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Vidéo question :: Détermination du point d’équilibre lorsqu’un corps est placé au bord d’une calotte hémisphérique uniforme Mathématiques • Troisième année secondaire

Une calotte hémisphérique uniforme de masse 21 kg est au repos sur un plan horizontal lisse. Un corps de masse de 14 kg est placé sur le bord de cette calotte, la faisant basculer de sorte que le plan du bord de la calotte soit à un angle de 𝛼 par rapport à l’horizontale lorsque le système est en équilibre. Trouvez la valeur de tan 𝛼.

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Une calotte hémisphérique uniforme de masse 21 kilogrammes est au repos sur un plan horizontal lisse. Un corps de masse de 14 kilogrammes est placé sur le bord de cette calotte, la faisant basculer de sorte que le plan du bord de la calotte soit à un angle de 𝛼 par rapport à l’horizontale lorsque le système est en équilibre. Trouvez la valeur de tan de 𝛼.

Commençons par dessiner un diagramme de corps libre. Voici notre calotte hémisphérique uniforme. On va dire qu’elle a un rayon de 𝑟 unités. Un corps de masse de 14 kilogrammes est placé sur le bord de cette calotte, provoquant son basculement. On sait que le poids de ce corps est dirigé vers le bas et son intensité est donnée par la masse multipliée par l’accélération de la pesanteur, donc 14𝑔. Et on sait également que le plan du bord de la calotte est à un angle de 𝛼 par rapport à l’horizontale.

Mais que fait-on avec le poids vers le bas de la calotte hémisphérique uniforme ? Eh bien, parce que c’est uniforme, on peut rappeler une formule pour nous aider à trouver le centre de masse. Le centre de masse de notre calotte hémisphérique uniforme se trouve sur l’axe de symétrie à une distance de 𝑟 sur deux du point 𝑜. Eh bien, voici l’axe de symétrie. Et donc notre force descendante de 21𝑔 doit agir ici.

Comme on a notre diagramme, on va voir ce que cela signifie pour que le système soit en équilibre. Premièrement, on sait que pour qu’un corps soit en équilibre, la somme de toutes les forces agissant sur ce corps doit être égale à zéro et la somme de tous les moments agissant sur le corps doit être égale à zéro, où le moment, qui est l’effet de rotation d’une force, est calculé en multipliant la norme de cette force par la distance perpendiculaire de la ligne d’action de cette force au point autour duquel l’objet tente de tourner.

Et donc imaginons que l’on va prendre les moments autour de 𝑜. On a une force de 21𝑔 et une force de 14𝑔. On doit calculer la distance perpendiculaire de 𝑜 à la ligne d’action de ces forces. Commençons par la force de 14𝑔. On ajoute ici un triangle rectangle. Les angles alternes sont égaux, donc l’angle inclus est 𝛼. Et appelons le côté que l’on essaie de trouver, qui est la distance perpendiculaire de 𝑜 à cette force descendante de 14𝑔, 𝑥. Par rapport à l’angle inclus, on doit trouver la longueur du côté adjacent. Et on a défini l’hypoténuse égale à 𝑟.

Alors relions-les en utilisant le rapport cosinus tel que cos de 𝛼 est 𝑥 sur 𝑟. On va trouver une expression pour 𝑥 en multipliant par 𝑟. Et on obtient que 𝑥 est égal à 𝑟 cos 𝛼. On ajoute cela au schéma. Ensuite, on considère la force de 21𝑔. Voici notre triangle. Alors, l’angle inclus ici est 𝛼. On peut se convaincre que cela est vrai puisque l’on sait que le bord de l’hémisphère et la ligne d’action du centre de la masse à 𝑜 doivent se rencontrer à 90 degrés.

Les angles sur une droite totalisent 180. Donc, cet angle ici est de 90 moins 𝛼. Et puis si l’on soustraie 90 moins 𝛼 et 90 de 180 degrés, c’est la somme des angles intérieurs d’un triangle, on obtient que notre angle inclus est 𝛼. Cette fois, on s’intéresse au côté opposé et à l’hypoténuse de ce triangle. On va donc utiliser le rapport sinus. Cette fois, le sin de 𝛼 est 𝑦 sur 𝑟 sur deux. Et on peut résoudre pour 𝑦 en multipliant par 𝑟 sur deux. Donc 𝑦 est 𝑟 sur deux sin 𝛼. Ajoutons cela au schéma. Et on est prêt à calculer les moments.

Alors, lorsque l’on calcule des moments par rapport à un point, on doit définir un sens comme positif. Disons que le sens inverse des aiguilles d’une montre est positif. En pensant à notre force de 21𝑔, on multiplie la force par la distance perpendiculaire. C’est 21𝑔 fois 𝑟 sur deux sin 𝛼. Cette force essaie à pivoter l’objet dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Et donc son moment est positif. L’autre force, la force de 14𝑔, essaie de tourner l’objet dans le sens des aiguilles d’une montre. Et donc son moment est négatif.

La force multipliée par la distance perpendiculaire est 14𝑔 fois 𝑟 cos 𝛼. Et on sait que le corps est en équilibre. Fixons donc cela à zéro. Rappelez-vous, on veut trouver la valeur de tan de 𝛼. Et on a deux variables pour l’instant C’est-à-dire 𝑟 et 𝛼. Bien sûr, 𝑟 est le rayon de notre hémisphère. Et donc il ne peut pas être égal à zéro. Cela signifie que l’on peut diviser toute notre équation par 𝑟. De même, 𝑔 est l’accélération de la pesanteur. Elle est environ 9,8. Et on peut donc diviser par 𝑔.

Notez que l’on peut également diviser tout par sept. 21 divisé par sept est trois, et 14 divisé par sept est deux. Et donc notre équation devient trois sur deux sin 𝛼 moins deux cos 𝛼 est égal à zéro. On a donc une équation purement en termes de 𝛼. Mais comment lier sin 𝛼 et cos 𝛼 à tan 𝛼 ? Eh bien, on sait que l’identité trigonométrique tan 𝛼 est égale à sin 𝛼 sur cos 𝛼. Et donc on va manipuler notre équation. On le fait en ajoutant cos 𝛼 des deux côtés.

On obtient trois sur deux sin 𝛼 égale deux cos 𝛼. Ensuite, si l’on divise par cos 𝛼, sur le côté gauche, on va avoir sin 𝛼 sur cos 𝛼. Donc, trois sur deux sin 𝛼 sur cos 𝛼 est égal à deux. Et donc on remplace sin 𝛼 sur cos 𝛼 par tan 𝛼.

On est presque fini. Pour trouver la valeur de tan de 𝛼, il suffit de diviser par trois sur deux. tan de 𝛼 est alors deux divisé par trois sur deux, ce qui équivaut à deux fois deux sur trois, ce qui est quatre tiers. On peut dire alors que la valeur de tan 𝛼 dans ces circonstances est de quatre tiers.

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