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Vidéo de la leçon: Produits cartésiens Mathématiques • Troisième préparatoire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment effectuer un produit cartésien et utiliser les opérations appliquées aux ensembles.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment effectuer un produit cartésien et utiliser les opérations appliquées aux ensembles. Nous allons commencer par expliquer ce qu’on entend par produit cartésien puis nous verrons d’autres notations que nous utiliserons dans cette vidéo.

Le produit cartésien 𝐴 fois 𝐵 de deux ensembles 𝐴 et 𝐵 est constitué de tous les couples 𝑥, 𝑦, où 𝑥 est un élément de 𝐴 et 𝑦 est un élément de 𝐵. Cela signifie que le produit cartésien de deux ensembles est lui-même un ensemble constitué de couples. Un tel ensemble formé de ces couples est défini comme une relation.

À titre d’exemple, considérons les deux ensembles, l’ensemble 𝐴 contient les nombres deux, trois et sept et l’ensemble 𝐵 contient les éléments cinq et sept. Le produit cartésien 𝐴 fois 𝐵 sera donc constitué de couples. Chacun de ces couples aura une valeur 𝑥 qui est un élément de l’ensemble 𝐴 et une valeur 𝑦 qui est un élément de l’ensemble 𝐵.

Commençons par considérer le premier élément de l’ensemble 𝐴, le nombre deux. On peut associer cela à l’élément cinq de l’ensemble 𝐵, ce qui nous donne le couple deux, cinq. On peut également avoir le couple deux, sept. On peut alors répéter ce procédé avec le trois de l’ensemble 𝐴, ce qui nous donne les couples trois, cinq et trois, sept. Nos deux derniers couples sont sept, cinq et sept, sept. Il y a six couples dans le produit cartésien 𝐴 fois 𝐵.

Si, d’un autre côté, nous avions considéré le produit cartésien 𝐵 fois 𝐴, les valeurs de 𝑥 auraient été dans l’ensemble 𝐵 et les valeurs de 𝑦 dans l’ensemble 𝐴. Nous aurions les couples cinq, deux ; cinq, trois ; cinq, sept. Nous aurions également les couples sept, deux ; sept, trois et sept, sept. Bien que 𝐵 fois 𝐴 a également six couples, nous pouvons voir que le produit cartésien 𝐴 fois 𝐵 n’est pas égal à 𝐵 fois 𝐴. Le seul couple qu’il y a en commun est sept, sept. Ceci parce que l’ordre compte. La coordonnée 𝑥 est devenue la coordonnée 𝑦 et vice versa.

Nous rappelons que l’intersection de deux ensembles 𝐴 et 𝐵 est notée 𝐴 n 𝐵. L’intersection est l’ensemble des éléments communs aux deux ensembles. Dans cette question, 𝐴 inter 𝐵 est égal à l’ensemble qui est constitué de l’élément sept car c’est le seul nombre qui est commun à l’ensemble 𝐴 et l’ensemble 𝐵. L’union des ensembles 𝐴 et 𝐵 est notée 𝐴 u 𝐵. Ce sont tous les éléments qui appartiennent à l’ensemble 𝐴 ou à l’ensemble 𝐵. On y inclut tous les éléments de l’ensemble 𝐴 plus tous les éléments supplémentaires de l’ensemble 𝐵 qui ne sont pas dans l’ensemble 𝐴, dans ce cas cinq. 𝐴 union 𝐵 est donc égal à l’ensemble deux, trois, sept et cinq. Puisque sept est dans l’ensemble 𝐴 et dans l’ensemble 𝐵, on n’a pas besoin de l’écrire deux fois.

Nous allons maintenant voir quelques questions dans lesquelles on doit déterminer les produits cartésiens d’ensembles avec et sans diagrammes de Venn.

Utilisez le diagramme de Venn ci-dessous pour déterminer le produit cartésien de 𝑋 et 𝑍.

Le signe de multiplication dans la question représente le produit cartésien. Celui-ci est constitué de tous les couples. Nous pouvons commencer par écrire les éléments de l’ensemble 𝑋, 𝑌 et 𝑍. L’ensemble 𝑋 ne contient qu’un élément, le nombre six. L’ensemble 𝑌 contient les éléments quatre et neuf. L’ensemble 𝑍 contient les éléments cinq, trois et quatre. Cinq et trois sont dans l’ensemble 𝑍, tandis que quatre est dans l’intersection de l’ensemble 𝑍 et de l’ensemble 𝑌. Ce qui nous intéresse c’est le produit cartésien de l’ensemble 𝑋 et de l’ensemble 𝑍.

Puisque la première lettre du produit cartésien est 𝑋, les éléments de cet ensemble seront positionnés en premier dans nos couples. Les éléments de l’ensemble 𝑍 seront positionnés en second. Notre premier couple est donc six, cinq. Ensuite, on a six, trois, le six de l’ensemble 𝑋 et le trois de l’ensemble 𝑍. Enfin, on a le couple six, quatre. Chacun des éléments de l’ensemble 𝑍 est maintenant associé au six de l’ensemble 𝑋. Le produit cartésien de l’ensemble 𝑋 et l’ensemble 𝑍 est six, cinq ; six, trois et six, quatre.

Dans notre prochaine question, nous n’aurons pas de diagramme de Venn.

Si l’ensemble 𝑋 contient les éléments huit, quatre, six ; l’ensemble 𝑌 est égal à six, sept ; et l’ensemble 𝑍 est égal à sept, déterminez le produit cartésien de l’ensemble 𝑋 et de l’intersection des ensembles 𝑌 et 𝑍.

Rappelons que le produit cartésien de deux ensembles est constitué de tous les couples. L’intersection de deux ensembles est formée des éléments qui sont communs aux deux ensembles, dans ce cas les ensembles 𝑌 et 𝑍. L’ensemble 𝑌 contient les éléments six et sept, alors que l’ensemble 𝑍 ne contient que le nombre sept. Cela signifie que le seul nombre qui est commun aux deux ensembles est sept. L’intersection des ensembles 𝑌 et 𝑍 est égale à sept. On nous dit dans la question que l’ensemble 𝑋 contient les nombres huit, quatre et six.

Nous devons maintenant déterminer le produit cartésien de ces deux ensembles. Puisque la première valeur du produit cartésien est 𝑋, chacun des éléments de 𝑋 sera le premier nombre des couples. Notre premier couple est donc huit, sept. Ensuite, on a quatre, sept. Enfin, on a le couple six, sept. Chacune de nos valeurs de l’ensemble 𝑋 a maintenant été associée à la valeur sept de l’ensemble 𝑌 inter 𝑍. Le produit cartésien contient les couples huit, sept ; quatre, sept et six, sept.

Dans la prochaine question, nous allons introduire la notation « union ».

Déterminez le produit cartésien de 𝑍 moins 𝑌 par 𝑋 union 𝑌 en utilisant le diagramme de Venn ci-dessous.

Rappelons que le produit cartésien est constitué de tous les couples. Rappelons également que l’union de deux ensembles correspond aux éléments qui appartiennent à au moins un des ensembles. Nous pouvons voir d’après le diagramme de Venn que l’ensemble 𝑋 ne contient que le nombre quatre ; l’ensemble 𝑌 contient les éléments sept et neuf et l’ensemble 𝑍 contient les éléments trois, huit et sept.

La première partie de notre question est 𝑍 moins 𝑌. Pour effectuer ce calcul, on prend tous les éléments de 𝑍 et on supprime tous les éléments qui apparaissent également dans l’ensemble 𝑌. Le seul élément qui est commun aux deux ensembles est le nombre sept. Cela signifie que 𝑍 moins 𝑌 contient les éléments trois et huit.

Puisqu’il il n’y a pas d’intersection entre l’ensemble 𝑋 et l’ensemble 𝑌 - c’est-à-dire que les parties du diagramme de Venn ne se chevauchent pas car il n’y a pas d’élément commun aux deux ensembles - l’union de 𝑋 et 𝑌 sera égale à tous les éléments de 𝑋 et tous les éléments de 𝑌. 𝑋 union 𝑌 est donc égal à quatre, sept, neuf. Nous pouvons maintenant déterminer le produit cartésien de ces deux ensembles.

Le premier nombre de nos couples proviendra de l’ensemble 𝑍 moins 𝑌. Et le second nombre proviendra de l’ensemble 𝑋 union 𝑌. Notre premier couple est trois, quatre. On a ensuite trois, sept et trois, neuf. On répète ensuite cela avec huit, ce qui nous donne huit, quatre ; huit, sept et huit, neuf. Le produit cartésien de 𝑍 moins 𝑌 et 𝑋 union 𝑌 contient les six couples trois, quatre ; trois, sept ; trois, neuf ; huit, quatre ; huit, sept ; huit, neuf.

Dans notre prochaine question, nous allons travailler dans l’autre sens, car on nous donne le produit cartésien.

Si le produit cartésien de l’ensemble 𝑋 et de l’ensemble 𝑌 est égal à l’ensemble des couples huit, zéro ; huit, six ; un, zéro ; un, six ; trois, zéro ; trois, six, déterminez l’ensemble 𝑋.

La notation dans la question représente le produit cartésien. Celui-ci est l’ensemble de tous les couples. Puisque la première valeur de notre produit cartésien est 𝑋, les premières valeurs de nos couples doivent toutes être contenues dans l’ensemble 𝑋. De même, les secondes valeurs des couples doivent être contenues dans l’ensemble 𝑌. Puisqu’il il y a trois valeurs différentes de 𝑋 dans notre ensemble de couples, l’ensemble 𝑋 contiendra ces trois valeurs. Ce sont les nombres huit, un et trois. Il y a deux différentes valeurs de 𝑌, les nombres zéro et six. Puisque nous ne sommes intéressés que par l’ensemble 𝑋, la bonne réponse est huit, un et trois.

Dans notre prochaine question, nous devons déterminer la relation à laquelle notre couple appartient.

Si 𝑋 est égal à l’ensemble zéro, moins un et 𝑌 est égal à l’ensemble huit, moins quatre, moins trois, moins deux, alors, laquelle des relations contient l’élément un, moins quatre ? Est-ce option (A) 𝑋 au carré, (B) 𝑌 au carré, (C) 𝑋 fois 𝑌 ou (D) 𝑌 fois 𝑋 ?

La signe de multiplication dans les options (C) et (D) correspond respectivement au produit cartésien des ensembles 𝑋 et 𝑌 et des ensembles 𝑌 et 𝑋. Le produit cartésien est l’ensemble de tous les couples. Avant de commencer cette question, il convient de noter que l’option (A) 𝑋 au carré est égal au produit cartésien de l’ensemble 𝑋 par l’ensemble 𝑋. De même, 𝑌 au carré est égal au produit cartésien de l’ensemble 𝑌 par l’ensemble 𝑌.

La première valeur de notre couple, moins un, se trouve dans l’ensemble 𝑋. La seconde valeur, moins quatre, se trouve dans l’ensemble 𝑌. Nous pouvons donc conclure que l’option (C) qui est le produit cartésien de 𝑋 et 𝑌 est la bonne réponse. Cette relation contient le couple moins un, moins quatre.

Une autre méthode consisterait à répertorier tous les couples de chaque relation. Par exemple, le produit cartésien de 𝑋 et 𝑌 contient les couples zéro, huit ; zéro, moins quatre ; zéro, moins trois ; zéro, moins deux ; moins un, huit ; moins un, moins quatre ; moins un, moins trois et moins un, moins deux. Encore une fois, nous voyons que moins un, moins quatre appartient à ce produit cartésien.

Dans notre dernière question, nous aurons à faire à l’union de deux produits cartésiens.

Déterminez l’union des produits cartésiens 𝑋 et 𝑌 et 𝑌 et 𝑍 en utilisant le diagramme de Venn ci-dessous.

Nous rappelons que l’union de deux ensembles est l’ensemble des éléments qui appartiennent au premier ou au second ensemble. Le produit cartésien de deux ensembles est l’ensemble de tous les couples. Nous pouvons voir d’après le diagramme de Venn que l’ensemble 𝑋 contient l’élément un ; l’ensemble 𝑌 contient les éléments sept et cinq ; l’ensemble 𝑍 contient les éléments deux, zéro et cinq. Notez que le nombre cinq apparaît dans les ensembles 𝑌 et 𝑍 car il s’agit de l’intersection de ces deux ensembles.

On peut utiliser les éléments de l’ensemble 𝑋 et de l’ensemble 𝑌 pour calculer le produit cartésien de 𝑋 et 𝑌. Celui-ci contient les deux couples : un, sept et un, cinq. Notez que les valeurs de 𝑋 sont positionnées en premières dans notre couple et les valeurs de 𝑌 sont positionnées en secondes. On peut répéter ce procédé pour le produit cartésien de l’ensemble 𝑌 et de l’ensemble 𝑍. Dans ce produit cartésien, on a six couples : sept, deux ; sept, zéro ; sept, cinq ; cinq, deux ; cinq, zéro et cinq, cinq.

Nous devons maintenant déterminer l’union de ces deux ensembles. Cela inclura tous les couples qui sont soit dans le produit cartésien de 𝑋 et 𝑌, ou dans le produit cartésien de 𝑌 et 𝑍. Aucun des couples ne se répète. Par conséquent, nous devons inclure les huit couples. La bonne réponse est la suivante, les huit couples un, sept ; un, cinq ; sept, deux ; sept, zéro ; sept, cinq ; cinq, deux ; cinq, zéro et cinq, cinq.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons appris dans cette vidéo que le produit cartésien 𝐴 fois 𝐵 de deux ensembles 𝐴 et 𝐵 est constitué de tous les couples 𝑥, 𝑦, où 𝑥 est un élément de 𝐴 et 𝑦 est un élément de 𝐵. Nous avons également rappelé que l’intersection de deux ensembles 𝐴 et 𝐵 est notée 𝐴 n 𝐵. L’intersection est l’ensemble de tous les éléments qui appartiennent aux ensembles 𝐴 et 𝐵. Sur un diagramme de Venn, il s’agit du chevauchement des deux parties. L’union de deux ensembles 𝐴 et 𝐵 est notée 𝐴 u 𝐵. Il s’agit de l’ensemble des éléments qui apparaissent dans l’ensemble 𝐴 ou dans l’ensemble 𝐵. Lorsqu’on écrit l’union, on n’écrit les éléments qui sont dans l’intersection qu’une seule fois. Nous avons également vu que dans certaines de nos questions, un diagramme de Venn peut être utile pour résoudre ce type de problèmes.

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