Transcription de la vidéo
Un liquide s’écoulant de façon laminaire traverse un tuyau de section d’aire 𝐴 un à une vitesse 𝑣 un. Le liquide passe ensuite dans un tuyau de section transversale d’aire 𝐴 deux s’écoulant de façon laminaire à une vitesse 𝑣 deux. Laquelle des formules suivantes représente correctement le rapport entre la vitesse du liquide dans le premier tuyau et sa vitesse dans le deuxième? (A) 𝐴 un plus 𝐴 deux le tout divisé par deux. (B) 𝐴 un multiplié par 𝐴 deux le tout divisé par 𝐴 un moins 𝐴 deux. (C) 𝐴 deux divisé par 𝐴 un. (D) 𝐴 un divisé par 𝐴 deux. (E) 𝐴 un carré plus 𝐴 deux carrés le tout à la puissance un demi.
L’énoncé du problème évoque deux tuyaux connectés. Disons que ceci est notre premier tuyau et que ceci est le deuxième. Le liquide entre dans le premier tuyau à une vitesse 𝑣 un, et il sort du second à une vitesse 𝑣 deux. D’autre part, la section transversale du premier tuyau vaut 𝐴 un et celle du deuxième tuyau vaut 𝐴 deux. On souhait trouver laquelle de ces cinq expressions relie correctement le rapport de la vitesse du liquide dans le premier tuyau, c’est-à-dire 𝑣 un, à sa vitesse dans le deuxième tuyau, c’est-à-dire 𝑣 deux. En d’autres termes, on cherche le rapport 𝑣 un divisé par 𝑣 deux.
Pour commencer, faisons de la place sur l’écran et rappelons l’équation de continuité des fluides. Lorsqu’un fluide est incompressible, c’est-à-dire que sa densité est constante, cette équation s’écrit de cette façon. Elle dit que toute section transversale à travers laquelle le fluide circule multipliée par la vitesse du fluide en ce point est égale à toute autre section transversale à travers laquelle le fluide circule de façon laminaire multipliée par sa vitesse. On remarque que l’on utilise cette forme de l’équation de continuité car on travaille avec un liquide, que l’on peut supposer incompressible.
Dans notre cas, la première aire est la section d’entrée dans le premier tuyau, et la deuxième aire est la section de sortie du deuxième tuyau. 𝐴 un 𝑣 un est égal à 𝐴 deux 𝑣 deux, et on peut commencer à réorganiser cette équation pour obtenir la fraction 𝑣 un divisée par 𝑣 deux. Pour ce faire, on divise les deux côtés de cette équation par 𝑣 deux fois 𝐴 un. Ainsi, du côté gauche, 𝐴 un s’annule au numérateur et au dénominateur, et sur la droite 𝑣 deux s’annule. On trouve alors que 𝑣 un divisé par 𝑣 deux est égal à 𝐴 deux divisé par 𝐴 un. En regardant les réponses proposées, on constate que cela correspond à la réponse (C). Le rapport entre la vitesse de ce fluide lorsqu’il pénètre dans le premier tuyau et la vitesse du fluide lors de sa sortie du second est 𝐴 deux sur 𝐴 un. On choisit donc la réponse (C).