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Vidéo question :: Déterminer le quotient de deux fonctions pour une valeur particulière Mathématiques • Deuxième année secondaire

Soient 𝑓: ℝ → ℝ où 𝑓(𝑥) = −3𝑥 – 4 et 𝑔:(1, 7) → ℝ où 𝑔(𝑥) = −2𝑥 – 4. Déterminez, si possible, la valeur de (𝑓/𝑔)(- 1).

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Transcription de la vidéo

Soient la fonction 𝑓 définie sur l'ensemble des nombres réels dans l'ensemble des nombres réels, où 𝑓 de 𝑥 égale moins trois 𝑥 moins quatre, et que la fonction 𝑔 définie sur l'intervalle ouvert un sept dans l'ensemble des nombres réels, où 𝑔 de 𝑥 égale à moins deux 𝑥 moins quatre, déterminez, si possible, la valeur de 𝑓 sur 𝑔 de moins un.

On rappelle d'abord que 𝑓 sur 𝑔 de 𝑥 est tout simplement le quotient des fonctions 𝑓 et 𝑔, c'est 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥, et que, lorsqu'on travaille avec deux ou plusieurs fonctions, on doit faire très attention lorsqu'on veut déterminer leurs domaines de définition. Le domaine de définition de 𝑓(x) sur 𝑔(x) est l'intersection des domaines de définition des fonctions 𝑓(x) et 𝑔(x). Cependant, dans le cas d'un quotient de deux fonctions, il faut également exclure les valeurs de 𝑥 qui annulent la fonction de notre dénominateur. Alors quels sont les domaines de définition de nos fonctions ? En fait, la fonction 𝑓 associe les nombres de l'ensemble des nombres réels à l'ensemble des nombres réels. Donc le domaine de définition de 𝑓 est simplement l’ensemble des nombres réels.

En revanche, la fonction 𝑔 ne prend que les nombres de l'intervalle ouvert un sept. Ainsi le domaine de définition de 𝑔 est cet intervalle ouvert. On peut donc avoir des valeurs de 𝑥 supérieures à un et inférieures à sept. Alors le domaine de définition du quotient de nos deux fonctions sera l'intersection de ces deux domaines. Et bien puisque le domaine de définition de 𝑓 était simplement l'ensemble des nombres réels, l'intersection est donc l'intervalle ouvert un sept. Ainsi, on va calculer 𝑓 sur 𝑔 de 𝑥. On obtient moins trois 𝑥 moins quatre sur moins deux 𝑥 moins quatre. On a vu que son domaine de définition était l'intervalle ouvert un sept. Mais bien entendu, il faut que le dénominateur de notre fraction ne soit pas nul car si nous divisons par zéro, on va obtenir un résultat qui n’est pas défini.

On ajoute donc quatre aux deux côtés, puis on divise par moins deux. Donc, on trouve que 𝑥 ne peut pas être égal à moins deux. Comme c'est en dehors de notre domaine, on ne s'en inquiète pas trop. Peut-on déterminer 𝑓 sur 𝑔 de moins un ? Eh bien, non, n'oubliez pas que notre domaine de définition est l'intervalle ouvert un sept. Autrement dit, 𝑥 doit être supérieur à un et inférieur à sept. Or, la valeur moins un est inférieure à un. Et donc puisque c'est en dehors du domaine de définition de notre fonction, on ne peut pas substituer 𝑥 égale moins un dans notre expression de 𝑓 sur 𝑔 de 𝑥. Et on dira que 𝑓 sur 𝑔 de moins un est indéfini.

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