Vidéo question :: Déterminer l'aire de la partie comprise entre les deux tangentes et le plus petit arc de deux points situés sur la circonférence d’un cercle | Nagwa Vidéo question :: Déterminer l'aire de la partie comprise entre les deux tangentes et le plus petit arc de deux points situés sur la circonférence d’un cercle | Nagwa

Vidéo question :: Déterminer l'aire de la partie comprise entre les deux tangentes et le plus petit arc de deux points situés sur la circonférence d’un cercle Mathématiques • Première année secondaire

Soient 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 deux tangentes au cercle 𝑀 telles que 𝐵 et 𝐶 appartiennent à la circonférence. 𝑀𝐴 = 14 centimètres, et le rayon du cercle mesure 7 centimètres. Déterminez l'aire de la partie comprise entre les deux tangentes et le petit arc 𝐵𝐶. Donnez la réponse arrondie au centimètre carré près.

03:39

Transcription de la vidéo

Soient 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 deux tangentes au cercle 𝑀 telles que 𝐵 et 𝐶 appartiennent à la circonférence. 𝑀𝐴 vaut 14 centimètres et le rayon du cercle mesure sept centimètres. Déterminez l'aire de la partie comprise entre les deux tangentes et le petit arc 𝐵𝐶. Donnez la réponse arrondie au centimètre carré près.

Au début, cela peut sembler un peu compliqué. Seulement, nous pouvons décomposer le problème en plusieurs petites parties. Tout d'abord, nous voyons que si nous ajoutons les rayons 𝐵𝑀 et 𝑀𝐶 au schéma, nous pouvons former deux triangles rectangles. C'est-à-dire 𝐴𝐵𝑀 et 𝐴𝐶𝑀. En effet, l'angle entre une tangente et un rayon est de 90 degrés. Les angles 𝐴𝐵𝑀 et 𝐴𝐶𝑀 doivent être de 90 degrés.

Après avoir repéré cela, nous pouvons utiliser la trigonométrie de l'angle droit pour calculer la mesure des angles 𝐴𝑀𝐵 et 𝐴𝑀𝐶. En dessinant le triangle 𝐴𝑀𝐵, on nous dit que 𝑀𝐴 mesure 14 centimètres. L'hypoténuse de notre triangle mesure donc 14 centimètres. Il s'agit du côté opposé à l'angle droit et il s’agit toujours le côté le plus long du triangle. Le rayon 𝑀𝐵 est de sept centimètres. Il s'agit du côté adjacent.

Nous pouvons maintenant utiliser le rapport des cosinus pour trouver la mesure de l'angle 𝜃. Cosinus 𝜃 est égal au côté adjacent sur l'hypoténuse. Dans ce cas, nous avons sept divisé par 14, soit 0.5. Pour résoudre cette équation en 𝜃, nous pouvons utiliser la fonction réciproque du cosinus. Nous prenons la fonction réciproque du cosinus en 0.5. Il s'agit d'un de ces résultats standards que nous devrions connaître par cœur. Si nous ne le connaissons pas, sachez que nous obtenons 𝜋 sur trois radians.

Sachant cela, nous pouvons trouver l'aire du triangle 𝐴𝐵𝑀. Une fois que nous l'avons obtenue, nous pourrons trouver l'aire du quadrilatère 𝐴𝐵𝑀𝐶. Ensuite, nous pourrons soustraire l'aire de l'arc pour trouver l'aire requise. En fait, il y a deux façons de déterminer l'aire de ce triangle.

La première consiste à trouver la longueur du côté manquant, puis à utiliser la formule suivante : la moitié de la base multipliée par la hauteur. Nous pouvons également utiliser la formule trigonométrique : un demi 𝘢𝘣 sinus 𝘤. L'angle 𝜃 dans notre triangle 𝐴𝐵𝑀 est de 𝜋 sur trois. Les côtés 𝘢 et 𝘣 mesurent sept centimètres et 14 centimètres. L'aire est donc un demi fois sept fois 14 fois sinus 𝜋 sur trois.

Encore une fois, sinus 𝜋 sur trois est un de ces résultats standards que l'on devrait connaître par cœur. Cela donne racine de trois sur deux. Nous pouvons simplifier par deux. Nous voyons alors que l'aire de notre triangle rectangle est de 49 racine de trois sur deux unités au carré.

Pour trouver l'aire du quadrilatère, il suffit de multiplier cette valeur par deux. Soit deux fois 49 racine de trois sur deux. L'aire de 𝐴𝐵𝑀𝘊 est donc de 49 racine de trois unités au carré.

Pour trouver la surface ombrée, nous avons dit qu'il fallait soustraire la surface du secteur 𝘉𝘊𝘔. La formule pour l'aire d'un secteur de rayon 𝘳 et d'angle 𝜃 radians est la moitié de 𝘳 au carré 𝜃. Nous connaissons la mesure de l'angle de notre secteur. Il est de deux 𝜋 sur trois.

Ainsi, l’aire du secteur est de un demi fois sept au carré fois deux 𝜋 sur trois. Sept au carré est égal à 49. Nous pouvons simplifier par deux. L’aire de notre secteur est de 49 𝜋 sur trois.

L’aire que nous cherchons est la différence entre les deux. Soit 49 racine de trois moins 49 𝜋 sur trois. Cela donne 33.557. Rappelez-vous qu'on nous a demandé de donner notre réponse au centimètre carré près. Si nous arrondissons, nous voyons que l’aire que nous recherchons est de 34 unités au carré ou 34 centimètres au carré.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité