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Vidéo question :: Identifier la représentation graphique de la fonction logarithmique après une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées Mathématiques • Deuxième année secondaire

La courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑥) = 2 log 𝑥 subit une symétrie par rapport à l'axe des 𝑦 pour obtenir la courbe représentative de la fonction 𝑔(𝑥). Lequel des graphiques suivants représente la fonction 𝑔(𝑥) ? [A] Le graphique A [B] Le graphique B [C] Le graphique C [D] Le graphique D [E] Le graphique E.

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Transcription de la vidéo

La courbe représentative de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à deux log 𝑥 𝑥 subit une symétrie par rapport à l'axe des 𝑦 pour obtenir la courbe représentative de la fonction 𝑔 de 𝑥. Lequel des graphiques suivants représente la fonction 𝑔 de 𝑥 ?

Si on prend en compte toutes les informations que nous avons sur la fonction 𝑔 de 𝑥, il existe en fait deux façons de répondre à cette question. La première méthode consiste à tracer la représentation graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à deux log 𝑥, puis à tracer le symétrique de celle-ci par rapport à l'axe des 𝑦. On peut aussi envisager une manipulation algébrique qui permettrait de faire une correspondance entre 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥. On choisira en fait cette dernière méthode, et on utilisera ensuite la première pour vérifier.

Supposons que nous ayons une fonction 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥. La fonction est représentée sur le graphique de 𝑦 égale à 𝑓 de moins 𝑥 par une symétrie par rapport à l'axe des 𝑦. Cela signifie donc que notre fonction 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑓 de moins 𝑥. Cela correspond à deux logarithmes de moins 𝑥. Puisque nous avons une expression de 𝑔 de 𝑥, nous pouvons tracer sa courbe représentative en utilisant un tableau de valeurs. Il convient à présent de rappeler que lorsque nous avons affaire à un logarithme, son argument doit être supérieur à zéro. Ainsi, les valeurs de 𝑥 que nous devons entrer dans notre fonction 𝑔 de 𝑥 doivent toutes être inférieures à zéro. Cela implique que l'argument moins 𝑥 est positif.

Ainsi si 𝑥 est moins un, 𝑔 de 𝑥 est deux fois log de moins moins un ou deux fois log de un. On notera que le log sans base signifie en fait log en base 10, mais aussi que le log de un est toujours nul. Par conséquent, deux fois log de un est égal à zéro. Étant donné que le petit carré représente une unité, on peut représenter la coordonnée moins un, zéro sur chacun de nos graphiques. On constate que les graphiques (A), (B) et (C) ne passent pas par ce point. La valeur de 𝑔 de moins cinq correspond à deux logarithmes de cinq, soit 1.40. Deux log 10 vaut deux. Et deux log 15 au centième près donne 2.35.

En représentant ces trois points sur les graphiques, on constate que seul le graphique (E) passe par tous les points que nous avons représentés. Donc le graphique (E) est bien la représentation graphique de la fonction 𝑔 de 𝑥.

Pour vérifier cela, rappelons à quoi ressemble la représentation graphique de la fonction deux log de 𝑥. Nous savons que la courbe de cette fonction doit passer par l'axe des 𝑥 en zéro. Le logarithme en base 10 de 10 vaut un, donc deux logarithmes de 10 égale à deux. De plus, on sait que la représentation graphique d'une fonction logarithmique possède une asymptote verticale. Là, l'asymptote verticale est l'axe des 𝑦. Voici donc notre fonction 𝑓 de 𝑥. Et on remarque qu'une symétrie par rapport à l'axe des 𝑦 donne effectivement le graphique (E). Ainsi la fonction 𝑔 de 𝑥 est représentée sur le graphique (E).

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