Transcription de la vidéo
Le schéma représente un circuit logique composé de trois portes AND. Combien y a-t-il de combinaisons possibles différentes pour les valeurs d’entrée de ce circuit ?
On nous donne le schéma d’un circuit logique composé de trois portes AND. Ce circuit a quatre entrées appelées A, B, C et D. Nous pouvons voir que les entrées A et B sont les deux entrées de cette porte AND en haut et que les entrées C et D sont les deux entrées de cette porte AND en bas. Les sorties des deux portes AND deviennent les entrées de cette troisième porte AND à droite du circuit. Et la sortie de cette troisième porte AND correspond à la sortie globale de ce circuit logique. Alors, dans cette question, il se trouve que cette valeur de sortie ne nous intéresse pas. On nous demande seulement de considérer les quatre valeurs d’entrée. Plus précisément, nous devons déterminer le nombre de combinaisons possibles des valeurs d’entrées.
Pour cela, rappelons qu’il n’y a que deux valeurs possibles pour les valeurs d’un circuit logique, 0 ou 1. Donc dans ce circuit, les entrées peuvent prendre une valeur de 0 ou une valeur de 1. Ainsi, l’entrée A peut valoir 0 ou 1. Cela signifie qu’il y a deux possibilités pour la valeur de l’entrée A. De même, l’entrée B peut valoir 0 ou 1. Il y a donc deux possibilités pour la valeur de l’entrée B.
De même, l’entrée C peut aussi valoir 0 ou 1. Et enfin, il en est de même pour l’entrée D. Cette valeur peut être 0 ou 1, donc encore deux possibilités. Résumons cela en disant que toutes les entrées A, B, C et D peuvent prendre une valeur de 0 ou de 1, autrement dit, il y a deux valeurs possibles pour ces quatre entrées.
On nous demande de déterminer le nombre de combinaisons possibles de ces valeurs d’entrée. Alors, une méthode possible consiste à passer en revue les différentes combinaisons et à les écrire. Nous pourrions faire cela, en commençant, par exemple, par le cas où les quatre entrées A, B, C et D valent 0. Bien sûr, ces quatre entrées pourraient également valoir 1 et la valeur de chaque entrée est complètement indépendante de la valeur des autres. Donc, à partir de là, il faudrait être méthodique et déterminer toutes les différentes combinaisons possibles de 0’s et de 1’s. Nous pourrions avoir le cas où les entrées A, B et C sont toutes égales à 0, mais l’entrée D est égale à 1. Nous pourrions aussi avoir A égal à 0, B égal à 0, C égal à 1 et D égal à 0.
Alors, nous pourrions continuer ainsi jusqu’à avoir lister toutes les combinaisons possibles. Et il faudrait ensuite compter le nombre de combinaisons obtenues pour répondre à la question. Mais nous n’allons pas procéder de cette manière car il existe une méthode plus efficace. Le problème en essayant de lister toutes les combinaisons possibles de cette manière, c’est que cela peut prendre un certain temps et aussi qu’il est facile d’oublier une des possibilités.
Alors, passons maintenant à cette autre méthode qui est beaucoup plus efficace. Nous avons quatre entrées différentes et chacune peut prendre deux valeurs possibles. Ces quatre entrées sont complètement indépendantes les unes des autres, ce qui signifie lorsque l’entrée A vaut 0 ou 1, l’entrée B peut valoir 0 ou 1, l’entrée C peut valoir 0 ou 1 et l’entrée D peut aussi valoir 0 ou 1. Donc le nombre total de combinaisons possibles doit être égal aux deux possibilités de l’entrée A multipliées par les deux possibilités de l’entrée B, multipliées par les deux possibilités de l’entrée C et enfin, multipliées par les deux possibilités de l’entrée D.
Ce nombre total de combinaisons est alors égal à deux fois deux fois deux fois deux, ce qui correspond à un facteur deux pour chacune des quatre entrées du circuit logique. Nous pouvons aussi écrire ce produit de facteurs de deux comme deux à la puissance quatre. En regardant cette expression donnant le nombre de combinaisons, nous pouvons voir que « deux » correspond au nombre de valeurs possibles pour chaque entrée, car chacune des entrées peut valoir 0 ou 1. Nous pouvons également voir que le quatre, la puissance du deux, correspond au nombre d’entrées différentes, puisque nous avons quatre entrées, A, B, C et D.
En fait, pour aller plus loin, on peut généraliser ce résultat, si nous avons un circuit logique avec 𝑁 entrées, alors il y a deux à la puissance 𝑁 combinaisons possibles des valeurs d’entrée. En effet, chacune de ces 𝑁 entrées peut prendre deux valeurs d’entrée, 0 ou 1. Donc, lorsque nous avons quatre entrées, nous avons deux fois deux fois deux fois deux, ce qui fait quatre facteurs de deux et cela nous donne deux à la puissance quatre. Et de même, pour 𝑁 entrées nous avons 𝑁 facteurs de deux que nous pouvons écrire comme deux à la puissance 𝑁. Avec quatre entrées, nous savons que le nombre de combinaisons est de deux à la puissance quatre. En calculant cette valeur, nous obtenons que le nombre de combinaisons différentes possibles pour les valeurs d’entrée de ce circuit est de 16.
Il y a un point important qui reste à mentionner au sujet de la première méthode dont nous avons parlé, à savoir essayer de lister toutes les combinaisons possibles. Dans le cas présent, qui est un circuit comprenant quatre entrées, nous avons établi que nous aurions dû écrire 16 combinaisons. C’est déjà un bon nombre de combinaisons possibles, mais il aurait été possible de le faire. Mais si on nous avait donné un circuit comportant huit entrées au lieu de quatre ? Alors, en utilisant l’expression générale pour un circuit avec 𝑁 entrées, nous savons que le nombre de combinaisons est de deux à la puissance 𝑁, et dans ce cas, 𝑁 est égal à huit. Alors, le nombre de combinaisons différentes pour un circuit à huit entrées est de deux à la puissance huit, ce qui fait 256.
En utilisant cette expression générale, nous avons pu déterminer le résultat assez rapidement, alors qu’il est tout à fait impossible de lister 256 combinaisons possibles des huit entrées à la main. Une autre raison d’utiliser cette deuxième méthode plutôt que d’essayer de lister explicitement les différentes combinaisons possibles est donc que cette méthode fonctionne quel que soit le nombre d’entrées dans le circuit.