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Vidéo question :: Détermination du maximum local et du minimum local d’une fonction polynomiale à l’aide de la dérivée seconde Mathématiques • Troisième année secondaire

Utilisez la dérivée seconde pour determiner les extrema locaux de la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = 9𝑥⁴ - 2𝑥² - 5.

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Transcription de la vidéo

Utilisez la dérivée seconde pour determiner les extrema locaux de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égale à neuf 𝑥 à la puissance quatre moins deux 𝑥 au carré moins cinq.

Avant d’utiliser la dérivée seconde pour déterminer si des points sont des extema locaux, nous devons trouver les valeurs où nous pouvons avoir potentiellement un maximum local ou un minimum local. Pour cela, nous allons utiliser une relation qu’ils partagent, en effet, ils ont tous les deux une pente, notée 𝑚, égale à zéro.

Afin de déterminer ces deux points, nous allons d’abord trouver les coordonnées 𝑥 des points où la pente est bien égale à zéro. Pour ce faire, nous allons dériver notre fonction pour trouver l’équation de la pente. Si nous dérivons 𝑓 de 𝑥 est égal à neuf 𝑥 à la puissance quatre moins deux 𝑥 au carré moins cinq, nous obtenons en fait 36𝑥 au cube moins quatre 𝑥.

Juste pour nous rappeler la démarche, nous allons montrer comment nous avons obtenu le premier terme. Nous avons en fait multiplié l’exposant par le coefficient, donc quatre par neuf, ce qui nous donne 36. Puis, nous avons 𝑥 à la puissance quatre moins un car nous devons réduire l’exposant de un. Nous obtenons donc 36𝑥 au cube.

Très bien ! Maintenant, nous avons l’équation de la pente. Nous savons qu’elle va être égale à zéro en nos points maximum et minimum, car nous avons déjà dit qu’ils partagent la relation selon laquelle, en ces points, la pente est égale à zéro. Nous obtenons donc que zéro est égal à 36𝑥 au cube moins quatre 𝑥. Ensuite, nous divisons chaque côté par quatre juste pour faciliter la recherche de 𝑥.

Ainsi, nous nous retrouvons avec zéro est égal à neuf 𝑥 au cube moins 𝑥. Ensuite, nous factorisons par 𝑥 parce que 𝑥 est un facteur commun dans nos deux termes. Nous obtenons donc zéro est égal à 𝑥 multiplié par, entre parentheses, neuf 𝑥 au carré moins un.

Maintenant, nous pouvons prendre en compte l’expression entre parenthèses. En effet, il s’agit d’une expression très spéciale, c’est en fait la différence de deux carrés. Nous le savons parce que chacun des termes de notre expression est un carré, neuf est un carré, 𝑥 carré est un carré et un est un carré. De plus, nous avons aussi un signe moins. Ainsi, par conséquent, nous pouvons voir que neuf 𝑥 carré moins un va être facilement factorisé en utilisant la différence de deux carrés. Nous pourrons même dire que l’expression sera entièrement factorisé.

Nous obtenons en fait zéro est égal à 𝑥 multiplié par trois 𝑥 moins un multiplié par trois 𝑥 plus un. Pour cela, nous avons pris la racine de chacun de nos termes. Ainsi, la racine de neuf est trois, la racine de 𝑥 au carré est 𝑥 et la racine de un est un. Puis, nous avons placé un signe plus dans une de nos parenthèses. Nous avons aussi placé un signe moins dans une de nos parenthèses. Par conséquent, l’expression est entièrement factorisée.

Très bien ! Alors maintenant, trouvons 𝑥. Bien, tout d’abord, nous savons que l’une des solutions est 𝑥 est égal à zéro. En effet, si nous avons zéro multiplié par quelque chose, alors le résultat donne zéro. Maintenant, nous allons trouver les deux autres solutions. Pour cela, nous fixons chacune de nos parenthèses à zéro.

Nous commençons donc avec trois 𝑥 moins un est égal à zéro. Nous ajoutons un de chaque côté. Nous obtenons donc trois 𝑥 est égal à un. Puis, nous divisons par trois pour obtenir notre deuxième solution, qui est 𝑥 est égal à un tiers.

Passons maintenant à notre troisième solution. Nous avons donc trois 𝑥 plus un est égal à zéro. Alors, nous soustrayons un de chaque côté. Nous obtenons trois 𝑥 est égal à moins un. Enfin, nous divisons par trois pour obtenir notre troisième solution, qui est 𝑥 égale moins un tiers.

Alors maintenant, nous avons en fait nos trois valeurs 𝑥 qui sont des points où la variation de la fonction change et qui donnent potentiellement des valeurs maximales et minimales. Nous devons maintenant déterminer quelle serait la valeur de notre fonction en chacun de ces points. Nous allons commencer par 𝑓 de zéro.

Ainsi, lorsque nous substituons 𝑥 est égal à zéro dans notre fonction, nous allons donc obtenir neuf multiplié par zéro à la puissance quatre moins deux multiplié par zéro au carré moins cinq, ce qui nous donne un résultat de moins cinq. Nous pouvons donc passer à la prochaine valeur de 𝑥. Soit 𝑥 est égal à un tiers.

Nous allons donc remplacer cela dans notre fonction. Nous obtenons donc neuf multiplié par un tiers à la puissance quatre moins deux multiplié par un tiers au carré moins cinq, ce qui sera égal à neuf sur 81 moins deux sur neuf moins cinq, ce qui est égal à un sur neuf moins deux sur neuf et puis moins 45 sur neuf, puisque nous avons en fait converti notre cinq en 45 sur neuf. Nous obtenons donc une valeur de moins 46 sur neuf. Voilà donc la valeur de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à un tiers.

Ensuite, nous passons à notre valeur finale de 𝑥. Soit 𝑥 est égal à moins un tiers. Ainsi, cela va être égal à neuf multiplié par moins un tiers à la puissance quatre moins deux multiplié par moins un tiers au carré moins cinq, ce qui va nous donner neuf sur 81 moins deux sur neuf moins cinq, ce qui est en fait identique au calcul pour la valeur précédente de 𝑥. Ainsi, cela va aussi donner une valeur négative de 46 sur neuf.

Alors maintenant, nous avons calculé nos valeurs possibles. Nous devons maintenant déterminer où nous avons un maximum local ou un minimum local. Pour ce faire, nous allons utiliser la dérivée seconde. En effet, si nous regardons ce graphique ici, nous trouvons la dérivée seconde. Elle nous aide à trouver la concavité d’une section de notre fonction.

Si notre dérivée seconde est positive en un point, alors nous pouvons dire que la fonction est convexe en ce point. En utilisant la dérivée seconde, si la fonction est convexe en un point, nous savons que ce point sera un minimum local. Si notre dérivée seconde en un point est négative, alors nous savons que la fonction va être concave en ce point. En utilisant la dérivée seconde, si la fonction est concave en un point, nous savons que ce point sera un maximum local.

Très bien ! Maintenant, nous savons ce que nous devons faire. Passons à la suite et trouvons la dérivée seconde de notre fonction. Afin de trouver la dérivée seconde de notre fonction, nous devons dériver notre équation de pente que nous avons trouvée plus tôt, qui était de 36𝑥 au cube moins quatre 𝑥. En faisant cela, nous obtenons 108𝑥 au carré moins quatre. Nous dérivons en fait une deuxième fois en utilisant exactement les mêmes règles que précédemment. Nous avons donc multiplié le coefficient par les exposants, ce qui donne 108. Puis nous avons réduit l’exposant d’une unité.

Bien, nous avons la dérivée seconde. Maintenant, quelle est la prochaine étape? Bien, nous allons faire substituer nos valeurs de 𝑥 pour déterminer si la fonction est convexe ou concave en ces points et donc conclure à un point maximum ou minimum. Tout d’abord, nous commençons par le point où 𝑥 est égal à zéro. Nous pouvons dire que la dérivée seconde va être égale à 108 multiplié par zéro au carré moins quatre, ce qui va juste nous donner moins quatre. Vu que le résultat est négatif, alors la fonction être concave en ce point. Nous savons donc que cela va donner un maximum local.

Ensuite, nous allons passer à 𝑥 est égal à un tiers. Nous obtenons donc 108 multiplié par un tiers au carré moins quatre, ce qui est égal à 108 sur neuf moins quatre, ce qui donne 13 moins quatre, soit neuf. Nous pouvons voir que ce résultat est positif. En ce point, nous pouvons voir que la fonction va être convexe. Il s’agit donc d’un minimum local.

Enfin, nous passons à la valeur suivante : lorsque 𝑥 est égal à moins un tiers. En fait, si nous anticipons, cela devrait être la même que la valeur précédente. En effet, lorsque nous avons trouvé les valeurs de la fonction pour moins un tiers, nous avions obtenu la même chose. Réalisons quand même le calcul.

Nous avons donc 108 multiplié par moins un tiers le tout au carré moins quatre, ce qui nous donnera 108 sur neuf moins quatre. En effet, nous avions moins un tiers au carré. Ainsi, cela rend le tout positif. Comme prévu, nous avons obtenu la même valeur que précédemment lorsque 𝑥 était égal à un tiers, soit neuf. Encore une fois, nous dirions qu’en ce point, la fonction convexe, ce qui signifie que ce point sera un minimum local.

Maintenant, nous avons trouvé toutes nos valeurs. Nous avons aussi déterminé si elles correspondaient à des maximum ou minimum locaux. Nous pouvons donc rassembler le tout et dire que la fonction a un maximum local de moins cinq. Nous sommes arrivés à cette conclusion parce que lorsque 𝑥 était égal à zéro, la valeur de notre fonction était moins cinq. Puis, nous avons utilisé la dérivée seconde pour montrer qu’il s’agissait d’un maximum parce que la valeur de la dérivée seconde à ce stade était de moins quatre.

Puis, nous avons un minimum local de moins 46 sur neuf. En effet, aux coordonnées 𝑥 égal un tiers et 𝑥 égal moins un tiers, nous avons trouvé que la valeur de notre fonction est moins 46 sur neuf. Encore une fois, nous avons utilisé la dérivée seconde pour prouver qu’il s’agissait d’un minimum, car en ces points, la valeur de notre dérivée seconde était de neuf, ce qui est positif et ce qui implique un minimum local.

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