Transcription de la vidéo
La figure montre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁. Chacun des carrés du quadrillage sur la figure a un côté de longueur égale à un. Calculez 𝐀 scalaire 𝐁.
Cette question nous donne deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 sous la forme de flèches dessinées sur un diagramme. On nous demande de calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs, 𝐀 scalaire 𝐁. Commençons par rappeler la définition du produit scalaire de deux vecteurs. Nous allons considérer deux vecteurs généraux, que nous appellerons 𝐂 et 𝐃. Et nous supposerons que ces deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Ensuite, nous pouvons écrire ces vecteurs sous forme de composante comme une composante 𝑥 marquée avec un indice 𝑥 multiplié par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦 marquée avec un indice 𝑦 multiplié par 𝐣 chapeau.
Rappelez-vous que 𝐢 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Ensuite, le produit scalaire 𝐂 scalaire 𝐃 est égal à la composante 𝑥 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐃 plus la composante 𝑦 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐃. Donc, en général, le produit scalaire de deux vecteurs est donné par le produit des composantes 𝑥 de ces deux vecteurs plus le produit de leurs composantes 𝑦. Cette expression pour le produit scalaire de deux vecteurs nous dit que si nous voulons calculer le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁, alors nous devons calculer les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos vecteurs 𝐀 et 𝐁.
Maintenant, les vecteurs 𝐀 et 𝐁 nous sont donnés comme des flèches dessinées sur un diagramme. Et on nous dit dans la question que les carrés du quadrillage sur ce diagramme ont chacun un côté de longueur égale à un. Si nous ajoutons un ensemble d’axes à notre diagramme avec l’origine positionnée à la queue des deux vecteurs, alors nous pouvons facilement compter le nombre de carrés dont chaque vecteur s’étend dans la direction 𝑥 et la direction 𝑦. Et puisque nous savons que chaque carré a un côté de longueur un, alors le nombre de carrés donne directement les composantes 𝑥 et 𝑦 des vecteurs.
Commençons par compter les carrés du vecteur 𝐀. Nous voyons que 𝐀 s’étend de quatre unités dans le sens positif suivant 𝑥 et deux unités dans le sens positif suivant 𝑦. Cela signifie que la composante 𝑥 de 𝐀 est quatre et la composante 𝑦 est deux. Nous pouvons donc écrire 𝐀 sous forme de composantes comme étant quatre 𝐢 chapeau plus deux 𝐣 chapeau. Maintenant, nous allons faire la même chose pour le vecteur 𝐁. Nous trouvons que 𝐁 s’étend de trois unités dans le sens négatif suivant 𝑥 et de six unités dans le sens positif suivant 𝑦. Ainsi, la composante 𝑥 de 𝐁 est moins trois et la composante 𝑦 est plus six. Et sous forme de composantes, nous avons que 𝐁 est égal à moins trois 𝐢 chapeau plus six 𝐣 chapeau.
Nous avons maintenant nos deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 écrits sous forme de composantes, ce qui signifie que nous sommes prêts à calculer le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁. De notre expression générale pour le produit scalaire de deux vecteurs, nous voyons que le premier terme de cette expression est donné par le produit des composantes 𝑥 des deux vecteurs. Donc, dans notre cas, nous avons besoin de la composante 𝑥 de 𝐀, qui est quatre, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐁, qui est moins trois. Ensuite, nous devons ajouter à cela le produit des composantes 𝑦 des vecteurs. Dans ce cas, il s’agit de la composante 𝑦 de 𝐀, qui est deux, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐁, qui est six.
Nous avons maintenant une expression pour le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁. Et tout ce qui reste à faire est calculer ce côté droit. Notre premier terme est quatre multiplié par moins trois, et cela nous donne moins 12. Notre deuxième terme est deux multiplié par six, ce qui nous donne un résultat positif de 12. Ensuite, nous avons moins 12 plus 12, ce qui donne un résultat de zéro. Et donc notre réponse finale est que le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁 est égal à zéro.