Transcription de la vidéo
Déterminez la dérivée première de la fonction définie par 𝑦 est égal à cinq 𝑥 au carré moins six à la puissance six.
Une chose que nous pourrions faire est de prendre cinq 𝑥 au carré moins six à la puissance six et de développer - c’est-à-dire en utilisant le triangle de Pascal. Après avoir fait cela, nous obtiendrions un polynôme en 𝑥, que nous pourrions ensuite dériver terme à terme de manière classique. Seulement, cela prendra beaucoup de temps à la fois pour développer binomialement l’expression puis, pour dériver tous les termes obtenus.
Il y a sûrement un meilleur moyen. Heureusement même, il existe un meilleur moyen. Nous posons 𝑧 égal cinq 𝑥 au carré moins six - soit l’expression à l’intérieur de la parenthèse. Ensuite, simplement, en remplaçant cinq 𝑥 au carré moins six par 𝑧, nous voyons que 𝑦 égale 𝑧 puissance six.
Comment cela nous aide-t-il à trouver la dérivée de la fonction par rapport à 𝑥 ? Bien, nous pouvons utiliser la règle de derivation en chaîne, qui dit que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est la dérivée de 𝑦 par rapport à une autre variable 𝑧 fois la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥. Nous pourrions presque aborder ceci comme si les dérivées 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑧 et 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 sont des fractions et que les 𝑑𝑧 s’annulent.
En appliquant la règle de derivation en chaîne, nous devons maintenant trouver 𝑑𝑦 par 𝑑𝑧 et 𝑑𝑧 par 𝑑𝑥 et les multiplier ensemble. Commençons par 𝑑𝑦 par 𝑑𝑧. 𝑦 est égal à 𝑧 puissance six. Ainsi, en dérivant 𝑦 par rapport à 𝑧, nous obtenons six fois 𝑧 puissance cinq. Ici, nous avons utilisé le fait que tout comme la dérivée d’une puissance de 𝑥 par rapport à 𝑥, vous trouvez la dérivée d’une puissance de 𝑧 par rapport à 𝑧 en multipliant par la puissance de 𝑧 et en réduisant l’exposant d’une unité.
Peu importe la variable - que ce soit 𝑥 ou 𝑧 ou même 𝑄 majuscule. Après avoir trouvé 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑧, nous devons maintenant trouver 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥. Bien, nous savons que 𝑧 est égal à cinq 𝑥 au carré moins six. En dérivant cela, nous obtenons que 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 vaut 10𝑥. Par conséquent, nous voyons que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est six 𝑧 puissance cinq fois 10𝑥, ce qui donne 60𝑥𝑧 puissance cinq. Nous avons presque terminé ici. La dernière chose à dire est que nous voulons 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en fonction de 𝑥 seulement. Nous pouvons donc substituer notre expression de 𝑧 en fonction de 𝑥. 𝑧 vaut cinq 𝑥 au carré moins six. Ainsi, 60𝑥𝑧 puissance cinq donne 60𝑥 cinq 𝑥 au carré moins six puissance cinq.
Voici notre réponse finale. Bien, comme nous l’avons dit au début de la vidéo, nous pouvons résoudre ce problème sans utiliser la règle de derivation en chaîne. Seulement, l’utilisation de la règle de la chaîne est beaucoup plus efficace. Pour de nombreux problèmes de dérivation, il n’y a aucun moyen d’éviter la règle de derivation en chaîne. Ainsi, il est important de savoir la manipuler.