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Vidéo de question : Déterminer les points sur une courbe les plus proches d’un point donné en utilisant la dérivation Mathématiques

Déterminez les coordonnées des points de la courbe d’équation 𝑦² = 2𝑥 + 21 qui sont les plus proches du point de coordonnées (−6, 0).

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Déterminez les coordonnées des points de la courbe d’équation 𝑦 au carré est égal à deux 𝑥 plus 21 qui sont les plus proches du point de coordonnées moins six, zéro.

La question nous donne l’équation d’une courbe. Nous devons trouver les points de cette courbe les plus proches du point moins six, zéro. Pour commencer, rappelons la formule de la distance entre un point de coordonnées 𝑥, 𝑦 et un point de coordonnées 𝑎, 𝑏. Par le théorème de Pythagore, nous avons que cette distance est égale à la racine carrée de 𝑥 moins 𝑎 au carré plus 𝑦 moins 𝑏 au carré.

Dans notre cas, le point de coordonnées 𝑥, 𝑦 se trouve sur notre courbe et le point 𝑎, 𝑏 peut être moins six, zéro. Ainsi, en utilisant cette formule, si 𝑥, 𝑦 se trouve sur notre courbe et si 𝑎, 𝑏 est le point de coordonnées moins six, zéro, alors la longueur de la droite entre le point de coordonnées 𝑥, 𝑦 et le point de coordonnées moins six, zéro est égal à la racine carrée de 𝑥 moins moins six au carré plus 𝑦 moins zéro au carré.

Nous pourrions simplifier cette expression. En développant les deux carrés de nos parenthèses, nous obtenons 𝑥 carré plus 12𝑥 plus 36 et 𝑦 carré. Seulement, rappelez-vous, le point de coordonnées 𝑥, 𝑦 se trouve sur notre courbe, donc 𝑦 au carré est en fait égal à deux 𝑥 plus 21. Ainsi, si nous substituons 𝑦 au carré est égal à deux 𝑥 plus 21, nous obtenons que la longueur est égale à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 12𝑥 plus 36 plus deux 𝑥 plus 21. Bien sûr, nous pouvons simplifier davantage cette expression.

12𝑥 plus deux 𝑥 est égal à 14𝑥. 36 plus 21 est égal à 57. Nous avons donc trouvé une formule pour la longueur de la droite entre le point de coordonnées 𝑥, 𝑦 sur notre courbe et le point de coordonnées moins six, zéro. Elle est égale à la racine carrée de 𝑥 carré plus 14𝑥 plus 57. Nous obtenons une fonction entièrement en fonction de 𝑥. La question veut que cette longueur soit aussi petite que possible. Il s’agit d’un problème d’optimisation, nous allons donc résoudre ce problème en trouvant les points critiques de notre fonction de longueur.

Nous voyons que notre formule pour la longueur est la composée de deux fonctions ; soit la racine carrée d’un polynôme. Ainsi, nous voulons dériver cela en utilisant la règle de derivation en chaîne. La règle de derivation en chaîne nous dit si 𝑢 est une fonction de 𝑣 et si 𝑣 est, à son tour est une fonction de 𝑥, alors la dérivée de 𝑢 de 𝑣 de 𝑥 est égale à 𝑣 prime de 𝑥 fois 𝑢 prime évaluée en 𝑣 de 𝑥. Ainsi, nous allons définir 𝑣 de 𝑥 comme notre fonction interne. Soit le polynôme 𝑥 au carré plus 14𝑥 plus 57.

Ainsi, cela nous donne que la longueur de notre droite 𝑙 en fonction de 𝑥 est égale à la racine carrée de 𝑣 de 𝑥. Ensuite, nous allons définir 𝑢 de 𝑣 comme étant la racine carrée de 𝑣. Ainsi, ce faisant, nous avons réécrit notre longueur comme étant 𝑢 composée de 𝑣. 𝑢 est une fonction de 𝑣, et 𝑣 à son tour est une fonction de 𝑥. Ainsi, pour utiliser la règle de dérivation chaîne, nous avons besoin d’expressions pour 𝑢 prime et 𝑣 prime. Commençons par 𝑢 prime.

Il s’agit de la dérivée de la racine carrée de 𝑣 par rapport à 𝑣. En utilisant nos lois sur les exposants, nous pouvons réécrire la racine de 𝑣 comme 𝑣 à la puissance un demi. Nous pouvons dériver cela en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous multiplions par l’exposant de 𝑣, qui est un demi puis, nous réduisons l’exposant de un. Cela nous donne un demi de 𝑣 à la puissance moins un demi, que nous réécrirons comme un sur deux racine de 𝑣.

Ensuite, nous voulons trouver une expression pour 𝑣 prime de 𝑥. Il s’agit de la dérivée de 𝑥 au carré plus 14𝑥 plus 57 par rapport à 𝑥. Nous dériverons en utilisant la règle des puissances pour la dérivation sur chaque terme. Cela nous donne deux 𝑥 plus 14. Maintenant, en utilisant la règle de dérivation en chaîne, nous avons 𝑙 prime de 𝑥 est égale à 𝑣 prime de 𝑥 fois 𝑢 prime de 𝑣 de 𝑥. En substituant dans nos expressions 𝑣 prime, 𝑢 prime et 𝑣 de 𝑥, nous obtenons que 𝑙 prime de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus 14 divisé par deux fois la racine carrée de 𝑥 carré plus 14𝑥 plus 57.

Nous pouvons légèrement simplifier cela. Nous allons annuler le facteur commun de deux dans notre numérateur et notre dénominateur. Cela nous donne que 𝑙 prime de 𝑥 est égal à 𝑥 plus sept divisé par la racine carrée de 𝑥 au carré plus 14𝑥 plus 57. Rappelez-vous, nous voulons trouver les points critiques de cette fonction. Ce sont les points où la dérivée est égale à zéro ou les points où la dérivée n’existe pas. Commençons par vérifier les points où la dérivée n’existera pas.

La dérivée n’existera pas si le dénominateur est égal à zéro ou si nous prenons la racine carrée d’un nombre négatif. Pour vérifier si cela se produit, nous allons compléter le carré de notre expression du second degré. Pour compléter le carré, nous prenons 𝑥 plus la moitié du coefficient de notre terme 𝑥 le tout au carré. Cela signifie que lorsque nous développons les parenthèses sur le côté droit, nous avons 49 en plus. Ainsi, nous devons soustraire ce 49. En développant et en simplifiant ce que nous avons écrit, nous avons 𝑥 au carré plus 14𝑥.

Ainsi, pour équilibrer les deux côtés de cette équation, il suffit d’ajouter 57. Moins 49 plus 57 est égal à huit. Ainsi, en complétant le carré, nous avons réécrit le polynôme du second degré dans notre dénominateur comme 𝑥 plus sept le tout au carré plus huit. Écrivons ceci dans notre fonction dérivée. Ainsi, nous avons maintenant réécrit 𝑙 prime de 𝑥 comme 𝑥 plus sept divisé par la racine carrée de 𝑥 plus sept au carré plus huit. La raison derrière cette démarche est que cela facilite la recherche de nos points critiques.

𝑥 plus sept le tout au carré est un carré, il est donc supérieur ou égal à zéro. Ensuite, nous ajoutons huit à cette valeur. Ainsi, notre dénominateur est toujours strictement positif. Ainsi, nous prenons dans notre exercice toujours la racine carrée d’un nombre strictement positif. Par conséquent, notre dénominateur est toujours strictement positif. Ainsi, notre dérivée est définie pour toutes les valeurs de 𝑥. Les seuls points critiques seront donc ceux où notre dérivée est égale à zéro. Cela signifie que notre numérateur doit être égal à zéro, ce qui signifie que 𝑥 est égal à moins sept. Ainsi, nous avons montré que notre fonction a un point critique où 𝑥 est égal à moins sept.

Nous devons décider de quel type de point critique il s’agit. Nous pourrions le faire en utilisant la dérivée première ou seconde. Cependant, dans ce cas, nous le ferons en regardant notre fonction 𝑙 prime de 𝑥. Nous avons déjà expliqué que le dénominateur de 𝑙 prime de 𝑥 est strictement positif pour toutes les valeurs de 𝑥. Ainsi, que 𝑙 prime de 𝑥 soit positif ou négatif dépend entièrement du signe de notre numérateur. Notre numérateur est strictement négatif si 𝑥 est strictement inférieur à moins sept. Notre numérateur est strictement positif si 𝑥 est strictement supérieur à moins sept.

Alors, réfléchissons à ce que cela signifie graphiquement pendant une seconde. Notre pente en moins sept vaut zéro. Pour toutes les valeurs de 𝑥 strictement inférieures à moins sept, notre pente est définie et elle est strictement négative. Pour toutes les valeurs de 𝑥 strictement supérieures à sept, notre pente est définie et strictement positive. Ainsi, nous avons une fonction continue avec une dérivée continue avec un point de changement de variation en 𝑥 est égal à moins sept. Ainsi, il s’agit en fait d’un minimum global de notre fonction.

La dernière chose à faire est de trouver les coordonnées de tous les points où 𝑥 égale moins sept. Nous ferons cela en substituant 𝑥 est égal à moins sept dans notre équation de la courbe. En substituant 𝑥 est égal à moins sept dans l’équation de notre courbe, nous obtenons 𝑦 au carré est égal à deux fois moins sept plus 21, ce qui se simplifie pour nous donner 𝑦 au carré est égal à sept. Puis, nous prenons simplement la racine carrée des deux côtés de cette équation, en nous souvenant que nous obtenons un résultat positif et un résultat négatif. Nous obtenons 𝑦 est égal à plus ou moins racine de sept. Par conséquent, nous avons montré que les points sur la courbe 𝑦 au carré est égal à deux 𝑥 plus 21 qui sont les plus proches du point de coordonnées moins six, zéro sont les points de coordonnées moins sept, racine de sept et moins sept, moins racine de sept.

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