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Vidéo de la leçon: Résolution graphique des systèmes d’équations linéaires

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment résoudre un système de deux équations linéaires en considérant leurs courbes et en identifiant le point d’intersection.

17:03

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment résoudre un système de deux équations linéaires en considérant leurs représentations graphiques et en identifiant leur point d’intersection des droites.

Nous rappelons tout d’abord qu’une équation linéaire est une équation où la puissance la plus élevée de chaque variable est un et qui n’a pas de terme où les variables sont multipliées ensemble. Par exemple, l’équation deux 𝑥 plus 𝑦 égale six est une équation linéaire. Un système de deux équations linéaires est simplement une paire de deux équations de ce type. Par exemple, si nous avons également l’équation 𝑥 plus 𝑦 égale deux, nous avons maintenant un système d’équations linéaires, parfois connu sous le nom d’une paire d’équations simultanées.

Il existe de nombreuses méthodes différentes qui peuvent être utilisées pour résoudre de tels systèmes d’équations. Mais dans cette vidéo, nous nous concentrons sur la méthode graphique. Par conséquent, les deux lettres que nous utilisons pour représenter nos variables seront souvent 𝑥 et 𝑦, mais cela ne doit pas être le cas nécessairement. La solution d’un système de deux équations linéaires peut être trouvée en traçant une représentation graphique des deux droites correspondant à ces équations, puis en identifiant les coordonnées de leur point d’intersection. En effet, ce point appartient aux deux droites et, par conséquent, vérifie les deux équations simultanément.

Dans notre premier exemple, nous allons voir comment trouver l’équation d’une droite à partir de sa représentation graphique. Cela nous permettra alors d’identifier les systèmes d’équations linéaires qui peuvent être résolus à l’aide d’un graphique donné.

Lequel des systèmes d’équations suivants pourrait être résolu en utilisant le graphique donné ? (a) 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre et 𝑦 égale 𝑥 plus cinq. (b) 𝑦 égale moins quatre 𝑥 plus deux et 𝑦 égale cinq 𝑥 moins un. (c) 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre et 𝑦 est moins 𝑥 plus cinq. (d) 𝑦 égale deux 𝑥 plus quatre et 𝑦 est moins 𝑥 plus cinq. Ou (e) 𝑦 égale moins quatre 𝑥 plus deux et 𝑦 égale cinq 𝑥 plus un.

Donc, on nous a donné un graphique avec deux droites et on nous a demandé de déterminer le système d’équations que nous pouvions résoudre en utilisant ce graphique. Cela signifie que nous devons déterminer les équations des deux droites. Pour ce faire, nous rappellerons l’équation d’une droite sous sa forme réduite 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Et nous rappelons que le coefficient de 𝑥, soit 𝑚, correspond au coefficient directeur de la droite. Et le terme constant, qui est 𝑏, correspond à l’ordonnée à l’origine 𝑦 de la représentation graphique. C’est la valeur de 𝑦 où la droite coupe l’axe des 𝑦.

Prenons d’abord la droite bleue. Nous pouvons voir que cette droite coupe l’axe des 𝑦 en cinq, ce qui signifie que l’équation de cette droite sera sous la forme 𝑦 égale une certaine valeur de 𝑥 plus cinq. Pour trouver le coefficient directeur de cette droite, donc la valeur de 𝑚, nous pouvons tracer un petit triangle rectangle n’importe où en dessous de cette droite. Et ce faisant, nous voyons que pour chaque unité que la droite se déplace vers la droite, elle se déplace également d’une unité vers le bas. Comme le coefficient directeur d’une droite peut être trouvé en utilisant la variation en 𝑦 sur la variation en 𝑥, nous avons moins un sur un, qui fait moins un. L’équation de cette droite est donc 𝑦 égale moins 𝑥 plus cinq.

Nous avons donc trouvé l’équation de notre première droite. Considérons maintenant la droite rouge. Et cette fois, nous voyons que cette droite coupe l’axe des 𝑦 en une valeur de moins quatre. L’équation de cette droite est donc sous la forme 𝑦 égale une certaine valeur de 𝑥 moins quatre. Pour trouver le coefficient directeur, nous traçons à nouveau un triangle rectangle n’importe où en dessous de cette droite. Cette fois, nous voyons que pour chaque unité que la droite se déplace vers la droite, elle se déplace de deux unités vers le haut. Le coefficient directeur de la droite, soit la variation en 𝑦 sur la variation en 𝑥, est donc deux sur un, ce qui est égal à deux. Ainsi, l’équation de cette droite est 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre.

En regardant les cinq options possibles qui nous ont été données, nous pouvons voir que cette combinaison d’équations de droites correspond à l’option (c) : 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre et 𝑦 est moins 𝑥 plus cinq. Bien qu’il ne nous soit pas réellement demandé de résoudre le système d’équations dans cette question, nous pourrions le faire en regardant les coordonnées du point d’intersection des deux droites. Et nous voyons que les coordonnées de ce point sont trois, deux. Ainsi, la solution de ce système d’équations serait 𝑥 égale trois et 𝑦 égale deux.

Passons maintenant à un deuxième exemple.

Utilisez le graphique illustré pour résoudre le système d’équations donné. Nous avons 𝑦 égale quatre 𝑥 moins deux et 𝑦 égale moins 𝑥 plus trois.

Tout d’abord, nous remarquons que le graphique qui nous a été donné est la représentation des deux droites correspondant à ces équations. En considérant la droite bleue, tout d’abord, nous voyons qu’elle a une ordonnée à l’origine 𝑦 égale à trois et un coefficient directeur de moins un. Ainsi, en substituant ces valeurs dans l’équation d’une droite sous sa forme réduite, nous pouvons voir que l’équation de la droite bleue est d’équation 𝑦 égale moins 𝑥 plus trois. C’est la deuxième des deux équations qui nous ont été données.

Dans le cas de la droite verte, nous voyons qu’elle a une ordonnée à l’origine 𝑦 de moins deux et un coefficient directeur de quatre. Ainsi, en substituant ces valeurs dans l’équation d’une droite, nous constatons que l’équation de cette droite est 𝑦 égale quatre 𝑥 moins deux. C’est la première équation qu’on nous a donnée.

Donc, cette figure représente graphiquement ces deux équations, et nous pouvons donc l’utiliser pour les résoudre simultanément. La solution de ce système d’équations linéaires sera les coordonnées du point qui appartient aux deux droites. C’est le point où les deux droites se coupent. Nous pouvons voir sur le graphique que les droites se coupent en ce point unique ici. Et c’est un point avec des coordonnées entières. La coordonnée 𝑥 est un et la coordonnée 𝑦 est deux. La solution de ce système d’équations est donc 𝑥 égale un et 𝑦 égale deux.

Nous pourrions, bien sûr, vérifier cela en substituant cette paire de valeurs de 𝑥 et 𝑦 dans chaque équation et en confirmant qu’elles vérifient effectivement chaque équation. Bien que nous puissions voir très clairement sur notre graphique que ce point appartient aux deux droites.

Dans notre exemple suivant, nous devrons tracer les représentations graphiques des deux équations que nous souhaitons résoudre nous-mêmes. Nous allons donc nous rappeler quelques-unes des méthodes clés pour le faire.

En représentant graphiquement 𝑦 égale moins deux 𝑥 plus un et 𝑦 égale 𝑥 plus quatre, trouvez le point qui vérifie les deux équations simultanément.

On nous dit dans ce problème que nous devons l’aborder en traçant les représentations graphiques de ces deux équations. Considérons donc deux méthodes différentes pour tracer les représentations graphiques des deux droites. Dans notre première méthode, nous tracerons la représentation graphique de 𝑦 égale moins deux 𝑥 plus un en comparant son équation à l’équation d’une droite sous sa forme réduite, 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Nous rappelons que, sous cette forme, la valeur de 𝑚, c’est-à-dire le coefficient de 𝑥, représente le coefficient directeur de la droite. Ainsi, le coefficient directeur de la droite que nous voulons tracer est moins deux. Cela signifie que pour chaque unité que la droite se déplace vers la droite, elle se déplacera de deux unités vers le bas.

Nous rappelons également que, sous cette forme, la valeur de 𝑏, le terme constant, représente l’ordonnée à l’origine 𝑦 de la droite. Donc, dans notre équation, l’ordonnée à l’origine 𝑦 est positive. Il s’agit de la valeur où la droite coupe l’axe des 𝑦. Traçons cette droite alors. Nous savons qu’elle coupe l’axe des 𝑦 en une valeur de un. Comme le coefficient directeur est moins deux, nous savons que si nous nous déplaçons d’une unité vers la droite, nous devrons alors nous déplacer de deux unités vers le bas. Ainsi, nous pouvons tracer notre prochain point aux coordonnées un, moins un. Nous nous déplaçons ensuite d’une unité vers la droite et de deux unités vers le bas, et nous traçons notre prochain point en deux, moins trois.

Nous pouvons également le faire de l’autre côté de notre ordonnée à l’origine 𝑦. Si nous nous déplaçons d’une unité vers la gauche, nous devons nous déplacer de deux unités vers le haut. Ainsi, nous pouvons également tracer un point avec les coordonnées moins un, trois. En joignant tous ces points avec une droite, nous avons notre première droite d’équation 𝑦 égale moins deux 𝑥 plus un.

Nous utiliserons une méthode différente pour représenter graphiquement la deuxième droite, qui a pour équation 𝑦 égale 𝑥 plus quatre. Cette fois, nous allons utiliser un tableau de valeurs. Nous choisirons une gamme de différentes valeurs de 𝑥. J’ai choisi les valeurs entières allant de deux à moins deux. Et nous allons ensuite utiliser l’équation de la droite pour calculer les valeurs de 𝑦 correspondantes. Par exemple, lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 sera égal à zéro plus quatre, ce qui vaut quatre. Lorsque 𝑥 est égal à moins un, 𝑦 sera égal à moins un plus quatre ou quatre moins un, ce qui fait trois.

De la même manière, nous pouvons ensuite compléter le reste de notre tableau. Nous pouvons ensuite tracer ces points ou au moins ceux qui vont avec les axes que j’ai ici, puis les relier ensemble par une droite pour avoir notre deuxième droite d’équation 𝑦 égale 𝑥 plus quatre. Notez que l’ordonnée à l’origine 𝑦 de cette droite est quatre, et notre droite coupe effectivement l’axe des 𝑦 en ce point. Et le coefficient directeur est un, et notre droite a en effet un coefficient directeur de un. Nous avons donc tracé les deux droites. Maintenant, nous devons trouver le point qui vérifie les deux équations simultanément. C’est le point qui appartient aux deux droites. Ce sont les coordonnées de leur point d’intersection.

À partir de notre graphique, nous pouvons voir que les droites se coupent en le point ayant pour coordonnées moins un, trois. Comme on nous demande de trouver le point qui vérifie les deux équations simultanément, nous donnerons notre réponse sous forme de coordonnées. Donc, la solution de ce problème est les coordonnées moins un, trois.

Tracez les représentations graphiques du système d’équations 𝑦 égale deux 𝑥 plus sept et 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre, puis résolvez le système.

Nous allons tracer chacune de ces représentations graphiques en comparant leurs équations avec l’équation d’une droite sous sa forme réduite, 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. La première droite d’équation 𝑦 égale deux 𝑥 plus sept a un coefficient directeur de deux et une ordonnée à l’origine 𝑦 de sept. Nous pouvons représenter graphiquement cette droite en traçant d’abord l’ordonnée à l’origine 𝑦. Puis, pour chaque unité de déplacement vers la droite, nous nous déplaçons de deux unités vers le haut. Toutefois, dans ce cas, nous irons dans l’autre sens. Pour chaque unité de déplacement vers la gauche, nous nous déplaçons de deux unités vers le bas. Cela nous donne alors le point moins un, cinq ; puis le point deux, moins trois ; et un point en moins trois, un. Nous pouvons ensuite joindre tous ces points pour obtenir la représentation graphique de notre première droite.

De la même manière, nous voyons que la droite d’équation 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre a un coefficient directeur de deux et une ordonnée à l’origine 𝑦 de moins quatre. Nous pouvons tracer l’ordonnée à l’origine 𝑦. Puis, nous nous déplaçons d’une unité vers la droite et de deux unités vers le haut, d’une unité vers la droite et de deux unités vers le haut, et nous le répétons encore une fois. Ensuite, nous joignons ces points pour avoir notre deuxième droite. Nous avons donc tracé les représentations graphiques de ce système d’équations. Mais maintenant, on nous demande de résoudre le système, ce qui signifie que nous recherchons le point d’intersection de ces deux droites.

Maintenant, nos deux droites ne se coupent pas sur le graphique que j’ai tracé. Est-ce que cela veut dire que j’ai mal choisi les intervalles pour les axes des 𝑥 et 𝑦 et qu’elles se couperaient si j’avais choisi un intervalle plus large ? Eh bien, la réponse est non, ces deux droites ne se couperont jamais. Et la raison en est que ce sont des droites parallèles. Elles ont toutes les deux le même coefficient directeur égal à deux. Nous savons que les droites parallèles ne se rencontreront jamais. Alors, ces deux droites n’auront pas de point d’intersection. Donc, en fait, il n’y a pas de solutions pour ce système d’équations. Et notre raisonnement est que les deux équations représentent des droites parallèles.

Jusqu’à présent, dans nos exemples, nous avons vu deux possibilités. Premièrement, les droites pourraient se couper en un seul point, et dans ce cas il existe une solution pour le système d’équations linéaires. Deuxièmement, les droites pourraient être parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Et, dans ce cas, il n’y a pas de solution pour ce système d’équations car les deux droites ne se coupent jamais. Il existe en fait une troisième option.

Supposons que l’on nous demande de résoudre le système d’équations 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre et deux 𝑦 égale quatre 𝑥 moins huit. Si nous essayons de représenter cela, nous pouvons voir que les deux équations décrivent en fait exactement la même droite. En effet, si nous divisons les deux côtés de la deuxième équation par deux, cela se réduit à 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre. C’est juste une façon équivalente d’écrire l’équation de la première droite. Dans ce cas, les droites sont décrites comme étant des droites confondues. Une droite se trouve exactement au-dessus de l’autre. Et chaque point appartenant à cette droite infiniment longue vérifiera donc le système d’équations linéaires. Nous disons donc qu’il existe une infinité de solutions pour le système d’équations linéaires.

Alors, voici les trois options pour résoudre graphiquement un système d’équations linéaires. Les droites se coupent en un seul point, ce qui signifie qu’il y a une solution, une seule paire de coordonnées. Les droites sont parallèles, ce qui signifie qu’elles ne se coupent jamais. Alors, il n’y a pas de solution pour le système d’équations linéaires. Ou les droites sont confondues, ce qui signifie que l’une se trouve directement au-dessus de l’autre. Et dans ce cas il existe une infinité de solutions au système d’équations.

Parfois, il peut ne pas être possible de résoudre un système d’équations exactement à l’aide d’un graphique si les solutions sont des valeurs non entières. Dans ce cas, nous ne pouvons donner que des valeurs approximatives pour la solution, comme nous le verrons dans notre prochain exemple.

À l’aide du graphique, déterminez laquelle des estimations suivantes est une estimation raisonnable pour la solution du système d’équations deux 𝑥 plus trois 𝑦 égale 20, quatre 𝑥 moins quatre 𝑦 égale 11. (a) 𝑥 est égal à 5,4 et 𝑦 est égal à 3,1. (b) 𝑥 est égal à 5,4 et 𝑦 est égal à 2,9. (c) 𝑥 est égal à 5,6 et 𝑦 est égal à 2,4. (d) 𝑥 est égal à 5,7 et 𝑦 est égal à 2,9. Ou (e) 𝑥 est égal à 5,9 et 𝑦 est égal à 2,7.

Maintenant, ce n’est peut-être pas très évident, mais les deux droites illustrées sur le graphique représentent les deux équations données dans la question. La droite rouge est d’équation deux 𝑥 plus trois 𝑦 égale 20, et la droite bleue est d’équation quatre 𝑥 moins quatre 𝑦 égale 11. La solution de ce système d’équations sera alors les coordonnées du point où ces deux droites se coupent. Mais en regardant la figure, nous pouvons voir qu’elles se coupent au milieu d’un des petits carrés. Nous ne pouvons donc pas trouver de valeur exacte pour la solution. Au lieu de cela, nous allons chercher une estimation.

Assurons-nous d’abord de bien comprendre l’échelle qui a été utilisée sur chacun de nos axes. Dans chaque cas, c’est pareil. Il y a quatre petits carrés pour représenter deux unités. En divisant par quatre, nous voyons que chaque petit carré sur chaque axe représente 0,5 unité. En regardant d’abord le placement horizontal de ce point, nous pouvons voir qu’il est situé entre trois petits carrés à droite de quatre, puis la valeur de 𝑥 égale six. Si chaque petit carré vaut 0,5, alors trois petits carrés valent 1,5, ce qui signifie que la valeur de 𝑥 à gauche de ce point est égale à 5,5. Et donc, notre valeur de 𝑥 est comprise entre 5,5 et six.

De la même manière, en regardant le placement vertical de ce point, nous pouvons voir qu’il est situé entre un petit carré au-dessus de deux, c’est-à-dire 2,5, et deux petits carrés au-dessus de deux, c’est-à-dire trois. Ainsi, la valeur de 𝑦 est comprise entre 2,5 et trois.

En examinant les cinq options, nous pouvons exclure les options (a) et (b), car leurs valeurs de 𝑥 se situent hors de notre intervalle, de même que l’option (c), car sa valeur de 𝑦 est hors de l’intervalle choisi. Pour choisir ensuite notre réponse parmi les deux options restantes, on sait que le point est verticalement très proche de trois, et il semble être plus proche de 5,5 que de six. L’option (d) est donc l’estimation la plus raisonnable. Ainsi 𝑥 est approximativement égal à 5,7 et 𝑦 est approximativement égal à 2,9.

Passons en revue les points clés que nous avons vus dans cette leçon. Premièrement, nous avons appris que les systèmes d’équations linéaires peuvent être résolus en traçant les représentations graphiques des deux droites correspondant à chaque équation et en identifiant les coordonnées de leur point d’intersection. Cependant, nous avons également vu que toutes les paires de droites ne se coupent pas. Les trois possibilités sont que les droites se coupent en un point, ce qui signifie qu’il existe une solution pour le système d’équations linéaires. Les deux droites sont parallèles, elles ne se coupent jamais, il n’y a donc pas de solution. Ou les deux droites sont confondues, il existe dans ce cas une infinité de solutions pour le système d’équations. Enfin, nous avons également appris que nous pouvons utiliser des graphiques pour trouver des solutions approximatives à des systèmes d’équations linéaires lorsque les solutions sont des valeurs non entières.

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