué notre calcul correctement.

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