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Vidéo question :: Discuter de la continuité d’une fonction définie par morceaux impliquant des rapports trigonométriques sur un intervalle Mathématiques • Deuxième année secondaire

Discutez de la continuité de la fonction 𝑓, étant donnée 𝑓 (𝑥) = sin (−8𝑥 + 40) / (𝑥 - 5), si 𝑥 < 5 et 𝑓 (𝑥) = −8𝑥² / 25, si 𝑥 ≥ 5.

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Transcription de la vidéo

Discutez de la continuité de la fonction 𝑓, étant donné 𝑓 de 𝑥 est égal au sinus de moins huit 𝑥 plus 40 divisé par 𝑥 moins cinq si 𝑥 est strictement inférieur à cinq et 𝑓 de 𝑥 est égal à moins huit 𝑥 au carré divisé par 25 si 𝑥 est supérieur ou égal à cinq.

La question veut que nous décidions des valeurs de 𝑥 qui font en sorte que la fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥 est continue. Nous pouvons trouver les valeurs de 𝑥 pour lesquelles une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥 est continue en suivant les trois étapes suivantes. Tout d’abord, nous voulons trouver le domaine de définition de notre fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥 puisqu’une fonction ne peut être continue qu’à des valeurs de 𝑥 où elle est définie. Deuxièmement, nous voulons vérifier la continuité de notre fonction 𝑓 de 𝑥 sur chaque intervalle. Troisièmement, nous devons simplement vérifier que les extrémités de nos intervalles correspondent. En d’autres termes, nous divisons simplement la fonction 𝑓 de 𝑥 en ses différents morceaux, puis vérifions à la fin qu’elles correspondent.

Commençons donc par trouver l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥. De la définition par morceaux de notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir que lorsque 𝑥 est strictement inférieur à cinq, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale au sinus de moins huit 𝑥 plus 40 divisé par 𝑥 moins cinq. Il s’agit du quotient d’une fonction trigonométrique et d’un polynôme, qui sont définis pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Ainsi, ce quotient sera défini tant que le dénominateur n’est pas égal à zéro. En d’autres termes, son domaine de définition est composé des nombres réels sauf cinq.

Cependant, nous pouvons voir que nous utilisons uniquement des valeurs de 𝑥 strictement inférieures à cinq; 𝑥 n’est donc jamais égal à cinq. Cela nous indique que le sinus de moins huit 𝑥 plus 40 divisé par 𝑥 moins cinq est défini pour toutes ces valeurs de 𝑥. Encore une fois, cela signifie que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est définie pour toutes les valeurs de 𝑥 strictement inférieures à cinq.

Nous pouvons faire la même chose pour notre deuxième intervalle. Lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à cinq, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à moins huit 𝑥 au carré divisé par 25. Nous pouvons voir qu’il s’agit d’un polynôme, il est donc défini pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Ainsi, nous avons moins huit 𝑥 au carré divisé par 25 défini pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. En particulier, ce polynôme est défini pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à cinq. Ainsi, nous avons montré que 𝑓 de 𝑥 est défini pour toutes les valeurs de 𝑥 strictement inférieures à cinq et pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à cinq. En d’autres termes, l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble des nombres réels.

Nous avons donc trouvé l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Nous devons maintenant vérifier la continuité de 𝑓 de 𝑥 sur chacun des intervalles. Pour vérifier la continuité sur chacun de ces intervalles, nous rappelons les trois faits suivants. Les fonctions trigonométriques sont continues sur leur domaine, les polynômes sont continus sur tout l’ensemble des nombres réels et le quotient de deux fonctions continues est continu sur son domaine.

Commençons lorsque 𝑥 est strictement inférieur à cinq. Nous voyons que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale au sinus de moins huit 𝑥 plus 40 divisé par 𝑥 moins cinq. Il s’agit du quotient d’une fonction trigonométrique et d’un polynôme. Ainsi, selon nos règles, cette fonction est continue sur son domaine. Or, nous avons déjà trouvé son domaine. Son domaine est toutes les valeurs réelles de 𝑥 sauf cinq. Ainsi, si 𝑓 de 𝑥 est égal au sinus de moins huit 𝑥 plus 40 divisé par 𝑥 moins cinq lorsque 𝑥 est strictement inférieur à cinq et que ceci est continu, alors 𝑓 de 𝑥 doit également être continu sur cet intervalle.

Nous pouvons faire quelque chose de similaire pour notre deuxième intervalle, lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à cinq. Nous avons notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale au polynôme moins huit 𝑥 au carré divisé par 25. Les polynômes sont continus pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Ainsi, lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à cinq, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est un polynôme, elle est donc continue sur cet intervalle. Cependant, il faut faire attention lorsque 𝑥 est égal à cinq. Rappelez-vous, nous devons vérifier que les extrémités de nos intervalles correspondent. En fait, cela nous montre seulement que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue lorsque 𝑥 est strictement supérieur à cinq. Nous devrons vérifier dans le cas où 𝑥 est égal à cinq.

Commençons par le point final de notre intervalle lorsque 𝑥 est strictement inférieur à cinq. Puisque notre intervalle donne 𝑥 strictement inférieur à cinq, nous prendrons la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq par la gauche du sinus de moins huit 𝑥 plus 40 divisé par 𝑥 moins cinq. Il s’agit du quotient d’une fonction trigonométrique et d’une fonction linéaire, nous pouvons donc essayer d’utiliser la substitution directe. En substituant 𝑥 est égal à cinq, nous obtenons le sinus de moins huit fois cinq plus 40 divisé par cinq moins cinq. Si nous évaluons cette expression, nous obtenons le sinus de zéro divisé par zéro, qui est la forme indéterminée zéro divisé par zéro. Nous allons donc devoir essayer d’évaluer cette limite d’une manière différente.

Pour nous aider à évaluer cette limite, nous rappelons la loi standard des limites suivante. La limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sinus de 𝑥 divisé par 𝑥 est égal à un. Au début, il peut sembler difficile de voir comment nous pouvons utiliser ce résultat. Cependant, nous pouvons remarquer que moins huit 𝑥 plus 40 est en fait égal à moins huit fois 𝑥 moins cinq.

Maintenant, nous pouvons voir quelque chose d’intéressant ; nous cherchons notre limite en 𝑥 tendant vers cinq par la gauche. Cela signifie que notre dénominateur de 𝑥 moins cinq se rapproche de zéro. Le facteur 𝑥 moins cinq dans notre numérateur s’approche également de zéro. Ceci est très similaire à notre résultat sur les limites. Cela nous pousse à réécrire notre limite en utilisant la substitution 𝑢 est égal à 𝑥 moins cinq.

À l’intérieur de notre limite, en utilisant cette substitution, nous obtenons le sinus de moins huit 𝑢 le tout divisé par 𝑢. Cependant, dans notre limite initiale, 𝑥 tendait vers cinq par la gauche. En d’autres termes, 𝑥 se rapproche de plus en plus de cinq alors que nos valeurs de 𝑥 sont inférieures à cinq. Nous pouvons poser la question : qu’est-ce que cela signifie pour nos valeurs de 𝑢 ? Bien, 𝑢 est égal à 𝑥 moins cinq. 𝑥 se rapproche de plus en plus de cinq, mais est toujours inférieur à cinq. Cela signifie que 𝑢 tend vers zéro et 𝑢 est inférieur à zéro. En d’autres termes, lorsque 𝑥 tend vers cinq par la gauche, 𝑢 tend vers zéro par la gauche.

Maintenant, nous avons la limite lorsque 𝑢 tend vers zéro par la gauche du sinus de moins huit 𝑢 divisé par 𝑢. Cela est maintenant très similaire à notre résultat sur les limites, sauf que nous devons traiter le coefficient de moins huit devant le 𝑥 à l’intérieur de notre fonction sinus. Nous allons commencer par réécrire toutes les instances de 𝑥 en moins huit 𝑢. Ensuite, nous pouvons prendre le facteur constant moins un huitième en dehors de notre limite. Si moins huit 𝑢 tend vers zéro, cela revient à dire que 𝑢 tend vers zéro.

Enfin, nous allons simplement multiplier par moins huit, ce qui nous donne la limite lorsque 𝑢 tend vers zéro du sinus de moins huit 𝑢 divisé par 𝑢 est égal à moins huit. Nous pouvons voir que cela correspond exactement à ce que nous avons dans notre limite.

Nous avons donc trouvé la limite en l’extrémité de notre premier intervalle. Nous avons moins huit. Il est beaucoup plus facile de trouver la limite en l’extrémité de notre second intervalle. Puisque notre intervalle est 𝑥 est supérieur ou égal à cinq, nous pouvons trouver la limite par substitution directe. Ainsi, nous substituons simplement 𝑥 est égal à cinq dans moins huit 𝑥 au carré divisé par 25. Cela nous donne moins huit fois cinq au carré divisé par 25, que nous pouvons évaluer pour nous donner moins huit.

Ainsi, nous pouvons voir que dans les deux cas, nous obtenons moins huit. Ainsi, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est également continue lorsque 𝑥 égale cinq. Ainsi, nous avons montré que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue lorsque 𝑥 est strictement inférieur à cinq, lorsque 𝑥 est strictement supérieur à cinq et lorsque 𝑥 est égal à cinq. Par conséquent, nous avons montré que la fonction 𝑓 est continue pour toutes les valeurs réelles de 𝑥.

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