Vidéo question :: Déterminer la dérivée première d’une fonction sous la forme 𝑥 ^ 𝑥 ^ 𝑥 en utilisant la dérivation logarithmique Mathématiques

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Etant donnée 𝑦 est égal à 𝑥 élevé à la puissance 𝑥 élevé à la puissance 𝑥, déterminez d𝑦 sur d𝑥.

On nous donne une fonction 𝑦 et on nous demande de trouver sa dérivée par rapport à 𝑥. Maintenant, ce qui est un peu étrange dans notre fonction 𝑦, c’est que nous avons une variable 𝑥 qui est élevée à la puissance 𝑥 qui est elle-même une variable qui est à nouveau élevée à la puissance 𝑥. Il est difficile d’imaginer laquelle de nos méthodes de dérivation habituelles est adaptée à cette fonction. Il ne s’agit ni d’une fonction de puissance, 𝑥 à la puissance 𝑘 où 𝑘 est une constante, ni d’une fonction exponentielle de la forme 𝑏 à la puissance 𝑥 où 𝑏 est une constante. Alors, comment allons-nous dériver notre fonction 𝑦 ?

Nous allons utiliser une méthode appelée la dérivation logarithmique. Il s’agit d’un processus en quatre étapes où la première étape consiste à prendre les logarithmes népériens des deux côtés de sorte que nous ayons le logarithme népérien de 𝑦 est égal au logarithme népérien de 𝑓 de 𝑥, en rappelant que le logarithme népérien est le logarithme de base 𝑒 où 𝑒 est le nombre d’Euler, qui est approximativement 2,71828 etc. Lorsque nous prenons les logarithmes népériens, nous devons spécifier que 𝑦 est supérieur à zéro puisque le logarithme népérien de zéro n’est pas défini et qu’un logarithme n’existe pas pour les valeurs négatives.

Ainsi, avec notre fonction 𝑦, nous avons 𝑦 est égal à 𝑥 élevé à la puissance 𝑥 élevé à la puissance 𝑥. En prenant les logarithmes népériens, nous avons le logarithme népérien de 𝑦 sur le côté gauche et le logarithme népérien de 𝑥 élevé à la puissance 𝑥 élevé à la puissance 𝑥 à droite. Cependant, en quoi cela nous aide-t-il, car cela semble un peu plus compliqué que lorsque nous avons commencé ? Bien, cela nous amène à notre deuxième étape de la dérivation logarithmique. C’est-à-dire que nous utilisons les lois des logarithmes pour développer ou simplifier. Dans notre cas, dans l’argument d’un logarithme, nous avons un exposant. Nous pouvons développer cela en utilisant la règle de puissance pour les logarithmes. Elle nous indique que le logarithme de base 𝑎 de 𝑏 élevé à la puissance 𝑐 vaut 𝑐 fois le logarithme en base 𝑎 de 𝑏; c’est-à-dire que nous mettons notre exposant 𝑐 devant le logarithme et que nous multiplions.

En appliquant cela au côté droit, nous avons alors 𝑥 élevé à la puissance 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥. Bien, maintenant, nous avons un produit sur le côté droit, mais notez que l’un des facteurs est toujours 𝑥 élevé à la puissance 𝑥 et nous devons transformer cela sous la forme de quelque chose que nous pouvons dériver. Essayons donc d’appliquer à nouveau nos étapes un et deux de la dérivation logarithmique pour voir si nous pouvons simplifier davantage. Ainsi, en reprenant les logarithmes népériens des deux côtés, nous avons le logarithme népérien du logarithme népérien de 𝑦 est égal au logarithme népérien de 𝑥 élevé à la puissance 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥.

Maintenant, à notre droite, nous avons le logarithme népérien d’un produit. Ainsi, nous pouvons appliquer la règle du produit pour les logarithms ; c’est-à-dire le logarithme de base 𝑎 de 𝑏 fois 𝑐 vaut le logarithme de base 𝑎 de 𝑏 plus le logarithme de base 𝑎 de 𝑐. En posant 𝑏 égal 𝑥 à la puissance 𝑥 et 𝑐 le logarithme népérien de 𝑥, nous avons le logarithme népérien de 𝑥 élevé à la puissance 𝑥 plus le logarithme népérien du logarithme népérien de 𝑥. Maintenant, remarquez encore une fois dans notre premier terme sur le côté droit, l’argument du logarithme népérien a un exposant, nous pouvons donc utiliser à nouveau la règle de puissance pour les logarithmes. Cela signifie que nous pouvons mettre notre exposant 𝑥 devant le logarithme népérien et le multiplier.

Alors, maintenant, sur notre droite, nous avons un tas de fonctions que nous savons comment dériver. Cela nous amène à notre troisième étape de la dérivation logarithmique, c’est-à-dire dériver les deux côtés par rapport à 𝑥. En faisant juste un peu d’espace, nous avons d sur d𝑥 du logarithme népérien du logarithme népérien de 𝑦 égale à d sur d𝑥 de notre côté droit. Soit 𝑥 logarithme népérien de 𝑥 plus le logarithme népérien du logarithme népérien de 𝑥. Nous pouvons séparer notre partie de droite puisque nous savons que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées. Commençons par dériver notre deuxième terme car nous pouvons ensuite appliquer la même méthode à notre partie de gauche.

Pour dériver cela, nous pouvons appliquer le résultat connu que d sur d𝑥 du logarithme népérien de 𝑢 où 𝑢 est une fonction dérivable de 𝑥 est un sur 𝑢 fois d𝑢 par d𝑥. Ceci pour 𝑢 supérieur à zéro. Pour notre deuxième terme, nous avons 𝑢 est égal au logarithme népérien de 𝑥 et nous savons que d𝑢 sur d𝑥 est alors un sur 𝑥. Ainsi, par le résultat connu, nous avons d sur d𝑥 du logarithme népérien de 𝑢 est un sur le logarithme népérien de 𝑥 fois un sur 𝑥. Cela équivaut à un sur 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥. Maintenant, nous pouvons appliquer exactement le même processus à notre côté gauche, cette fois avec 𝑢 est égal au logarithme népérien de 𝑦.

Rappelez-vous, notre résultat dit que nous avons un sur 𝑢 fois d𝑢 par d𝑥, qui est un sur le logarithme népérien de 𝑦 fois sa dérivée par rapport à 𝑥. Seulement, rappelons que 𝑦 est en fait une fonction de 𝑥. Encore une fois, selon notre résultat connu, nous avons un sur 𝑦 fois d𝑦 par d𝑥, de sorte que la dérivée sur notre gauche est un sur le logarithme népérien de 𝑦 fois un sur 𝑦 d𝑦 sur d𝑥. En faisant de l’espace, cela nous donne un sur 𝑦 fois le logarithme népérien de 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥 sur notre gauche. Maintenant, il nous reste notre premier terme sur le côté droit. Nous avons la dérivée par rapport à 𝑥 d’un produit. Soit 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥.

Nous pouvons donc utiliser la règle de produit pour la dérivation. Autrement dit, si 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables de 𝑥, alors d sur d𝑥 de leur produit 𝑢𝑣 est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Ainsi, dans notre cas, si 𝑢 est égal à 𝑥 et 𝑣 est le logarithme népérien de 𝑥, nous avons d𝑢 sur d𝑥 est égal à un et d𝑣 sur d𝑥 est un sur 𝑥. En utilisant la règle du produit, nous avons 𝑢, qui est 𝑥, fois un sur 𝑥, qui est d𝑣 par d𝑥, plus le logarithme népérien de 𝑥, qui est 𝑣, fois un, qui est d𝑢 par d𝑥. Puisque nos 𝑥 s’annulent, cela nous donne un plus le logarithme népérien de 𝑥.

En faisant de la place à nouveau, nous avons terminé notre dérivation. Cela nous amène à notre dernière étape quatre dans la dérivation logarithmique, c’est-à-dire trouver d𝑦 sur d𝑥. Réorganisons notre côté droit et multiplions les deux côtés par 𝑦 fois le logarithme népérien de 𝑦, sur notre gauche ceux-ci s’annulent et nous nous retrouvons avec d𝑦 sur d𝑥 sur le côté gauche. Nous avons que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 où 𝑦 est 𝑥 élevé à la puissance 𝑥 élevé à la puissance 𝑥 est égal à 𝑦 fois le logarithme népérien de 𝑦 le tout multiplié par le logarithme népérien de 𝑥 plus un sur 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥 plus un.