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Vidéo question :: Calcul de la réactance inductive d’un circuit Physique • Troisième année secondaire

Un circuit RLC contient un condensateur, une inductance et une résistance ohmique connectées en série. La résistance ohmique a une valeur de 60 Ω. Lorsque la fréquence de la source alternative est 𝑓₀, le courant maximal possible, 𝐼_𝑚, est présent dans le circuit. Et lorsque la fréquence de la source en courant alternatif est augmentée à 2𝑓₀, le courant présent dans le circuit diminue à 𝐼_ (𝑚) / 3. Calcule la réactance de l’inducteur lorsque la fréquence de la source CA est 𝑓₀.

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Un circuit RLC contient un condensateur, une inductance et une résistance ohmique connectées en série. La résistance ohmique a une valeur de 60 Ω. Lorsque la fréquence de la source de courant alternatif est égale à zéro, le courant maximum possible, 𝐼 indice 𝑚, est présent dans le circuit. Et lorsque la fréquence de la source en courant alternatif est augmentée à deux 𝑓 zéro, le courant présent dans le circuit diminue à 𝐼 sous 𝑚 sur trois. Calcule la réactance de l’inducteur lorsque la fréquence de la source CA est égale à zéro.

Ici, on a un circuit série RLC, et on souhaite trouver sa réactance inductive. Commençons par rappeler quelques formules pertinentes pour un circuit comme celui-ci. Répondre à cette question implique un peu d’algèbre, donc ce sera bien de garder ces formules et tout notre travail organisé.

Tout d’abord, regardons la formule générale de l’impédance, 𝑍, d’un circuit, où 𝑅 est la résistance du circuit, 𝑋 indice 𝐿 est sa réactance inductive, et 𝑋 indice 𝐶 est sa réactance capacitive. Il est bon de noter que le seul terme constant dans cette expression est la résistance. Rappelons que les valeurs de réactance, et donc la valeur globale de l’inductance, varient avec la fréquence de la source de courant alternatif.

Maintenant, cette question nous demande de trouver 𝑋 𝐿 lorsque la fréquence de la source ca est 𝑓 zéro. Et on nous a dit qu’à cette fréquence, le courant dans le circuit est au maximum, 𝐼 𝑚. On nous a également dit que lorsque la fréquence vaut deux fois cette valeur, donc deux 𝑓 zéro, le courant diminue d’un facteur trois.

Il y a quelques autres informations qu’il nous faut examiner brièvement avant de nous mettre au travail. Rappelons ensuite que lorsque la source alternative est à la fréquence de résonance, le courant dans le circuit est maximisé. Donc, dans ce cas, la fréquence de résonance est 𝑓 zéro. À la fréquence de résonance, l’impédance du circuit est minimisée et est simplement égale à 𝑅, la résistance du circuit. En regardant la formule d’impédance dans ce cas, ce terme entier, la réactance inductive moins la réactance capacitive, doit être égal à zéro. Enfin, rappelons la formule pour chacune de ces valeurs de réactance. La réactance inductive, que l’on cherche ici, est égale à deux 𝜋𝑓 fois l’inductance, 𝐿, du circuit. Et la réactance capacitive est égale à un sur deux 𝜋𝑓 fois 𝐶, la capacité du circuit.

Bien, maintenant que l’on a rafraîchi nos mémoires, mettons-nous au travail pour trouver 𝑋 𝐿, en particulier sa valeur lorsque la source alternative est à la fréquence de résonance. On a déjà établi qu’à la fréquence de résonance, la réactance inductive moins la réactance capacitive est égale à zéro. On peut donc dire que ces deux valeurs de réactance sont égales. Développons cela en remplaçant chaque valeur dans les expressions, en notant que 𝑓 est égal à 𝑓 zéro ici. On a donc que deux 𝑓 zéro 𝐿 égale un sur deux 𝑓 zéro 𝐶. Or, on sait que ce circuit contient une inductance et un condensateur, mais on ne connait pas réellement de valeur pour 𝐿 ou 𝐶. On devrait donc réorganiser cette expression pour trouver l’un d’entre eux.

Dans ce cas, choisissons simplement d’isoler la capacité dans cette équation. Avec un peu d’algèbre, on obtient que 𝐶 est égal à un sur quatre 𝜋 au carré 𝑓 zéro au carré fois 𝐿. Cette expression nous sera vraiment utile puisque la capacité du circuit est constante, même si la réactance capacitive ne l’est pas. Laissons cela ici pour l’instant et continuons d’utiliser la formule de l’inductance globale du circuit lorsque la source de courant alternatif est deux fois plus élevée que la fréquence de résonance. On substituera cela dans la formule pour 𝑋 𝐿. Mais d’abord, réécrivons l’expression 𝑋 𝐶 en utilisant la valeur de capacité que l’on vient de trouver.

Après avoir fait une petite simplification, on obtient que 𝑋 𝐶 est égal à 𝜋 fois 𝑓 zéro fois 𝐿. Donc, c’est ce que l’on va substituer dans la formule de l’inductance. On doit également remplacer la valeur de 𝑋 𝐿 par deux fois la fréquence de résonance, ce qui est égal à quatre 𝜋𝑓 zéro fois 𝐿. Après cela, notre expression pour l’impédance lorsque la source de courant alternatif est à deux fois la fréquence de résonance peut être écrite comme ceci. Ensuite, la distribution de cette puissance de deux donne 𝑅 au carré plus neuf 𝜋 au carré 𝑓 zéro au carré 𝐿 au carré le tout à la puissance un demi égal 𝑍.

Courage - on se rapproche ! On a cette grande expression pour l’impédance, et on a besoin d’un moyen de la relier à certaines valeurs que l’on connait déjà. Heureusement, on sait que 𝑍 est égal à 𝑅 lorsque le circuit est à la fréquence de résonance. Cet élément nous sera très utile, alors regardons cela de plus près. On peut appliquer la loi d’Ohm, qui stipule que la résistance est égale à la différence de potentiel divisée par le courant. Et on sait qu’à la fréquence de résonance, le courant est maximisé et est égal à 𝐼 indice 𝑚.

Mais qu’en est-il lorsque la source alternative émet deux fois la fréquence de résonance ? Et bien, on sait que la résistance du circuit ne change pas, mais que le courant diminue d’un facteur trois. En supposant que la différence de potentiel appliquée est constante, alors si le courant diminue d’un facteur trois, l’impédance doit augmenter d’un facteur trois. Par conséquent, à deux fois la fréquence de résonance, 𝑍 est égal à trois fois 𝑅. Donc, à cette fréquence, on connait une expression de l’impédance en fonction de la résistance, qui est une valeur connue.

Donc, en plaçant tout cela comme égal à trois 𝑅, travaillons maintenant à la trouver l’inductance 𝐿. Ensuite, une fois que l’on aura cela, on pourra l’insérer dans la formule de 𝑋 𝐿 ce qui nous donnera notre réponse finale. Premièrement, on peut mettre les deux côtés de l’équation au carré. Ensuite, on va travailler pour avoir 𝐿 seul sur un côté du signe égal en soustrayant 𝑅 au carré des deux côtés. Cela nous donne huit 𝑅 au carré égal neuf 𝜋 au carré 𝑓 zéro au carré 𝐿 au carré. Puis, on divise ensuite les deux côtés par neuf 𝜋 au carré 𝑓 zéro au carré. Et ces termes s’annuleront du côté droit, ne laissant que 𝐿 au carré. Ainsi, en prenant maintenant la racine carrée des deux côtés et en simplifiant, on constate que 𝐿 est égal à deux racine deux 𝑅 divisé par trois 𝜋𝑓 zéro. Et on sait que cette valeur est constante.

Tout ce qui reste à faire maintenant est de remplacer l’inductance dans la formule de la réactance inductive. Rappelons-nous que l’on souhaite connaître la réactance de l’inducteur lorsque la source de courant alternatif est à la fréquence de résonance. On va donc utiliser 𝑓 zéro pour la valeur de la fréquence. En substituant l’inductance dans cette formule, on remarque que 𝜋 et 𝑓 zéro s’éliminent au numérateur et au dénominateur. Il nous reste donc 𝑋 𝐿 égal à un tiers fois quatre racine deux fois 𝑅. On nous a dit que la résistance du circuit est de 60 ohms. Donc, en substituant cela et en simplifiant, on obtient notre valeur finale de la réactance inductive.

Ainsi, on trouve que lorsque la source alternative est à la fréquence de résonance, la réactance inductive est égale à 80 fois la racine de deux ohms.

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