Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le volume des prismes
rectangulaires et des cubes à partir de leurs dimensions, et à résoudre des
problèmes impliquant des situations réelles. Nous allons voir ce que nous entendons par « volume », et comment les propriétés des
prismes rectangulaires et des cubes peuvent nous aider à déduire et à utiliser une
formule pour leur volume.
Notre première question est donc, qu’est-ce qu’un prisme ? Un prisme est une forme tridimensionnelle à section transversale constante. En d’autres termes, la section transversale a la même forme et la même taille sur
toute sa longueur. Un prisme triangulaire, par exemple, a une section transversale triangulaire. Je pourrais couper ici ou ici, et la taille et la forme de ce triangle resteraient
les mêmes. De même, un cylindre a une section transversale constante ; c’est un cercle. Maintenant, nous nous intéressons aux prismes rectangulaires, comme celui-ci, et aux
cubes. Un cube est simplement un prisme rectangulaire dont les dimensions sont toutes les
mêmes. Nous remarquons que ses faces — c’est-à-dire les surfaces planes de la figure — sont
toutes carrées.
Dans cette vidéo, nous apprenons à calculer le volume de ces formes. Le volume d’une forme est une mesure de son espace tridimensionnel total. Et la façon la plus simple de mesurer l’espace tridimensionnel est de considérer le
nombre d’unités cubiques que contient une forme. Une unité cubique est simplement un cube qui mesure une unité par une unité par une
unité. Voyons un exemple.
Déterminez le volume du pavé droit.
Le volume d’un pavé droit ou d’un prisme rectangulaire est une mesure de son espace
tridimensionnel. Nous pouvons calculer le volume en considérant le nombre de cubes unitaires que
contient la forme. Dans ce cas, nous voyons que notre pavé droit est divisé en cubes qui mesurent un
centimètre par un centimètre par un centimètre. C’est un centimètre cube. Et une méthode consiste à les compter simplement, en commençant par l’avant de notre
forme. Ici, nous avons un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, 10, 11, 12, 13,
14, 15 cubes. Mais y a-t-il un moyen plus rapide de calculer cela ? Eh bien, oui ! Nous avons cinq rangées, chacune contenant trois cubes. Donc, nous aurions pu simplement multiplier cinq et trois pour voir qu’il y a 15
cubes sur le devant de notre forme.
Nous regardons maintenant la profondeur de notre forme. Elle est de deux centimètres. Cela signifie que nous avons essentiellement deux parties identiques, chacune
contenant 15 cubes. Le volume est donc de 15 multiplié par deux, ce qui donne 30. Maintenant, chaque cube est un centimètre cube. Donc, le volume total de notre pavé droit est de 30 centimètres cubes. Mais y a-t-il un moyen plus rapide de le faire ? Eh bien, oui. Plutôt que de compter les cubes, nous avons vu que nous pouvons multiplier cinq par
trois, et ensuite multiplier cela par deux.
En d’autres termes, nous pouvons multiplier la largeur par la hauteur par la
longueur, et c’est la formule pour le volume d’un prisme rectangulaire ou d’un pavé
droit. C’est le produit de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur. Dans ce cas, c’était cinq fois trois fois deux. Mais souvenez-vous, la multiplication est commutative. Nous pouvons donc faire cela dans n’importe quel ordre et obtenir la même réponse,
soit 30 centimètres cubes.
Voyons maintenant comment nous pouvons utiliser cette formule pour résoudre les
problèmes impliquant le volume des prismes rectangulaires et des cubes.
Lequel des éléments suivants décrit comment le volume d’un prisme rectangulaire est
affecté après avoir doublé ses trois dimensions ? Est-ce que (A) 𝑉 indice nouveau est égal à six fois 𝑉 indice initial ? (B) 𝑉 nouveau est égal à 𝑉 initial au carré. (C) 𝑉 nouveau est égal à deux fois 𝑉 initial. (D) 𝑉 nouveau est égal à quatre fois 𝑉 initial. Ou (E) 𝑉 nouveau est égal à huit fois 𝑉 initial.
Pour répondre à cette question, nous commençons par rappeler la formule pour le
volume d’un prisme rectangulaire. Le volume 𝑉 d’un prisme rectangulaire est le produit de sa longueur, de sa largeur
et de sa hauteur. Donc, disons que le volume de notre forme initiale est 𝑉 initial. Il s’agit de 𝑤𝑙ℎ. Bien sûr, nous pouvons faire cela dans n’importe quel ordre. Nous pourrions donc écrire 𝑙𝑤ℎ ou n’importe quelle autre combinaison. Nous allons maintenant prendre notre prisme rectangulaire initial et doubler toutes
ses dimensions.
La hauteur de notre nouvelle forme est de deux fois ℎ, c’est-à-dire deux ℎ. La largeur est maintenant de deux fois 𝑤. C’est deux 𝑤. Et la longueur est deux fois 𝑙. Cela fait deux fois 𝑙. Nous pouvons donc maintenant calculer le volume de la nouvelle forme. C’est toujours le produit de toutes ses dimensions, mais cette fois-ci, c’est deux
fois 𝑤 fois deux fois 𝑙 fois deux ℎ. Lorsque nous multiplions des expressions algébriques, comme celle-ci, nous commençons
par multiplier les nombres. Et donc, deux fois deux fois deux font huit. Et le nouveau volume est huit 𝑤𝑙ℎ.
Nous comparons maintenant le volume initial au nouveau volume. Et puisque le volume initial est 𝑤𝑙ℎ et le nouveau volume est huit fois cela, donc
cela signifie que le nouveau volume est huit fois le volume initial. La bonne réponse est donc (E) 𝑉 indice nouveau est égal à huit fois 𝑉 indice
initial.
Nous allons maintenant voir comment utiliser la formule pour le volume d’un prisme
rectangulaire dans un contexte réel.
Un homme a besoin de stocker 16 170 centimètres cubes de riz dans un récipient. Il a une boîte qui a la forme d’un pavé droit de dimensions 35 centimètres, 22
centimètres et 21 centimètres, et une autre boîte qui a la forme d’un un cube de 22
centimètres de long. Quelle boîte doit-il utiliser ?
Rappelez-vous que la mesure de la capacité ou de la quantité d’espace que contient
une forme tridimensionnelle est le volume. Et la formule pour le volume d’un prisme rectangulaire ou d’un pavé droit est la
largeur fois la hauteur fois la longueur. En gros, c’est le produit de ses trois dimensions. Nous pouvons calculer ce produit dans n’importe quel ordre. Nous avons également un cube dans cette question, mais un cube est simplement un pavé
droit dont les dimensions sont toutes égales. Et donc, le volume d’un cube est simplement la longueur d’une de ses arêtes au
cube. Donc, nous allons commencer par calculer le volume de chaque forme.
Les dimensions du pavé droit sont de 35 centimètres, 22 centimètres et 21
centimètres. Donc, le volume est de 35 fois 22 fois 21, soit 16 170. Maintenant, nous multiplions les centimètres par les centimètres par les
centimètres. Et donc, les unités ici sont des centimètres cubes. En fait, c’est exactement la même valeur que la quantité de riz que l’homme veut
stocker. Mais vérifions le volume du cube.
Cette fois, la longueur de chaque arête est de 22 centimètres. Et donc, le volume de notre cube est de 22 fois 22 fois 22, ou 22 cubes. Cela nous donne un volume de 10 648 centimètres cubes. Ce sera en effet trop petit, alors il devra utiliser le pavé droit pour stocker le
riz.
Dans notre question suivante, nous allons voir comment calculer le volume d’un prisme
rectangulaire à partir de l’aire d’une de ses faces.
Le pavé droit 𝐴 a des dimensions de 56 centimètres, 40 centimètres et 34
centimètres. Le pavé droit 𝐵 a une aire de base de 2904 centimètres carrés et une hauteur de 36
centimètres. Quel pavé droit a le plus grand volume ?
Nous commençons par rappeler la formule pour le volume d’un prisme rectangulaire ou
d’un pavé droit. C’est le produit de ses trois dimensions. Nous pourrions l’écrire comme largeur fois hauteur fois longueur, dans n’importe quel
ordre. Et ainsi, nous pouvons calculer le volume du pavé droit 𝐴 assez facilement. C’est 56 fois 40 fois 34, ce qui donne 76160. Nos unités sont les centimètres, donc les unités pour le volume sont les centimètres
cubes. Mais qu’en est-il du volume du pavé droit 𝐵 ?
Eh bien, nous allons revenir à notre formule pour le volume d’un pavé droite. Et comme la multiplication est commutative, nous savons que nous pouvons la faire
dans n’importe quel ordre. Donc, nous pouvons réécrire cela comme la largeur fois la longueur fois la
hauteur. Mais, bien sûr, la largeur multipliée par la longueur nous donne l’aire d’un
rectangle. Dans ce cas, c’est l’aire de la base de notre pavé droit. Et donc, nous pouvons aussi dire que le volume d’un pavé droit est égal à l’aire de
sa base multipliée par sa hauteur, où la hauteur est le côté perpendiculaire à la
base.
On dit aussi parfois que le volume d’un pavé droit est égal à l’aire de sa section
transversale multipliée par sa longueur ou sa hauteur. On peut donc calculer le volume du pavé droit 𝐵 en multipliant 2 904 — c’est la
surface de sa base — par sa hauteur qui est 36. Cela nous donne 104544 centimètres cubes. On voit bien que 76160 est inférieur à 104544, ce qui signifie que le pavé droit 𝐵
a un plus grand volume.
Nous allons maintenant voir comment utiliser les informations sur le volume pour
résoudre des problèmes dans un contexte réel.
Sachant que 405 centimètres cubes d’eau sont versés dans un réservoir en forme de
prisme rectangulaire de base carrée dont la longueur du côté est de neuf
centimètres, trouvez la hauteur de l’eau dans le réservoir.
Dans cette question, on nous donne quelques informations sur le volume d’eau versée
dans un réservoir en forme de prisme rectangulaire. Ce réservoir a une base carrée dont la longueur du côté est de neuf centimètres. Alors, faisons un croquis. Voici ce réservoir. Maintenant, nous ne savons pas quelle est la hauteur de l’eau dans le réservoir
lorsqu’elle y est versée. Alors, appelons ça ℎ centimètres. Nous savons que la quantité d’espace que cela occupe en trois dimensions est de 405
centimètres cubes. Et nous savons aussi que c’est le volume. Et le volume d’un pavé droit est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur
perpendiculaire.
Maintenant, nous pouvons calculer l’aire de la base de notre réservoir. C’est simplement un carré. Donc, son aire est égale à neuf fois neuf, ce qui donne 81. Nous travaillons en centimètres. Donc, l’aire de la base de notre réservoir est de 81 centimètres carrés. En fait, nous savons aussi que le volume de notre eau est de 405 centimètres
cubes. Et nous avons dit que sa hauteur est égale à ℎ.
Nous pouvons donc former une équation pour ℎ. Nous pouvons dire que 405, souvenez-vous, c’est le volume, est égal à l’aire de la
base, c’est-à-dire 81, fois ℎ ou 405 égale 81ℎ. Nous voulons résoudre pour ℎ. Donc, nous allons diviser les deux côtés de notre équation par 81. Cela nous donne ℎ est égal à cinq. Et nous pouvons donc dire que la hauteur de l’eau dans le réservoir est de cinq
centimètres.
Dans notre tout dernier exemple, nous allons voir comment il faut être prudent en
traitant les différentes unités de notre question.
Déterminez le volume du pavé droit.
Nous rappelons que le volume d’un pavé droit ou d’un prisme rectangulaire est le
produit de ses trois dimensions. Donc, c’est sa largeur fois sa longueur fois sa hauteur. Il faut donc être très prudent. On nous dit que la largeur de notre pavé droit est de 0.5 mètre et que sa longueur
est de quatre mètres. Cependant, sa hauteur est de 85 centimètres. Les unités sont différentes des autres dimensions. Et donc, avant de calculer le volume, nous allons nous assurer que toutes nos unités
sont les mêmes.
Nous pouvons le faire de deux façons. Nous pourrions convertir toutes nos mesures en centimètres et donner notre volume en
centimètres cubes, ou convertir nos mesures en mètres et donner notre volume en
mètres cubes. Nous allons voir les deux exemples. Nous savons qu’il y a 100 centimètres dans un mètre. Et donc, pour convertir les mètres en centimètres, nous multiplions par 100. 0.5 mètre, c’est 0.5 fois 100, soit 50 centimètres. De même, quatre mètres sont quatre fois 100, ce qui fait 400 centimètres. Le volume, donc, de notre pavé droit en centimètres cubes est 50 fois 400 fois 85,
soit 1700000 centimètres cubes.
Et maintenant, voyons ce qui se passe lorsque nous calculons le volume en mètres
cubes. Cette fois, pour passer des centimètres aux mètres, nous allons diviser par 100. Donc, 85 centimètres, c’est 85 divisé par 100, soit 0.85 mètre. En mètres cubes, notre volume est donc de 0.5 fois quatre fois 0.85, ce qui nous
donne un volume de 1.7 mètre cube. Et donc, nous avons calculé le volume de notre pavé droit en centimètres cubes et en
mètres cubes.
Une erreur courante est de penser que pour convertir entre centimètres cubes et
mètres cubes, nous multiplions ou divisons par 100. On voit bien que ce n’est pas le cas ici. En fait, pour convertir des centimètres cubes en mètres cubes, on divise par 100. Et pour convertir dans l’autre sens, on multiplie par 100 cubes.
Dans cette vidéo, nous avons appris qu’un prisme rectangulaire est un solide qui
ressemble un peu à une boîte. Il a six faces rectangulaires, et nous appelons ses dimensions longueur, largeur et
hauteur. Nous avons appris que le volume de ce prisme est le produit de ces dimensions. C’est la largeur fois la longueur fois la hauteur. Et nous pouvons faire ce calcul dans n’importe quel ordre.
Nous avons aussi vu que nous pouvons alternativement dire que le volume d’un prisme
rectangulaire est égal à l’aire de sa base ou à sa section transversale multipliée
par sa hauteur, où la hauteur est la dimension perpendiculaire à la base. Et n’oubliez pas que nous devons toujours vérifier que les dimensions sont données
dans la même unité avant de calculer le volume d’une forme tridimensionnelle.