Vidéo : Résolution graphique des systèmes d’équations linéaires

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment résoudre un système de deux équations linéaires en considérant leurs courbes et en identifiant le point d’intersection.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment résoudre un système de deux équations linéaires en considérant leurs courbes et en identifiant leur point d’intersection.

Nous rappelons tout d’abord qu’une équation linéaire est une équation dans laquelle la puissance la plus élevée de chaque variable qui apparaît est un et il n’y a pas de terme dans lequel les variables sont multipliées ensemble. Par exemple, l’équation deux 𝑥 plus 𝑦 est égale à six est une équation linéaire. Un système de deux équations linéaires est simplement une paire de deux de ces équations. Par exemple, si nous avons également l’équation 𝑥 plus 𝑦 égale deux, nous avons maintenant un système d’équations linéaires, parfois connu sous le nom d’une paire d’équations simultanées.

Il existe de nombreuses méthodes différentes qui peuvent être utilisées pour résoudre de tels systèmes d’équations. Mais dans cette vidéo, nous nous concentrons sur la méthode graphique. Par conséquent, les deux lettres que nous utilisons pour représenter nos variables seront souvent 𝑥 et 𝑦, mais cela ne doit pas nécessairement être le cas. La solution à un système de deux équations linéaires peut être trouvée en traçant un graphique des deux droites représentées par ces équations, puis en identifiant les coordonnées de leur point d’intersection. En effet, ce point se situe sur les deux droites et, par conséquent, satisfait les deux équations simultanément.

Dans notre premier exemple, nous allons voir comment trouver l’équation d’une droite à partir de sa courbe. Cela nous permettra à son tour d’identifier les systèmes d’équations linéaires qui peuvent être résolus à l’aide d’un graphique donné.

Lequel des ensembles d’équations simultanées suivants pourrait être résolu en utilisant le graphique donné ? (a) 𝑦 est égal à deux 𝑥 moins quatre et 𝑦 est égal à 𝑥 plus cinq. (b) 𝑦 est égal à moins quatre 𝑥 plus deux et 𝑦 est égal à cinq 𝑥 moins un. (c) 𝑦 est égal à deux 𝑥 moins quatre et 𝑦 est moins 𝑥 plus cinq. (d) 𝑦 est égal à deux 𝑥 plus quatre et 𝑦 est moins 𝑥 plus cinq. Ou (e) 𝑦 est égal à moins quatre 𝑥 plus deux et 𝑦 est égal à cinq 𝑥 plus un.

Donc, on nous a donné un graphique avec deux droites et on nous a demandé de déterminer quelle paire d’équations simultanées nous pouvions résoudre en utilisant ce graphique. Cela signifie que nous devons déterminer les équations des deux droites. Pour ce faire, nous rappellerons la forme générale d’une droite dans sa forme pente-interception 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Et nous rappelons que le coefficient de 𝑥, soit 𝑚, donne la pente de la droite. Et le terme constant, qui est 𝑏, donne l’interception 𝑦 de la courbe. C’est la valeur 𝑦 en laquelle la droite intercepte l’axe des 𝑦.

Prenons d’abord la droite bleue. Nous pouvons voir que cette droite intercepte l’axe des 𝑦 en cinq, ce qui signifie que l’équation de cette droite sera sous la forme 𝑦 est égal à un certain nombre de 𝑥 plus cinq. Pour trouver la pente de cette droite, la valeur de 𝑚, nous pouvons tracer un petit triangle rectangle n’importe où en dessous de cette droite. Et ce faisant, nous voyons que pour chaque unité que la droite travers vers la droite, elle se déplace également d’une unité vers le bas. Comme la pente d’une droite peut être trouvée en utilisant la variation de 𝑦 sur la variation de 𝑥, nous avons moins un sur un, qui fait moins un. L’équation de cette droite est donc 𝑦 égale à moins 𝑥 plus cinq.

Nous avons donc trouvé l’équation de notre première droite. Considérons maintenant la droite rouge. Et cette fois, nous voyons que cette droite intercepte l’axe des 𝑦 en une valeur de moins quatre. L’équation de cette droite est donc sous la forme 𝑦 est égal à un certain nombre de 𝑥 moins quatre. Pour trouver la pente, nous esquissons à nouveau un triangle rectangle n’importe où en dessous de cette droite. Et cette fois, nous voyons que pour chaque unité que la droite se déplace vers la droite, elle monte de deux unités. La pente de la droite, variation de 𝑦 sur variation de 𝑥, est donc deux sur un, ce qui est égal à deux. Ainsi, l’équation de cette droite est 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre.

En regardant les cinq options possibles qui nous ont été données, nous pouvons voir que cette combinaison d’équations de droites est l’option (c) 𝑦 est égal à deux 𝑥 moins quatre et 𝑦 est moins 𝑥 plus cinq. Bien qu’il ne nous soit pas réellement demandé de résoudre la paire d’équations simultanées dans cette question, nous pourrions le faire en regardant les coordonnées du point d’intersection des deux droites. Et nous voyons que les coordonnées de ce point sont trois, deux. Ainsi, la solution à cette paire d’équations simultanées serait 𝑥 égale à trois et 𝑦 égale à deux.

Prenons maintenant un deuxième exemple.

Utilisez le graphique illustré pour résoudre les équations simultanées données. 𝑦 est égal à quatre 𝑥 moins deux et 𝑦 vaut moins 𝑥 plus trois.

Tout d’abord, nous remarquons que le graphique qui nous a été donné est la représentation des deux droites données par ces équations. En considérant la droite bleue, tout d’abord, nous voyons qu’elle a une ordonnée 𝑦 à l’origine de trois et une pente de moins un. Ainsi, en substituant ces valeurs à l’équation générale d’une droite sous sa forme pente-interception, nous pouvons voir que l’équation de la droite bleue est 𝑦 égale moins 𝑥 plus trois. C’est la deuxième des deux équations qui nous ont été données.

Dans le cas de la droite verte, nous voyons qu’elle a un une ordonnée 𝑦 à l’origine de moins deux et une pente de quatre. Ainsi, en substituant ces valeurs à l’équation générale d’une droite, nous constatons que l’équation de cette droite est 𝑦 égale à quatre 𝑥 moins deux. C’est la première équation qu’on nous a donnée.

Donc, cette figure représente graphiquement ces deux équations, et nous pouvons donc l’utiliser pour les résoudre simultanément. La solution à cette paire d’équations linéaires simultanées sera les coordonnées du point qui se trouve sur les deux droites. C’est le point où les deux droites se croisent. Nous pouvons voir sur le graphique que les droites se croisent en ce point unique ici. Et c’est un point avec des coordonnées entières. La coordonnée 𝑥 est un et la coordonnée 𝑦 est deux. La solution à cette paire d’équations simultanées est donc 𝑥 égale à un et 𝑦 égale à deux.

Nous pourrions, bien sûr, vérifier cela en substituant cette paire de valeurs 𝑥, 𝑦 dans chaque équation et en confirmant qu’elles satisfont effectivement à chaque équation. Bien que nous puissions voir très clairement sur notre graphique que ce point se situe sur les deux droites.

Dans notre exemple suivant, nous devrons tracer les courbes des deux équations que nous souhaitons résoudre nous-mêmes. Nous allons donc nous rappeler quelques-unes des méthodes clés pour ce faire.

En traçant les courbes de 𝑦 est égal à moins deux 𝑥 plus un et 𝑦 est égal à 𝑥 plus quatre, trouvez le point qui satisfait les deux équations simultanément.

On nous dit dans ce problème que nous devons l’aborder en traçant les courbes de ces deux équations. Considérons donc deux méthodes différentes pour tracer des courbes affines. Dans notre première méthode, nous tracerons la courbe de 𝑦 égal à moins deux 𝑥 plus un en comparant son équation à l’équation générale d’une droite sous sa forme pente-interception, 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏. Nous rappelons que, sous cette forme, la valeur de 𝑚, c’est-à-dire le coefficient de 𝑥, représente la pente de la droite. Ainsi, la pente de la droite que nous cherchons à tracer est moins deux. Cela signifie que pour chaque unité, la droite se déplace vers la droite, elle se déplacera de deux unités vers le bas.

Nous rappelons également que, sous cette forme générale, la valeur de 𝑏, le terme constant, représente l’interception 𝑦 de la droite. Donc, dans notre équation, l’ordonnée à l’origine 𝑦 est positive. Il s’agit de la valeur en laquelle la droite coupe l’axe des 𝑦. Traçons cette droite alors. Nous savons qu’elle intercepte l’axe des 𝑦 en une valeur de un. Comme la pente est moins deux, nous savons que si nous nous déplaçons d’une unité, nous devons ensuite nous déplacer de deux unités vers le bas. Ainsi, nous pouvons tracer notre prochain point aux coordonnées un, moins un. Nous nous déplaçons ensuite de un vers deux en allant en bas et traçons notre prochain point en deux, moins trois.

Nous pouvons également aller vers l’arrière depuis notre interception 𝑦. Si nous nous déplaçons d’une unité vers la gauche, nous devons nous déplacer de deux unités vers le haut. Ainsi, nous pouvons également tracer un point avec des coordonnées moins un, trois. En joignant tous ces points avec une droite, nous avons notre première droite 𝑦 égale moins deux 𝑥 plus un.

Nous utiliserons une méthode différente pour tracer la deuxième droite, qui a l’équation 𝑦 égale 𝑥 plus quatre. Cette fois, nous allons utiliser une table de valeurs. Nous choisirons une gamme de différentes valeurs de 𝑥. J’ai choisi les valeurs entières de deux à moins deux. Et nous allons ensuite utiliser l’équation de la droite pour calculer les valeurs 𝑦 correspondantes. Par exemple, lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 sera égal à zéro plus quatre, ce qui est quatre. Lorsque 𝑥 est égal à moins un, 𝑦 sera égal à moins un plus quatre ou quatre moins un, ce qui fait trois.

De la même manière, nous pouvons ensuite compléter le reste de notre tableau. Nous pouvons ensuite tracer ces points ou au moins ceux qui s’inscriront sur les axes que j’ai ici, puis les joindre ensemble avec une droite pour donner notre deuxième droite 𝑦 égale 𝑥 plus quatre. Notez que l’ordonnée à l’origine 𝑦 de cette droite est de quatre, et notre droite traverse effectivement l’axe des 𝑦 en ce point. Et la pente est un, et notre droite a en effet une pente de un. Nous avons donc tracé les deux droites. Et maintenant, nous devons trouver le point qui satisfait les deux équations simultanément. C’est le point qui se trouve sur les deux droites. Ce sont les coordonnées de leur point d’intersection.

De notre graphique, nous pouvons voir que les droites se coupent au point avec des coordonnées moins un, trois. Comme on nous demande de trouver le point qui satisfait les deux équations simultanément, nous donnerons notre réponse sous forme de coordonnées. Donc, notre solution au problème est la coordonnée moins un, trois.

Tracez les courbes représentatives des équations simultanées 𝑦 est égal à deux 𝑥 plus sept et 𝑦 est égal à deux 𝑥 moins quatre, puis résolvez le système.

Nous allons tracer chacune de ces courbes en comparant leurs équations avec l’équation générale d’une droite sous sa forme pente-interception, 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏. La première droite 𝑦 est égale à deux 𝑥 plus sept a une pente de deux et une interception 𝑦 de sept. Nous pouvons tracer cette droite en traçant d’abord l’interception 𝑦. Et puis pour chaque unité où nous allons vers la droite, nous montons de deux unités. Dans ce cas cependant, nous irons dans l’autre sens. Pour chaque unité où nous allons vers la gauche, nous descendons de deux unités. Cela donne donc le point moins un, cinq ; puis le point deux, moins trois ; et un point en moins trois, un. Nous pouvons ensuite joindre tous ces points pour donner notre première droite tracée.

De la même manière, nous voyons que la droite 𝑦 est égale à deux 𝑥 moins quatre a une pente de deux et une interception 𝑦 de moins quatre. Nous pouvons tracer l’interception 𝑦. Et puis, nous allons une unité vers la droite et deux unités vers le haut, une unité vers la droite et deux unités vers le haut, et encore. Et puis, nous joignons ces points pour donner notre deuxième droite. Nous avons donc tracé les courbes de ces deux équations simultanées. Mais maintenant, on nous demande de résoudre le système, ce qui signifie que nous recherchons le point d’intersection de ces deux droites.

Maintenant, nos deux droites ne se croisent pas sur le graphique que j’ai tracé. Est-ce que cela veut dire que j’ai mal choisi les étendues pour les axes 𝑥 et 𝑦 et qu’elles se couperaient si j’avais choisi une étendue plus large ? Eh bien, la réponse est non, ces deux droites ne se croiseront jamais. Et la raison en est que ce sont des droites parallèles. Elles ont toutes deux la même pente de deux. Nous savons que les droites parallèles ne se rencontreront jamais. Et donc, ces deux droites n’auront pas de point d’intersection. Donc, en fait, il n’y a pas de solutions à ce système d’équations simultanées. Et notre raisonnement est que les deux équations représentent des droites parallèles.

Jusqu’à présent, dans nos exemples, nous avons vu deux possibilités. Premièrement, les droites pourraient se croiser en un seul point, auquel cas il existe une solution au système d’équations linéaires. Deuxièmement, les droites pourraient être parallèles si elles ont la même pente. Et, dans ce cas, il n’y a pas de solution à un système d’équations simultanées car les deux droites ne se coupent jamais. Il existe en fait une troisième option.

Supposons que l’on nous demande de résoudre le système d’équations 𝑦 est égal à deux 𝑥 moins quatre et deux 𝑦 est égal à quatre 𝑥 moins huit. Si nous devions tenter de les représenter, nous pouvons voir que les deux équations décrivent en fait exactement la même droite. En effet, si nous divisons les deux côtés de la deuxième équation par deux, cela se réduit à 𝑦 est égal à deux 𝑥 moins quatre. C’est juste une façon équivalente d’écrire l’équation de la première droite. Dans ce cas, les droites sont décrites comme confondues. Une droite se trouve exactement au-dessus de l’autre. Et chaque point sur cette droite infiniment longue satisfera donc le système d’équations linéaires. Nous disons donc qu’il existe une infinité de solutions au système d’équations linéaires.

Ce sont donc les trois options pour résoudre graphiquement une paire d’équations linéaires simultanées. Les droites se coupent en un seul point, ce qui signifie qu’il y a une solution, une seule paire de coordonnées. Les droites sont parallèles, ce qui signifie qu’elles ne se coupent jamais. Et il n’y a pas de solution au système d’équations linéaires. Ou les droites sont confondues, ce qui signifie que l’une se trouve directement au-dessus de l’autre. Et il existe une infinité de solutions au système d’équations simultanées.

Parfois, il peut ne pas être possible de résoudre un ensemble d’équations simultanées exactement à l’aide d’un graphique si les solutions sont des valeurs non entières. Dans ce cas, nous ne pouvons donner que des valeurs approximatives pour la solution, comme nous le verrons dans notre prochain exemple.

À l’aide du graphique, déterminez laquelle des estimations suivantes est une estimation raisonnable pour la solution des équations simultanées deux 𝑥 plus trois 𝑦 est égal à 20, quatre 𝑥 moins quatre 𝑦 est égal à 11. (a) 𝑥 est égal à 5.4 et 𝑦 est égal à 3.1. (b) 𝑥 est égal à 5.4 et 𝑦 est égal à 2.9. (c) 𝑥 est égal à 5.6 et 𝑦 est égal à 2.4. (d) 𝑥 est égal à 5.7 et 𝑦 est égal à 2.9. Ou (e) 𝑥 est égal à 5.9 et 𝑦 est égal à 2.7.

Maintenant, ce n’est peut-être pas immédiatement évident, mais les deux droites qui nous ont été données sur le graphique représentent les deux équations données dans la question. La droite rouge est deux 𝑥 plus trois 𝑦 est égale à 20, et la droite bleue est quatre 𝑥 moins quatre 𝑦 égale 11. La solution à cette paire d’équations simultanées sera alors les coordonnées du point où ces deux droites se croisent. Mais en regardant la figure, nous pouvons voir qu’elles se croisent au milieu d’un des petits carrés. Nous ne pouvons donc pas trouver de valeur exacte pour la solution. Au lieu de cela, nous allons chercher une estimation.

Assurons-nous d’abord de bien comprendre l’échelle qui a été utilisée sur chacun de nos axes. Dans chaque cas, c’est pareil. Il y a quatre petits carrés pour représenter deux unités. En divisant par quatre, nous voyons que chaque petit carré sur chaque axe représente 0.5 unité. En regardant d’abord le placement horizontal de ce point, nous pouvons voir qu’il est situé entre trois petits carrés à droite de quatre puis la valeur 𝑥 six. Si chaque petit carré vaut 0.5, alors trois petits carrés valent 1.5, ce qui signifie que la valeur 𝑥 à gauche de ce point est 5.5. Et donc, notre valeur 𝑥 est comprise entre 5.5 et six.

De la même manière, en regardant le placement vertical de ce point, nous pouvons voir qu’il est situé entre un petit carré au-dessus de deux, c’est-à-dire 2.5, et deux petits carrés au-dessus de deux, c’est-à-dire trois. Ainsi, la valeur 𝑦 est comprise entre 2.5 et trois.

En examinant les cinq options, nous pouvons exclure les options (a) et (b), car leurs valeurs 𝑥 sont hors limites, et l’option (c), car sa valeur 𝑦 est hors limites. Pour décider ensuite entre les deux options restantes, on sait que le point est verticalement très proche de trois, et il semble être plus proche de 5.5 que de six. L’option (d) est donc l’estimation la plus raisonnable. Ainsi 𝑥 est approximativement égal à 5.7 et 𝑦 est approximativement égal à 2.9.

Passons en revue les points clés que nous avons vus dans cette leçon. Premièrement, nous avons vu que les systèmes d’équations linéaires peuvent être résolus en traçant les droites affines représentés par chaque équation et en identifiant les coordonnées de leur point d’intersection. Cependant, nous avons également vu que toutes les paires de droites ne se coupent pas. Les trois possibilités sont que les droites se coupent en un point, ce qui signifie qu’il existe une solution au système d’équations linéaires. Les deux droites sont parallèles, elles ne se coupent jamais, il n’y a donc pas de solution. Ou les deux droites sont confondues, auquel cas il existe une infinité de solutions au système d’équations. Enfin, nous avons également vu que nous pouvons utiliser des graphiques pour trouver des solutions approximatives à des systèmes d’équations linéaires lorsque les solutions sont des valeurs non entières.

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