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Sachant que 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation 𝑥 au carré moins 16𝑥 moins six égale zéro, trouvez la forme la plus simple de l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 plus 𝑀 et 𝐿𝑀.
On commence par rappeler quelques propriétés concernant toute équation du second degré de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 est non nul. Si les deux racines de l'équation sont 𝑟 un et 𝑟 deux, leur somme 𝑟 un plus 𝑟 deux est égale à moins 𝑏 sur 𝑎. Et le produit des deux racines 𝑟 un fois 𝑟 deux est égal à 𝑐 sur 𝑎.
On nous donne dans cette question l'équation du second degré 𝑥 au carré moins 16𝑥 moins six égale zéro. Cela veut dire que 𝑎 égale un, 𝑏 égale moins 16 et 𝑐 égale moins six. On nous précise que les deux racines sont 𝐿 et 𝑀. Autrement dit, 𝐿 plus 𝑀 égale moins moins 16 sur un. Cela est égal à 16. Le produit de la racine 𝐿 par 𝑀 est égal à moins six sur un. Ce qui est égal à moins six.
On doit trouver l'équation du second degré dont les racines sont 𝐿 plus 𝑀 et 𝐿𝑀. Ainsi, la somme de ces racines est égale à 𝐿 plus 𝑀 plus 𝐿𝑀. On a déjà les valeurs de ces deux éléments. Elles valent 16 et moins six. 16 plus moins six est égal à 16 moins six, soit 10. Ceci est égal à moins 𝑏 sur 𝑎. Quant au produit des racines, il est égal à 𝐿 plus 𝑀 fois 𝐿𝑀. Ce qui est égal à 16 fois moins 6. Ainsi, la valeur moins 96 est égale à 𝑐 sur 𝑎.
Comme 10 et moins 96 sont deux nombres relatifs, on peut considérer que 𝑎 égale un. Cela signifie que 10 est égal à moins 𝑏. Et donc que 𝑏 égale moins 10. Si 𝑎 égale un, 𝑐 égale moins 96. L'équation du second degré dont les racines sont 𝐿 plus 𝑀 et 𝐿𝑀 est 𝑥 au carré moins 10𝑥 moins 96 égale zéro.