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Vidéo de question : Calculer la distance horizontale parcourue par un jet d’eau Physique

Un grand réservoir d’eau comporte de petits trous sur le côté situés à différentes hauteurs du sol, comme illustré sur la figure. De l’eau fuit par les trous du récipient, et seule la fuite du trou 𝐴 est indiquée. Les fuites s’écoulant par les trous parcourent différentes distances horizontalement depuis le réservoir d’eau. Le volume d’eau qui fuit du récipient est supposé être faible, de sorte que la diminution de la hauteur de l’eau due à la fuite est négligeable. Depuis quel trou l’eau s’écoule-t-elle le plus loin horizontalement du récipient ?

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Transcription de vidéo

Un grand réservoir d’eau comporte de petits trous sur le côté situés à différentes hauteurs du sol, comme illustré sur la figure. De l’eau fuit par les trous du récipient, et seule la fuite du trou 𝐴 est indiquée. Les fuites s’écoulant par les trous parcourent différentes distances horizontalement depuis le réservoir d’eau. Le volume d’eau qui fuit du récipient est supposé être faible, de sorte que la diminution de la hauteur de l’eau due à la fuite est négligeable. Depuis quel trou l’eau s’écoule-t-elle le plus loin horizontalement du récipient ?

Ici, on a notre réservoir d’eau qui fuit avec quatre trous 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sur le côté. L’eau fuit par les quatre trous, et ces quatre fuites parcourent différentes distances horizontalement avant d’atteindre le sol. On cherche à savoir depuis lequel de ces quatre trous l’eau se déplace le plus loin horizontalement. On peut appeler la distance horizontale parcourue par chaque fuite d’eau sa portée. Si on réfléchit à ce qui fait sortir l’eau de ce récipient, on peut déduire que ceci est dû à la pression de l’eau dans le récipient. Par exemple, si on regarde l’eau qui sort par le trou 𝐷, tout ce fluide crée ici une pression pour forcer l’eau à sortir par ce trou.

Faisons de la place sur l’écran pour travailler, on rappelle que la pression créée par un fluide de masse volumique 𝜌 est égale à cette de masse volumique multipliée par l’accélération due à la gravité 𝑔 fois la profondeur 𝑑 du fluide. Si on note que la colonne d’eau du récipient a une hauteur totale 𝐻 majuscule et que cette hauteur, on suppose, ne varie pas même lorsque l’eau fuit lentement par ces petits trous, et si on suppose par ailleurs que la distance du niveau du sol à un trou donné dans le récipient est ℎ minuscule, dans ce cas, la profondeur 𝑑 d’un trou donné est égale à 𝐻 majuscule moins ℎ minuscule.

L’application du principe de Pascal à notre cas consiste à dire que la pression qui force l’eau hors d’un trou donné dans le récipient est égale à la de masse volumique de l’eau 𝜌 fois l’accélération due à la gravité 𝑔 multipliée par la profondeur de ce trou 𝐻 majuscule moins ℎ minuscule. On peut avoir une idée de l’effet de cette pression en observant de près l’un des trous de la paroi du récipient. Voici la paroi du récipient, et voici la petite ouverture dans cette paroi qui laisse passer l’eau.

Jusqu’à présent, on peut supposer que l’eau à gauche de cette ligne est statique et ne bouge pas. Mais ensuite, du fait de cette pression 𝑃 créée par tout le fluide au-dessus de ce trou dans la colonne d’eau du récipient, non seulement une pression vers le bas est produite à cette hauteur, mais en fait une pression égale dans toutes les directions est générée en raison de la pression 𝑃. Si ce n’était pas le cas, si la pression, disons, était plus grande dans un sens que dans un autre, alors le fluide à cet endroit se déplacerait. Mais on suppose ici que ce fluide est stationnaire.

Lorsque cette pression agit sur une particule d’eau qui se trouve ici, cette particule ne reste pas immobile. Au lieu de cela, elle accélère vers la droite à travers la paroi du récipient. On supposera que lorsque cette particule d’eau atteint la paroi extérieure du récipient, son accélération horizontale s’arrête et celle-ci est alors en chute libre. Cela crée alors le jet d’eau que l’on observe sur le côté du récipient.

Par ailleurs, plus la pression 𝑃, c’est-à-dire, plus la profondeur d’un trou donné est grande, plus la poussée accélérant une particule d’eau sera forte. De ce point de vue, on peut dire que plus un trou donné est situé vers le bas de la paroi du récipient, plus la vitesse de sortie de cette eau à travers la paroi sera élevée. Ainsi, par exemple, l’eau sortant du trou 𝐴, pour lequel il y a peu d’eau créant une pression poussant l’eau à travers ce trou, aura une vitesse de sortie relativement petite, tandis que l’eau du trou 𝐷 aura une vitesse de sortie relativement plus grande car il y a plus de pression qui pousse cette eau vers l’extérieur.

Cela ne signifie pas nécessairement que l’eau qui fuit par le trou D se déplacera plus loin horizontalement, c’est-à-dire qu’elle aura une portée plus grande que l’eau des autres trous. Même si l’eau du trou D se déplaçait plus rapidement horizontalement que l’eau qui fuit par l’un des autres trous, elle aurait également moins de temps pour se déplacer horizontal avant d’atteindre le niveau du sol. Autrement dit, le temps nécessaire pour atteindre le sol sera plus court que pour l’eau des trous C, 𝐵 ou 𝐴.

Voici ce que l’on peut écrire. La portée d’un jet d’eau sortant d’un trou donné est égale à la vitesse de sortie de cette eau, que l’on a appelée 𝑣 indice h car c’est une vitesse horizontale, multipliée par le temps nécessaire à l’eau qui fuit par ce trou pour tomber sur le sol. On note en passant que cette équation est une application de la relation où la vitesse moyenne 𝑣 d’un objet est égale à la distance parcourue par cet objet divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance. Ici, la vitesse horizontale d’un jet d’eau sortant est constante tout au long de sa descente. Et donc si on multiplie cette vitesse par le temps nécessaire à l’eau pour tomber sur le sol à partir de ce trou donné, alors le produit est égal à la portée de l’eau, soit la distance horizontale parcourue.

Jusqu’à présent, on a vu que plus la profondeur d’un trou dans la paroi du récipient est grande, plus la vitesse de sortie horizontale de l’eau par ce trou sera élevée. D’autre part, l’eau de ce trou relativement plus bas passera moins de temps en chute avant d’atteindre le sol. L’eau du trou qui a la plus grande portée nous donnera le plus grand résultat de cette fonction de deux variables concurrentes.

Regardons alors de plus près 𝑣 indice h et t indice chute, en commençant par la vitesse de sortie horizontale. On a dit que pour une particule d’eau qui est juste à l‘équilibre stationnaire et qui est alors accélérée, le mouvement de cette particule est dû à la pression créée par le fluide qui l’entoure. En plus de savoir que cette pression est égale à la masse volumique de l’eau multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par la grandeur 𝐻 majuscule moins h minuscule, on peut rappeler la loi de Pascal indiquant qu’en général la pression est égale à une force répartie sur une aire. Ou en réorganisant cela légèrement, la force est égale à l’aire fois la pression.

Dans notre cas, cette aire est l’aire de la section transversale de notre colonne de fluide. Si on appelle cette aire 𝐴 majuscule et que l’on sait qu’elle est constante sur toute la hauteur de notre récipient, alors on peut dire que la force qui agit sur notre particule d’eau 𝐹 est égale à la pression 𝜌 fois 𝑔 fois 𝐻 majuscule moins ℎ minuscule, le tout multiplié par l’aire de la section transversale de notre colonne de fluide.

Pour passer à la prochaine étape, on rappelle la deuxième loi de Newton sur le mouvement selon laquelle la force nette sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération. En divisant les deux côtés de cette équation par la masse 𝑚, on constate que l’accélération est égale à la force divisée par la masse. Ainsi, l’accélération d’une particule d’eau juste au moment où elle commence à se déplacer est égale à la masse volumique de l’eau multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par 𝐻 majuscule moins ℎ minuscule, le tout fois l’aire de la section transversale 𝐴 divisée par la masse de cette particule d’eau 𝑚.

Voici quelque chose d’important à noter au sujet de cette accélération. À une hauteur donnée dans notre récipient, c’est-à-dire pour une valeur donnée de ℎ minuscule, cette accélération 𝑎 est constante. Cela signifie que lorsque les particules ont accéléré à travers cette ouverture dans la paroi du récipient, leur mouvement peut être décrit par ce qu’on appelle parfois les équations cinématiques du mouvement. Ces équations s’appliquent au mouvement de particules dont l’accélération est constante, comme notre particule d’eau ici.

En général, il y a quatre équations cinématiques de mouvement. Mais ici, on va simplement considérer l’une d’entre elles. Cette équation dit que pour un objet ayant une accélération constante, le vecteur vitesse final de cet objet au carré est égale à son vecteur vitesse initial au carré plus deux fois son accélération fois son déplacement 𝑠. Lorsque l’on applique cette équation à notre cas, on cherche à trouver le vecteur vitesse horizontal de notre particule d’eau ici lorsqu’elle quitte la paroi du récipient. On a appelé ce vecteur vitesse 𝑣 indice h. Donc, ici, on cherche 𝑣 indice h au carré.

Lorsque notre particule d’eau commence à accélérer, sa vitesse initiale et son vecteur vitesse initial sont nuls. Par conséquent, 𝑣 indice h au carré est égal à zéro au carré plus deux fois 𝑎 fois 𝑠. Ici, l’accélération de notre particule d’eau est donnée par cette expression, tandis que le déplacement 𝑠 est l’épaisseur de la paroi de notre récipient. Ainsi, 𝑣 indice h au carré est égal à deux fois 𝑎 fois 𝑠. Et lorsque l’on remplace la valeur de l’accélération 𝑎, on obtient cette expression globale pour 𝑣 indice h au carré. Dans l’équation de la portée, cependant, on voit que l’on n’a pas 𝑣 indice h au carré, mais juste 𝑣 indice h. Ce que l’on fait alors est de prendre la racine carrée des deux côtés de cette équation de sorte que, du côté gauche, le carré de 𝑣 indice h et la racine carrée s’annulent.

On a maintenant une expression pour 𝑣 indice h, bien que cela semble assez compliqué. Rappelons-nous cependant que la plupart des valeurs de cette expression sont des constantes. Ce à quoi nous devons vraiment prêter attention, concernant son effet sur 𝑣 indice h, est la valeur entre parenthèses, 𝐻 majuscule moins ℎ minuscule. En fait, en faisant de la place à l’écran, on peut même réécrire 𝑣 indice h pour mettre cela en évidence. Ici, on a notre première racine carrée, où toutes les grandeurs qui ne changent pas sont incluses. Celle-ci est multipliée par la deuxième racine carrée, où on a une grandeur qui peut varier, ℎ minuscule. C’est alors notre expression pour 𝑣 indice h.

Maintenant, trouvons une expression pour 𝑡 indice chute, le temps nécessaire à l’eau qui fuit d’un trou donné pour tomber sur le sol. Lorsque l’eau tombe d’un trou donné, son accélération est constante. Elle est égale à l’accélération due à la gravité 𝑔. Par conséquent, on peut décrire une fois de plus cette chute d’eau en utilisant une équation cinématique de mouvement. Cette fois, l’équation utilisée dit que le déplacement d’un objet est égal au vecteur vitesse initial de cet objet multiplié par le temps écoulé plus un demi de l’accélération de cet objet 𝑎 fois le temps écoulé au carré. Dans notre cas, ce déplacement est le déplacement vertical de l’eau lorsqu’elle tombe sur le sol. En d’autres termes, il s’agit de la hauteur du trou dans la paroi du récipient, ℎ minuscule.

Comme on l’a vu plus tôt, lorsque l’eau sort d’un trou pour la première fois, elle n’a qu’une vitesse horizontale et aucune vitesse verticale. Par conséquent, 𝑣 indice i, le vecteur vitesse de notre eau dans ce cas dans la direction verticale, est nul. Cela ne reste pas vrai longtemps cependant en raison de l’accélération causée par la gravité 𝑔. Dans notre cas, le temps écoulé 𝑡 est égal à 𝑡 indice chute, le temps nécessaire à l’eau pour tomber au sol depuis un trou. C’est ainsi que cette équation cinématique serait écrite dans notre cas. ℎ est égal à un demi de 𝑔 fois 𝑡 indice chute au carré. Si on multiplie les deux côtés de cette équation par deux divisé par 𝑔, alors deux multipliés par un demi à droite est égal à un et 𝑔 divisé par 𝑔 est égal à un. Par conséquent, 𝑡 indice chute au carré est égal à deux fois ℎ divisé par 𝑔. Si on prend la racine carrée des deux côtés, alors le carré de 𝑡 indice chute et la racine carrée s’annulent. Et on a maintenant une expression simplifiée pour 𝑡 indice chute.

Maintenant que l’on a des expressions pour 𝑡 indice chute et 𝑣 indice h, voyons comment elles se combinent pour donner la portée 𝑅. En regardant le produit de ces deux valeurs, on note que l’on a une racine carrée de 𝑔 et une racine carrée de un sur 𝑔. Donc, le produit de ces deux sera égal à un. On remarque également que l’on a une racine carrée de deux fois la racine carrée de deux. Cela signifie que l’on peut factoriser un deux sous la racine carrée. Afin de voir comment la portée est maximisée, on va se concentrer ici sur le produit de ces deux racines carrées. En fait, on peut les réécrire de sorte qu’elles soient sous une racine carrée afin que l’on ait ici toutes ces constantes multipliées par la racine carrée de la grandeur 𝐻 majuscule moins ℎ minuscule fois ℎ minuscule.

Rappelons que ℎ minuscule est la hauteur au-dessus du niveau du sol à laquelle un trou donné se situe. En cherchant lequel de nos quatre trous permet à l’eau de fuire avec la plus grande distance horizontale, on fait essentiellement varier ℎ minuscule pour trouver pour quelle valeur de ℎ minuscule cette expression est maximisée. Juste pour avoir une idée de la façon dont cela fonctionne, imaginons que l’on remplace ℎ minuscule par des valeurs différentes. Disons que ℎ minuscule est égal à zéro. C’est-à-dire que l’on a un trou qui est à la base de notre colonne d’eau. Dans ce cas, cette valeur ici est zéro. Et donc la valeur sous la racine carrée est zéro, et donc la portée est aussi de zéro. Puisque la portée de l’eau à partir de ce trou est nulle, cela ne peut pas être notre distance horizontale maximale.

Maintenant, essayons un autre extrême. Disons que le trou est positionné en haut de la colonne. En d’autres termes, ℎ minuscule est égal à 𝐻 majuscule. Si tel est le cas, alors ℎ minuscule serait égal à 𝐻 majuscule. Et donc on aurait 𝐻 majuscule moins 𝐻 majuscule, ou zéro. Ainsi, si ℎ minuscule était cette valeur maximale de 𝐻 majuscule, la portée serait à nouveau nulle. Car il n’y aurait en effet pas de pression pour faire sortir l’eau horizontalement par un trou dans la paroi du récipient. La valeur de ℎ minuscule qui maximise cette expression sera comprise entre zéro et 𝐻 majuscule. Et en fait, si on prend ℎ minuscule égale exactement la moitié de 𝐻 majuscule, cela conduit à une valeur maximale de cette expression sous le signe racine carrée. Plus précisément, cela est égal à 𝐻 majuscule moins 𝐻 majuscule divisé par deux, le tout multiplié par 𝐻 majuscule sur deux. Ce produit est égal à 𝐻 majuscule au carré sur quatre.

Dans cette question, on ne nous demande pas de trouver cette valeur de portée maximale 𝑅. On souhaite simplement savoir lequel de nos quatre trous permettra à l’eau de fuir avec la plus grande portée. Selon notre analyse, le trou dont la hauteur est la plus proche de 𝐻 majuscule sur deux, soit la moitié de la hauteur totale de la colonne d’eau, laisse échapper l’eau avec la plus grande portée horizontale. En regardant les quatre trous de notre récipient, on voit que le trou 𝐷 est très proche du, sinon situé au, milieu de cette colonne d’eau. Par conséquent, on peut dire que l’eau qui fuit par ce trou a la plus grande portée. Parmi les trous 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷, c’est l’eau qui fuit par le trou D qui parcourra la plus grande distance horizontalement jusqu’à atteindre le sol.

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