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Vidéo question :: Trouver le volume du solide généré par la révolution de la zone sous la courbe d’une fonction racine autour de l’axe des 𝑥 Mathématiques • Troisième année secondaire

Calculez le volume du solide obtenu par une rotation de la région délimitée par la courbe d’équation 𝑦 = √ (𝑥 + 1) et les droites d’équations 𝑦 = 0 et 𝑥 = 4 autour de l’axe des 𝑥.

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Calculez le volume du solide obtenu par une rotation de la région délimitée par la courbe d’équation 𝑦 est égal à la racine carrée de 𝑥 plus un et les droits d’équations 𝑦 est égal à zéro et 𝑥 est égal à quatre autour de l’axe des 𝑥.

Premièrement, nous savons que la question nous demande de trouver le volume obtenu en faisant tourner une région autour de l’axe des 𝑥. On nous dit également que cette zone est délimitée par la courbe d’équation 𝑦 est égal à la racine carrée de 𝑥 plus un et les droites d’équations 𝑦 égale zéro et 𝑥 est égal à quatre.

Nous commencerons par tracer ces limites pour avoir une idée de l’endroit où se trouve notre zone. Nous commençons par tracer la courbe 𝑦 est égal à la racine carrée de 𝑥 plus un. Nous voyons qu’elle coupe l’axe des 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à moins un. Ensuite, nous traçons la droite d’équation 𝑦 est égale à zéro, qui correspond à l’axe des 𝑥, et la droite d’équation 𝑥 est égale à quatre. Puisqu’on nous dit que la région est délimitée par ces trois courbes, nous pouvons ajouter la région à notre schéma.

Nous avons donc une fonction positive 𝑓 et nous devons prendre la région délimitée par zéro est inférieur ou égal à 𝑦 inférieur ou égal à 𝑓 de 𝑥 et 𝑎 est inférieur ou égal à 𝑥 inférieur ou égal à 𝑏, puis, la region effectue une rotation autour de l’axe des 𝑥. Nous pouvons donc conclure que le volume du solide généré est égal à l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝜋 multiplié par notre fonction 𝑓 de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥.

La première chose que nous remarquons est que les valeurs 𝑦 dans notre zone sont comrpises entre la fonction racine carrée de 𝑥 plus un et l’axe des abscisses. Nous allons donc simplement définir 𝑓 de 𝑥 comme étant égal à la racine carrée de 𝑥 plus un. Nous remarquons que la racine carrée de 𝑥 plus un est positive. Ainsi, la première condition préalable est vraie.

Ensuite, nous savons que pour notre zone 𝑅, à gauche, les valeurs de 𝑥 sont simplement délimitées par le point moins un. A droite, elles sont délimitées par la droite 𝑥 égale quatre. Ainsi, les valeurs de 𝑥 dans notre région sont comprises entre la droite d’équation 𝑥 est égale à moins un et la droite d’équation 𝑥 est égale à quatre.

Par conséquent, puisque la question nous dit que cette région va effectuer une révolution autour de l’axe des 𝑥, nous pouvons conclure que toutes les conditions préalables sont vraies. Par conséquent, nous pouvons conclure que le volume du solide généré est égal à l’intégrale de moins un à quatre de 𝜋 multiplié par la racine carrée de 𝑥 plus un au carré par rapport à 𝑥.

Nous sommes maintenant en mesure d’évaluer cette intégrale. La première chose que nous remarquons est que 𝜋 n’est qu’une constante. Nous pouvons donc simplement placer ce 𝜋 à l’extérieur de notre intégrale. Ensuite, si nous mettons la racine carrée de 𝑥 plus un au carré, nous obtenons 𝑥 plus un. Cela nous donne 𝜋 multiplié par l’intégrale de moins un à quatre de 𝑥 plus un par rapport à 𝑥.

L’étape suivante consiste à calculer une primitive de 𝑥 et de un, respectivement. Nous savons qu’une primitive de 𝑥 est 𝑥 au carré sur deux. Une primitive de un est juste 𝑥. Bien sûr, nous ignorons notre constante d’intégration parce que nous faisons une intégrale bornée.

Maintenant, tout ce que nous avons à faire est d’évaluer cette primitive aux limites de notre intégrale. L’évaluation de la primitive en moins un et quatre nous donne 𝜋 multiplié par quatre au carré sur deux plus quatre moins moins un au carré sur deux plus moins un. À ce stade, nous pouvons calculer les termes en puissance et simplifier pour obtenir une réponse de 25𝜋 divisé par deux.

Par conséquent, nous avons montré que le volume du solide obtenu en faisant tourner la région délimitée par la courbe d’équation 𝑦 est égal à la racine carrée de 𝑥 plus un et les droites 𝑦 est égal à zéro et 𝑥 est égal à quatre autour de l’axe des 𝑥 est égal à 25𝜋 divisé par deux.

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